1、學科：數學教學內容：直線與平面綜合能力訓練【綜合能力訓練】一、選擇題1.如圖7-20，點p、q、r、s分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點，則直線pq與rs是異面直線的一個圖是（ ）2.如圖7-21，正方體abcda1b1c1d1中，ef為異面直線a1d和ac的公垂線，則直線ef與bd1的關系是（ ）a.異面直線b.平行c.相交且垂直d.相交且不垂直3.有三個命題：垂直于同一個平面的兩條直線平行；過平面的一條斜線l有且僅有一個平面與垂直；異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個平面與b都不垂直。其中正確命題的個數為（ ）a.0b.1c.2d.34.a、b是異面直線，以下面四個命題，正確命題

2、的個數是（ ）過a至少有一個平面平行于b過a至少有一個平面垂直于b至多有一條直線與a、b都垂直至少有一個平面分別與a、b都平行a.0b.1c.2d.35.對于已知直線a，如果直線b同時滿足下列三個條件：（1）與a是異面直線；（2）與a所成的角為定值；（3）與a的距離為定值d。那么，這樣的直線b有（ ）a.1條b.2條c.3條d.無數條6.如圖7-22，點p在正方形abcd所在的平面外，pd平面abcd，pd=ad，則pa與bd所成角的度數為（ ）a.30b.45c.60d.90 7.如圖7-23，四棱錐pabcd的底面abcd是一個正方形，pd垂直于abcd，則這個四棱錐的五個面中，互相垂直的

3、平面共有（ ）a.3對b.4對c.5對d.6對8.設有不同的直線a、b和不同的平面、，給出下列三個命題：若a,b,則ab。若a,a，則。若，則。其中正確的個數是（ ）a.0b.1c.2d.39.若有平面與，且= l, ，p，p l，則下列命題中的假命題為（ ）a.過點p且垂直于的直線平行于b.過點p且垂直于l的平面垂直于c.過點p且垂直于的直線在內d.過點p且垂直于l的直線在內10.過正方形abcd的頂點a作線段aa平面abcd。若aa=ab，則平面aab與平面acd所成角的度數是（ ）a.30b.45c.60d.9011.已知相交直線l、m都在平面內，并且都不在平面內，若命題p：l、m中至少

4、有一條與相交；命題q: 與相交，則p是q的（ ）a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件c.充分必要條件d.不充分也不必要條件12.如圖7-24，pao所在平面，ab為底面圓的直徑，c為下底面圓周上一點，cab=，pba=，cpb=，則（ ）a.cossin=sinb.sinsin=sinc.coscos=cosd.cossin=cos二、填空題13.將正方形abcd沿對角線ac折成直二面角后，異面直線ab與cd所成角的大小是。14.在平面內有一個正三角形abc，以bc邊為軸把abc旋轉角，（0，），得到abc，當=時，abc在平面內的射影是直角三角形。15.已知，正方體abcda1b1c1d

5、1，過點a作截面，使正方體的12條棱所在直線與截面所成的角皆相等，試寫出滿足這樣條件的一個截面（注：只需任意寫一個）。16.如圖7-25，p是四邊形abcd所在平面外一點，o是ac與bd的交點，且po平面abcd。當四邊形abcd具有條件時，點p到四邊形四條邊的距離相等。（注：填上你認為正確的一種條件即可。不必考慮所有可能的情況。）三、解答題17.在如圖7-26所示的三棱錐pabc中，pa平面abc，pa=ac=1，pc=bc，pb和平面abc所成的角為30。（1）求證：平面pbc平面pac；（2）比較三個側面的面積的算術平均數與底面積數值的大小；（3）求ab的中點m到直線pc的距離。18.如

