1、抗旱優化方案摘要：抗旱方案的優化，旨在使我們在花費最小的情況下獲得最大的回報。因此，我們進行了大量的數據實驗，運用excel表格，matlb，lingo等軟件對我們的方案進行優化，并且運用0-1整數規劃對我們的選井進行優化選擇方案。手心我們考慮了三種方案的可行性，通過分析我們發現一次只打井和只鋪設管道軍是不可行的；于是只有采用第三種方案同時打井與鋪設管道施工。在第三種方案的基礎上，我們有進一步將其優化為一次性打井和逐年分次打井兩套方案。在建立模型上，首先我們計算出了老四井在2010至2014年的每年產水量總和；之后進行優選打井方案，當然，管道的鋪設使我們必不可少的考慮因素。最后，我們對兩種方案

2、經性對比，取的最優的方案，即為逐年打井更能為這一旱區提供更多的適量保障。關鍵詞：0-1規劃 線性方程 優化設計 擬合一、問題的重述我國地域遼闊，水資源分布不均。使得我國部分地區處于半干旱或干旱狀態，為了更好的解決干旱地區群眾的生活用水問題。我們以一個處于我國西南地區的某個偏遠貧困村為例，進行我們的分析解剖。我們所的此地年平均降水量不足20mm，是典型的缺水地區。過去村民的日常生活和農業生產用水來自于，一是每家每戶自行建造的小蓄水池，用來屯積雨水，二是利用村里現有的四口水井。由于近年來環境破壞，經常是一連數月滴雨不下，這些小蓄水池的功能完全喪失。而現有的四口水井經過多年使用后，年產水量也在逐漸減

3、少，在附表1中我們知道了其9年來的產水量粗略統計數據。2009年以來，由于水井的水遠遠不能滿足需要，不僅各種農業生產全部停止，而且大量的村民每天要被迫翻山越嶺到相隔十幾里外去背水來維持日常生活。 為此，政府打算著手幫助該村解決用水難的問題。從兩方面考慮，一是地質專家經過勘察，在該村附近又找到了8個可供打井的位置，它們的地質構造不同，因而每個位置打井的費用和預計的年產水量也不同，詳見表2，而且預計每口水井的年產水量還會以平均每年10%左右的速率減少。二是從長遠考慮，可以通過鋪設管道的辦法從相隔20公里外的地方把河水引入該村。鋪設管道的費用為（萬元），其中表示每年的可供水量（萬噸/年），表示管道長

4、度（公里）。鋪設管道從開工到完成需要三年時間，且每年投資鋪設管道的費用為萬元的整數倍。要求完成之后，每年能夠通過管道至少提供100萬噸水。政府從2010年開始，連續三年，每年最多可提供60萬元用于該村打井和鋪設管道，為了保證該村從2010至2014年這五年間每年分別能至少獲得150、160、170、180、190萬噸水，請作出一個從2010年起三年的打井和鋪設管道計劃，以使整個計劃的總開支盡量節省。二、問題的分析針對這一現狀，我們發現在這三年內只鋪設管道或只打井均是不符合現狀要求的，因為其不僅達不到村民在2010年之后的用水需求而且不符合三年內鋪設完管道的長遠利益要求；故而，我們采取了鋪設管道

5、與打井的同時施工的措施方案。我們根據具體情況建立了二種模型；分別是一次性打井和逐年分次打井兩套模型方案。對此，我們首先運用matlab軟件擬合出了老四井隨時間的產水量變化趨勢，并獲得了其在2010至2014年的產水量。然后，依據題設中村民各時間段用水總量的限制要求；分別在兩種模型中進行優化求解獲得最小花費。而且，我們發現鋪設管道的費用在要求的輸水量情況下，其花費是一個固定的值；因此，為節約花費，我們需要在選打井口數以及各井的產水量和打井費用上行優化選擇，是的總打井費用最低。最終我們獲得：結余=總投資錢數-鋪設管道用費-打盡付費用，獲得最大結余。三、模型的假設與符號說明模型假設1、假設不考慮小蓄

6、水池的作用和利息的因素。2、假設該村水的供水僅有水井和管道提供。3、假設在表2的每口水井的年產水量會以固定的每年10%速率減少。4、假設不考慮其他因素的影響，鋪設管道三年內完成且第4年開始供水。5、假設在所打井中實際供水量不低于預測的供水量。符號說明xi- 表示選取i號井，i=（1，2，3，4，5，6，7，8）qij- 表示第i口井第j年的產水量，i=（1，2，3，4）.j=（2010，2011，2012，2013，2014）t- -表示時間，（單位：年）q -表示管道輸水量qi-表示第i年打井的產水量，i=（1，2，3）j -表示結余費用m -表示總開支m1- 表示鋪設管道總開支m2- 表示

