1、一、問題的提出一、問題的提出 二、對弧長的曲線積分的概念二、對弧長的曲線積分的概念 三、對弧長曲線積分的計算三、對弧長曲線積分的計算 四、幾何與物理意義四、幾何與物理意義 五、小結五、小結 第一節第一節 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 (第一類曲線積分第一類曲線積分) 一、問題的提出 實例實例: :曲線形構件的質量曲線形構件的質量 ox y A B 1 n M i M 1 i M 2 M 1 M ),( ii L . sM 勻質之質量勻質之質量 分割分割, 121in sMMM ,),( iii s 取取.),( iiii sM 求和求和.),( 1 n i iii sM 取極限取極限.),

2、(lim 1 0 n i iii sM 近似值近似值 精確值精確值 二、對弧長的曲線積分的概念二、對弧長的曲線積分的概念 ,),( ,),( , ),(,. ,. ),(, 1 121 n i iii iii iii n sf sf i si nLMMMLL yxfxoyL 并作和并作和 作乘積作乘積 點點個小段上任意取定的一個小段上任意取定的一 為第為第又又個小段的長度為個小段的長度為設第設第個小段個小段 分成分成把把上的點上的點用用上有界上有界在在 函數函數面內一條光滑曲線弧面內一條光滑曲線弧為為設設 1.定義定義 ox y A B 1 n M i M 1 i M 2 M 1 M ),(

3、ii L .),(lim),( ,),(, ),(, ,0 1 0 n i iii L L sfdsyxf dsyxf L yxf 即即記作記作線積分線積分 第一類曲第一類曲上對弧長的曲線積分或上對弧長的曲線積分或在曲線弧在曲線弧 則稱此極限為函數則稱此極限為函數這和的極限存在這和的極限存在 時時長度的最大值長度的最大值如果當各小弧段的如果當各小弧段的 被積函數被積函數 積分弧段積分弧段 積分和式積分和式 曲線形構件的質量曲線形構件的質量.),( L dsyxM 2.存在條件：存在條件： .),( ,),( 存在存在對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 上連續時上連續時在光滑曲線弧在光滑曲線弧當當

4、 L dsyxf Lyxf 3.推廣推廣 曲曲線線積積分分為為 上上對對弧弧長長的的在在空空間間曲曲線線弧弧函函數數 ),(zyxf .),(lim),( 1 0 i n i iii sfdszyxf 注意：注意： )(,)(. 1 21 LLLL 是是分分段段光光滑滑的的或或若若 .),(),(),( 2121 LLLL dsyxfdsyxfdsyxf .),( ),(. 2 L dsyxf Lyxf 曲曲線線積積分分記記為為 上上對對弧弧長長的的在在閉閉曲曲線線函函數數 4.性質性質 .),(),(),(),()1( LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf ).(),(),()2(為

5、常數為常數kdsyxfkdsyxkf LL .),(),(),()3( 21 LLL dsyxfdsyxfdsyxf ).( 21 LLL 三、對弧長曲線積分的計算 定理定理 )( )()()(),(),( ,)(),( )( ),( ),( ,),( 22 dtttttfdsyxf tt t ty tx L Lyxf L 則上具有一階連續導數在 其中的參數方程為 上有定義且連續在曲線弧設 注意注意: : ;. 1 一定要小于上限一定要小于上限定積分的下限定積分的下限 .,),(. 2而而是是相相互互有有關關的的不不彼彼此此獨獨立立中中yxyxf 特殊情形特殊情形 .)(:)1(bxaxyL

6、.)(1)(,),( 2 dxxxxfdsyxf b aL )(ba 推廣推廣:)().(),(),(: ttztytx )( )()()()(),(),( ),( 222 dtttttttf dszyxf .),(:) 3 (rrL .)(1),(),( 2 dyyyyfdsyxf d cL .)(:)2(dycyxL .)()(sin)(,cos)( ),( 22 drrrrf dsyxf L 例例1 ).( ,sin ,cos :,象限象限第第橢圓橢圓求求 tby tax LxydsI L 解解 dttbtatbtaI 22 2 0 )cos()sin(sincos dttbtattab