6、圖7-27，在長方體abcda1b1c1d1中，點e、f分別在bb1、dd1上，且aea1b，afa1d。（1）求證：a1c平面aef；（2）若規定兩個平面所成的角是這兩個平面所組成的二面角中的銳角（或直角），則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個平面，則這兩條直線所成的角與兩個平面所成的角相等）試根據上述定理，在ab=4，ad=3，aa1=5時，求平面aef與平面d1b1bd所成的角的大小。（用反三角函數值表示）19.已知邊長為a的正三角形abc的中線af與中位線de相交于g（如圖7-28），將此三角形沿de折成二面角adeb。（1）求證：平面agf平面bced；（2）當二面角adeb為

7、多大時，異面直線ae與bd互相垂直？證明你的結論。20.如圖7-29，在四棱錐pabcd中，底面abcd是平行四邊形，bad=60，ab=4，ad=2，側棱pb=，pd=。（1）求證：bd平面pad；（2）若pd與底面abcd成60的角，試求二面角pbca的大小。21.如圖7-30，已知vc是abc所在平面的一條斜線，點n是v在平面abc上的射影，且n位于abc的高cd上。ab=a,vc與ab之間的距離為h，mvc。（1）證明mdc是二面角mabc的平面角；（2）當mdc=cvn時，證明vc平面amb；（3）若mdc=cvn=（00,三個側面面積的算術平均數大于底面積的數值。（3）如圖，過m作

8、mdac，垂足為d。平面pac平面abc且相交于ac，md平面pac。過d作depc，垂足為e，連結me，則de是me在平面pbc上的射影，depc，mepc，me的長度即是m到pc的距離。在rtabc中,mdbc，md=bc=。在等腰rtpac中，de=dcsin45=，me=，即點m到pc的距離為 。18.（1）證：因為cb平面a1b，所以a1c在平面a1b上的射影為a1b，由a1bae，aea1b，得a1cae。同理可證a1caf。因為a1caf，a1cae又afae=a，所以a1c平面aef。（2）解 過a作bd的垂線交cd于g，因為d1dag，所以ag平面d1b1bd。設ag與a1c

9、所成的角為，則由定理知即為平面aef與平面d1b1bd所成的角。由已知，計算得dg=，如圖建立直角坐標系，則得點及向量：a(0,0,0),g(，3，0)，a1(0,0,5),c(4,3,0),=（,3,0）, =（4,3,-5）。因為ag與a1c所成的角為，所以cos=,=arccos。即平面aef與平面cef所成角的大小為arccos。注：本題也可利用“平行轉移法”求ag與a1c所成的角。19.解 （1）abc是正三角形，af是bc邊的中線，afbc。又d、e分別是ab、ac的中點，debc。afde，又afde=g，agde，gfde，de平面afg，又de平面bced，平面afg平面bc

10、ed。待添加的隱藏文字內容1（2）agde，gfde，agf是二面角adeb的平面角。平面agf平面bced=af，作ahag于h ，ah平面bced。假設aebd，連eh并延長ad于q，則eqad。agde，h是正三角形ade的重心，也是中心。ad=de=ae=，ag=ag=a,hg=ag=a。在rtahg中，cosagh=.agf =-agh,cosagf= -，agf=arcos(-)，即當agf=arcos(-)時，aebd。20.解 （1）由已知ab=4，ad=2，bad=60，得bd2=ad2+ab2-2adabcos60 =4+16-224=12。ab2=ad2+bd2，abd是

11、直角三角形，adb=90，即adbd。在pdb中，pd=，pb=，bd=，pb2=pd2+bd2，故得pdbd。又pdad=d，bd平面pad。（2）bd平面pad，bd平面abcd，平面pad平面abcd。作pead于e，又pe平面pad，pe平面abcd，pde是pd與底面bcd所成的角，pde=60，pe=pdsin60=。作efbc于f，連pf，則pfbc，pfe是二面角pbca的平面角。又ef=bd=，在rtpef中，tanpfe=。故二面角pbca的大小為arctan。21.解 （1）由已知，vn平面abc，ncd，ab平面abc，得vnab。又cdab，dcvn=nab平面vnc。又v、m、n、d都在vnc所在平面內，所以，dm與vn必相交，且abdm，abcd，mdc為二面角ma