1、二次根式二次根式 本章內容 第第5章章 二次根式二次根式 本課內容本節內容 5.1 5.1.1 二次根式二次根式 說一說說一說 如果一個數的平如果一個數的平 方等于方等于5，那么把這，那么把這 個數叫做個數叫做5的一個平的一個平 方根方根. 1. 5的平方根是的平方根是 ； 由于由于 ，而其他數，而其他數 的平方不會等于的平方不會等于5，因此，因此5的平方根有且只的平方根有且只 有兩個：有兩個： . 5)5( , 5)5( 22 5,5 0 0的平方根是的平方根是 ； 0 的平方根有且只有的平方根有且只有 一個：一個：0. 正實數正實數a a的平方根是的平方根是 ； 正實數正實數a的平方根是的

2、平方根是a 負實數有沒有平方根？負實數有沒有平方根？ 由于任何實數的平由于任何實數的平 方都等于正數或方都等于正數或0，因此，因此 負實數沒有平方根負實數沒有平方根. 可以說明：可以說明：每一個正實數每一個正實數a有且只有兩個平方有且只有兩個平方 根，其中一個平方根是正實數，記做根，其中一個平方根是正實數，記做 ，稱它為，稱它為a 的算術平方根；另一個平方根是的算術平方根；另一個平方根是 a .- - a a 我們把形如我們把形如 的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式，符號，符號“ ” 叫做叫做二次根號二次根號，簡稱為，簡稱為根號根號，根號下的數叫做，根號下的數叫做被開方被開方 數數. 00=

3、0. , , 0的平方根記做的平方根記做 由于在實數范圍內，負實數沒有平方根，由于在實數范圍內，負實數沒有平方根，因此只因此只 有當被開方數是非負實數時，二次根式才在實數范圍有當被開方數是非負實數時，二次根式才在實數范圍 內有意義內有意義. 舉舉 例例 例例1 當當x是怎樣的實數時，二次根式是怎樣的實數時，二次根式 在實數范圍內有意義？在實數范圍內有意義？ 1- -x 解解 由由 x- -10， 解得解得 x 1. 因此，當因此，當x1時，時， 在實數范圍內有意義在實數范圍內有意義.1- -x 在本套教材中，我們都是在實數范圍在本套教材中，我們都是在實數范圍 內討論二次根式有沒有意義，今后不再

4、每內討論二次根式有沒有意義，今后不再每 次寫出次寫出“在實數范圍內在實數范圍內”這幾個字這幾個字. 注意注意 2 2 2 4 2 0 2 3 1 2 17 3 1 2222 22 2 ）的非負數，因此有（的非負數，因此有（是一個平方等于是一個平方等于 術平方根的意義，術平方根的意義，的算術平方根，根據算的算術平方根，根據算是是 探究探究 結論結論 對于非負實數對于非負實數a，由于，由于 是是a的一個平方根的一個平方根， 因此因此 a 2 = 0 .aa a()()()() 舉舉 例例 例例2 計算：計算： 22 1 5 2 2 2 ( )()( )() ； ()() . ()() . 2 1

5、5 = 5解解 ( ) ()( ) ()； 222 2 2 2 = 2 2 = 4 2 =8 () ()().() ()(). 在下面橫線上填寫適當的數：在下面橫線上填寫適當的數： 做一做做一做 2 1.2 _;2 . 1 _;) 5 7 ( _;2 2 2 2 5 7 根據上述結果，根據上述結果， 當當a0時，你猜測時，你猜測 = .2 a a( (a0) ) 結論結論 由于由于a的平方等于的平方等于a2，因此，因此a是是a2的一個平方根的一個平方根. . 2 = 0 . aa a()() 2 a = a. 又由于已知又由于已知a0，因此，因此 由此得出：由此得出： 2 )2( 根據上述結果

6、，根據上述結果， 當當a0時，你猜測時，你猜測 = .2 a -a( (a0) ) 2 )2 . 1( 舉舉 例例 例例2 計算：計算： 結論結論 由于由于- -a的平方等于的平方等于a2，因此，因此- -a是是a2的一個平方根的一個平方根. . 2 a = a.- - 又由于已知又由于已知a0，因此，因此 由此得出：由此得出： )0( 2 aaa 綜上可得：綜上可得： )0( )0( 2 aa aa aa 動腦筋動腦筋 ?)( 22 有區別嗎與 aa 2.2.從取值范圍來看從取值范圍來看: : a0a0a a取任何實數取任何實數 1.1.從運算順序來看從運算順序來看: : 2 a 2 a 先

7、開方先開方, ,后平方后平方 先平方先平方, ,后開方后開方 3.3.從運算結果來看從運算結果來看: : 2 a 2 a 2 a 2 a )0( )0( aa aa a a 1. 當當x是怎樣的實數時，下列二次根式是怎樣的實數時，下列二次根式 有意義？有意義？ 練習練習 2 ()()；2x-3-3 1 1 ( )( )；x- - 答案：答案：x1.5 答案：答案：x1 2. 計算：計算： 答案：答案：3 5 4 答答案案： 2 )3)(1 ( 2 ) 2 5 )(2( 3. 計算：計算： 2 1 7 ( )( )； 2 2 (-3) ()()； 2 3 3 4 ()()； 2 4 (-0.01) ().(). 答案：答案：7 答案：答案：3 答案：答案：0.01 3 4 答答案案： 小結與復習小結與復習 a 1. 1. 定義：定義： 我們把形如我們把形如 的式子叫做二次根式，符號的式子叫做二次根式，符號“ ” 叫做二次根號，簡稱為根號，根號下的數叫做被開方叫做二次根號，簡稱為根號，根號下的數叫做被開方 數數，被開方數，被開方數a0 . a0 . 2. 性質：性質： （1 1） （2 2） )0( )0( 2 aa aa aa