7、打井所需總開支q舊n-表示舊井在n年的總產量，n=（2010,2011,2012,2013,2014）q新n- 表示新井在n年的總產量，n=（2010,2011,2012）z -表示固有資金量四、模型的建立與求解我們首先考慮到這個村莊的老四井問題；即這個村莊以前的四口井預期的產水量的變化情況。我們依據matlb擬合出其每口井產水量的變化趨勢，并預測其2010至2014年每年每口井的總產水量。4.1 1的擬合圖從上擬合圖，我們可萬一看出1的產水量q1出于逐年遞減的狀態。并從matlab求解中我們得到了其產水量隨時間變化的線性方程，即為： qij =-1.2017*t+33.4639；并且進一步求

8、解出了該井在2010至2014年的產水量q11、q12、q13、q14、q15，分別為：21.4469、20.2452 、19.0435 、17.8418 、16.6401。4.2 2的擬合圖同樣的，我們從2的2001至2009年的產水量變化的三點圖中，我們發現他合乎一個一元三次方程的坐標分布規律，因此我們得出了如上的擬合圖。并且獲得了該井產水量隨時間的變化方程即為：qij =-0.0311*t.3+0.7966*t.2-7.5771*t+28.2357；并且進一步求出了其2010至2014年的預期產水量q21、q22、q23、q24、q25分別為1.0247、0、0、0、0. 4.3 3擬合

9、圖 從3的三點圖，我們發現其2001至2009年產水量隨時間的變化基本符合一次線性函數，故而，我們擬合并求解除了其產水量隨時間的變化方程，即為：qij =-2.0850t+29.9806.并進一步求出了該井2010至2014年的預期產水量q31、q32、q33、q34、q35，分別為：9.1306、7.0456 、4.9606、2.8756、0.7906。4.4 4的擬合圖由4的散點圖分布，我們可以看出他基本符合產水量隨時間的一元三次方程變化規律曲線。我們擬合出了上圖，并且求出了他的產水量隨時間變化的一元三次方程的系數，即該方程為：qij =-0.1773*t.3+3.7333*t.2-27.

10、0442*t+86.2095，并求出了該井在2010至2014年的預期產水量q41、q42、q43、q44、q45，分別為：11.7975、4.4663、0、0、0。4.5 從上面的老四井中的預測中，我們可以得到這四口老井在2010至2014年，每年總共能給該村提供的水量q舊n。如下表04-1：表04-4 老井產水量表年份1234q舊n201021.44691.02479.130611.797543.3997201120.245207.04564.466331.7571201219.043504.9606024.0041201317.841802.8756020.7174201416.6401

11、00.7906017.4307模型一 一次性打井 為了滿足，2010至2014年該村的需水要求，即該村在2010至2014年的需水分別為150、160、170、180、190萬噸。我們建立了這樣一個模型，即一次性打井能夠為其后的2010、2011、2012年的需水提供足夠的保障。根據如下的8個打井位置和所需費用：表2 8個位置打井費用（萬元）和當年產水量（萬噸）編號12345678打井費用57546553當年產水2536321531282212我們發現要是得一次打井滿足以后三年的需求量，就必須優先考慮其對第三年，也就是對2012年的供水量是否滿足，我們知道2012年最低需求供水總量為170萬噸

12、，那么所打新井的供水量q新3=170- q舊3=145.9959（萬噸），由此我們可以得出所打新井在2010年的供水量即為q新1= q新3/（1-10%）2,得出：q新1=180.2419，也就是說，我們所打新井在2010你的供水量不得小于180.2419.那么我們該在這8口井中如何選擇才能使得花費最后，得到最優解呢？我們通過運用0-1整數規劃，以及lingo軟件；獲得了我們的最優打井數和選井方案。即為：model:min=5*x1+7*x2+5*x3+4*x4+6*x5+5*x6+5*x7+3*x8;x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=7;25*x1+36*x2+32*x3+15