7、 2222 2 0 cossincossin . )(3 )( 22 ba babaab 例例2 .)2, 1()2 , 1(,4: , 2 一一段段到到從從其其中中 求求 xyL ydsI L 解解 dy y yI 2 2 2 ) 2 (1 . 0 例例3 )20(. ,sin,cos:, 的的一一段段 其其中中求求 kz ayaxxyzdsI 解解 . 2 1 222 kaka xy4 2 dkaka 222 sincos 2 0 I 例例4 . 0 , , 2222 2 zyx azyx dsxI 為圓周為圓周其中其中 求求 解解 由對稱性由對稱性, 知知. 222 dszdsydsx

8、dszyxI)( 3 1 222 故故 ds a 3 2 . 3 2 3 a ),2(球面大圓周長球面大圓周長 dsa 例：計算例：計算 2 22 22 22 22 2 , , L L x xy y d ds s L Lx xy ya a ： 2 22 2 ( () )d d , , L L x xy ys s 例、計算例、計算 其中其中L是以是以O(0,0)、A(2,0)、B(0,1)為頂點為頂點 的三角形的邊界。的三角形的邊界。 四、幾何與物理意義 ,),()1(的的線線密密度度時時表表示示當當Lyx ;),( L dsyxM ;,1),()2( L dsLyxf 弧弧長長 時時當當 ,)

9、,( ),()3( 處處的的高高時時柱柱面面在在點點 上上的的表表示示立立于于當當 yx Lyxf .),( L dsyxfS柱面面積 柱面面積 s L ),(yxfz ,)4(軸的轉動慣量軸的轉動慣量軸及軸及曲線弧對曲線弧對yx ., 22 L y L x dsxIdsyI 曲線弧的重心坐標曲線弧的重心坐標)5( ., L L L L ds dsy y ds dsx x 五、小結 1 1、對弧長曲線積分的概念、對弧長曲線積分的概念 2 2、對弧長曲線積分的計算、對弧長曲線積分的計算 3 3、對弧長曲線積分的應用、對弧長曲線積分的應用 思考題思考題 對弧長的曲線積分的定義中對弧長的曲線積分的定

10、義中 的符號的符號 可能為負嗎？可能為負嗎？ i S 思考題解答思考題解答 i S 的符號永遠為正，它表示弧段的長度的符號永遠為正，它表示弧段的長度. 一、一、 填空題填空題: : 1 1、 已知曲線形構件已知曲線形構件L的線密度為的線密度為),(yx , ,則則L的質量的質量 M= =_； 2 2、 L ds= =_； 3 3、 對對_的曲線積分與曲線的方向無關；的曲線積分與曲線的方向無關； 4 4、 L dsyxf),(= = dtttttf)()()(),( 22 中要中要 求求 _ . . 二、二、 計算下列求弧長的曲線積分計算下列求弧長的曲線積分: : 1 1、 L yx dse 2

11、2 , ,其中其中L為圓周為圓周 222 ayx , ,直線直線xy 及及x軸在第一象限內所圍成的扇形的整個邊界；軸在第一象限內所圍成的扇形的整個邊界； 練習題練習題 2 2、 yzdsx 2 , ,其中其中L為折線為折線ABCD, ,這里這里DCBA, 依次為點依次為點(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 L dsyx)( 22 , ,其中其中L為曲線為曲線 )cos(sin )sin(cos tttay tttax )20( t ； 4 4、計算、計算 L dsy , ,其中其中L為雙紐線為雙紐線 )0()()( 222222 ayxayx . . 三、設螺旋形彈簧一圈的方程為三、設螺旋形彈簧一圈的方程為 taxcos , , taysin , , ktz , ,其中其中 20t , ,它的線密度它的線密度 222 ),(zyxzyx , ,求求: : 1 1、它關于、它關于Z軸的轉動軸的轉動 Z I慣量慣量； 2 2、它的重心、它的重心 . . 練習題答案練習題答案 一、一、1 1、 Ldsyx),( ； 2 2、的的弧弧長長L； 3 3、