13、*x4+31*x5+28*x6+22*x7+12*x8=180.2419從運算的結果中我們發現必須打7口井才能滿足要求，而且打井所需花費為36萬元。這幾口井分別是第1、2、3、5、6、7、8號井；求解過程見附錄五。對于每年的鋪設管道費用和結余費用見我們整理后的表04-2和04-3 表04-2 花費細目表年份要求（萬噸）老四（萬噸）新六井（萬噸）供應水（萬噸）打井費用（萬元）管道費用（萬元）鋪設管道（公里）結余花費（萬元）201015043.3997186229.39936243.4735201116031.7571167.4199.1570608.682201217024.0041150.66

14、174.6640557.958201318020.7174135.594156.311000201419017.4307122.0346139.465000提供100頓水管道的費用139即m1=139，m2=36，m=m1+m2=175，結余j=z-m=180-175=5.表04-3 花費細目表要求（萬噸）年份老四（萬噸）新六井（萬噸）供應水（萬噸）打井費用（萬元）管道費用（萬元）鋪設管道（公里）結余花費（萬元）150201043.3997186229.399736243.354915440160201131.7571167.4199.15710608.38728862170201224.00

15、41150.66174.66410608.38728862180201320.7174135.594156.3114000190201417.4307122.0346139.4653000提供水量（q）107鋪設管道花費144鋪設總公里數20.12949我們從04-2和04-3的對比中我們發現，隨著我們的管道提供水量的增加，我們的結余相應減少。且當結余0時，管道最大提供水量q=107萬噸。同時，由于2013年開始管道為該村提供最少不小于100萬噸的水量，再加上經所提供的2013和2014年分別為156.3114和139.4653萬噸，所以說他滿足，該村2013和2014 年分別180和190萬

16、噸水的需求。模型二 逐年分次打井一次性打井，一次性投入過大；我們采取分次打井，分流資金；希望可以能減少總投資量。我們設其第一年所打的井的產水量為q1，第二年以及第三年所打的井的產水量分別為q2和q3。那么只需求出滿足2010至2012年的每年所需最低水量150、160.170的q1、q2、q3的最優打井方案，即為q1+ q2+ q3取之最小。那么這三年新井總的最小產水量為w1，他應滿足如下的方程目標函數：w1= q1-+ q2+ q3;106.6003= q1;st 128.2429= q2+ q1*0.9;145.9959= q3+ q2*0.9+ q1*0.81;381=107;最后我們所

17、得結果為選擇第1、2、6、7號井作為2010年的打井方案，且其滿足了新井的最低要求107萬噸水，花費最低為22萬。總體上該方案的花費總額為打井33萬元，而鋪設管道隨著需要供應的水量有所變化。如下表04-4，當余額j=8萬元時，其供水量q=100萬噸，當余額j=0時，每年可以提供q=112萬噸水。這可以有我們的附excel表中所得，隨著輸入提供水量的變化，可以得到不同的結余額。表04-4 花費細目表年份要求（萬噸）老四（萬噸）新六井（萬噸）供應水（萬噸）打井費用（萬元）管道費用（萬元）鋪設管道（公里）結余花費（萬元）201015043.3997107150.399722385.311949482

18、01116031.7571128.3160.05715557.688347201217024.0041146.47170.47416466.430254201318020.7174131.823152.5404000201419017.4307118.6407136.0714000提供水量100鋪設管道花費139鋪設總公里數20.43055由圖標04-4中，2013和2014年的幾口井產水量總和分別為131.823萬噸和118.6407萬噸。我們再加上管道提供的水量，已完全滿足該村2013和2014年的180萬噸和190萬噸水量的需求。故而，有m1=139，m2=33，結余j=z-m1-m2=

19、8該模型可以說是成立的。 對方案一和方案二的對比，我們從長遠的考慮來說方案二更優，相比較來說其比第一方案更結余花費；在以后的供水中，方案二的管道能夠提供的水量也最大。方案二的管道能提供最大112萬噸水而方案一的管道運輸最大只能提供107萬噸水；而且從資金的周轉上方案二也更優，因為他太能提供分流資金的作用。故而，我們的從經濟和長遠發展來說，我們應該優選方案二。五、模型的評價與推廣模型評價：優點：1該模型簡單，思路清晰，使人一目了然。2利用matlab和lingo軟件使數據更加準確。3該模型鋪設管道和打井同時應用，在保證水量供給正常的情況下，使得總費用最少，做到了節約。缺點：該模型中沒有雨水的積蓄

20、，雨水資源得不到充分的利用。該模型中沒有考慮到經濟過快發展和人口劇增所帶來的用水量過大。模型推廣：因為模型沒雨水的積蓄量，雨水資源得不到充分的利用。在生活和生產上，應該合理利用積蓄的雨水進行生產，合理的調配水源，減少生活用水用于生產上，而又能使雨水積蓄的水量得到利用，保證生產的正常。該模型還可以石油管道的鋪設、道路的修建等。六、軟件應用附錄1t=1,2,3,4,5,6,7,8,9;q=32.2 ,31.3 ,29.7 ,28.6 ,27.5 ,26.1 ,25.3 ,23.7, 22.7;aa=polyfit(t,q,1);a=aa(1)b=aa(2)，r=polyval(aa,t);a =

21、-1.2017，b = 33.4639 t=10;11;12;13;14q=-1.2017*t+33.4639t =10，11，12，13， 14q = 21.4469， 20.2452， 19.0435，17.8418，16.6401附錄2 t=1,2,3,4,5,6,7,8,9;q=21.5 15.9 11.8 8.7 6.5 4.8 3.5 2.6 2.0;aa=polyfit(t,q,3);a=aa(1)，b=aa(2)，c=aa(3)，d=aa(4)，r=polyval(aa,t);plot(t,q,k+,t,r,r);a = -0.0311，b = 0.7966，c = -7.57

22、71，d =28.2357 t=10;11;12;13;14;q=-0.0311*t.3+0.7966*t.2-7.5771*t+28.2357q = 1.0247，-0.1179，-1.7199，-3.9679，-7.0485附錄3 t=1,2,3,4,5,6,7,8,9;q=27.9 25.8 23.8 21.6 19.5 17.4 15.5 13.3 11.2;aa=polyfit(t,q,1);a=aa(1)，b=aa(2)，r=polyval(aa,t);plot(t,q,k+,t,r,r);a =-2.0850，b =29.9806 t=10;11;12;13;14;q=-2.08

23、50*t+29.9806q = 9.1306，7.0456，4.9606，2.8756，0.7906附錄4t=2,3,4,5,6,7,8,9;q=46.2 32.6 26.7 23.0 20.0 18.9 17.5 16.3;aa=polyfit(t,q,3);a=aa(1)，b=aa(2)，c=aa(3)，d=aa(4)r=polyval(aa,t);，plot(t,q,k+,t,r,r);a = -0.1773，b = 3.7333，c = -27.0442，d = 86.2095 t=10;11;12;13;14;q=-0.1773*t.3+3.7333*t.2-27.0442*t+86

24、.2095q = 11.7975，4.4663，-7.1001，-23.9655，-47.1937附錄5model:min= q1+q2+q3;106.6003=q1;128.2429=q2+q1*0.9;145.9959=381;q10;q20;q30;gin(q1);gin(q2);gin(q3);endglobal optimal solution found. objective value: 170.0000 extended solver steps: 0 total solver iterations: 2 variable value reduced cost q1 107.0

25、000 1.000000 q2 32.00000 1.000000 q3 31.00000 1.000000 row slack or surplus dual price 1 170.0000 -1.000000 2 0.3997000 0.000000 3 0.5710000e-01 0.000000 4 0.4741000 0.000000 5 0.7700000 0.000000 6 107.0000 0.000000 7 32.00000 0.000000 8 31.00000 0.000000附錄6model:min=5*x1+7*x2+4*x4+5*x6+5*x7+3*x8;x1

26、+x2+x4+x6+x7+x8=4;25*x1+36*x2+15*x4+28*x6+22*x7+12*x8107;bin(x1);bin(x2);bin(x4);bin(x6);bin(x7);bin(x8);endglobal optimal solution found. objective value: 22.00000 extended solver steps: 0 total solver iterations: 0 variable value reduced cost x1 1.000000 5.000000 x2 1.000000 7.000000 x4 0.000000 4

27、.000000 x6 1.000000 5.000000 x7 1.000000 5.000000 x8 0.000000 3.000000 row slack or surplus dual price 1 22.00000 -1.000000 2 0.000000 0.000000 3 4.000000 0.000000六、參考文獻1數學建模方法與范例，壽紀麟等編，西安交通大學出版社，1993。2 數學模型基礎，王樹禾編著，中國科學技術大學出版社，1996。3 數學模型選談(走向數學從書)，華羅庚，王元著，王克譯，湖南教育出版社，1991。4 數學模型與數學建模，劉來福、曾文藝編，北京師范大學出版杜，1997。5 姜啟源.謝金星.數學建模m.北京：高等教育出版社，2003年.6 應用數學建模 applied mathematical modelling (elsevier)