1、第十三章 （精編）軸對稱 軸對稱、線段垂直平分線、 、等腰三角形、等邊三角形 軸對稱圖形如果一個圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，?這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸有的軸對稱圖形的對稱軸不止一條，如圓就有無數條 對稱軸軸對稱 有一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，?那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點兩個 圖形關于直線對稱也叫做軸對稱圖形軸對稱的性質如果兩個圖形成軸對稱， ?那么 對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；軸對稱 圖形的對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線畫一圖形關

2、于某條直線的軸對稱圖形的步驟： 找到關鍵點，畫出關鍵點的對應點，按照原 圖順序依次連接各點。軸對稱與軸對稱圖形的區別軸對稱是指兩個圖形之間的形狀與位置關系，?成軸對稱的兩個圖形是全等形；軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形，把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形是 全等形，并且成軸對稱考點一、關于“軸對稱圖形”與“軸對稱”的認識1. 下列幾何圖形中， 1 線段2 角3直角三角形4 半圓，其中一定是軸對稱圖形的有 【 】A1個B 2 個C 3 個D 4 個2圖中，軸對稱圖形的個數是【】A4 個 B 3 個C 2 個D 1 個1 / 19線段的垂直平分線（ 1）經過線段的中點并且垂直于這條

3、線段的直線，?叫做這條線段的 垂直平分線 （或線段的中垂線）（ 2）線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，?與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上 因此線段的垂直平分線可以看成與線段 兩個端點距離相等的所有點的集合考點二、線段垂直平分線的性質4如圖， ABC中， A90， BD為 ABC平分線， DEBC，E是 BC的中點，求 C的 度數。5如圖， ABC中， AB AC，PBPC，連 AP并延長交 BC于 D，求證： AD垂直平分 BC6如圖 ,DE 是 ABC中 AC邊的垂直平分線，若 BC 8 厘米， AB10 厘米，則 EBC 的周長為【 】A.1

4、6 厘米 B.18 厘米 C.26 厘米 D.28 厘米2 / 19A7如圖， BAC30， P 是 BAC平分線上一點， PM AC，PDAC，PD30 , 則 AM軸對稱變換由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換 ? 成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看著由另一個圖形經過軸對稱變換后得到 軸對稱變換的性質（1）經過軸對稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣（2）經過軸對稱變換得到的圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關于對稱軸的對稱點（3）連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分作一個圖形關于某條直線的軸對稱圖形（1）作出一些關鍵點或特殊點的對稱點（2）按原圖形的連接方式連接所

5、得到的對稱點，即得到原圖形的軸對稱圖形 關于坐標軸對稱點 P（ x， y）關于 x 軸對稱的點的坐標是（ x，y）點 P（ x， y）關于 y 軸對稱的點的坐標是（ x，y）關于原點對稱點 P（ x， y）關于原點對稱的點的坐標是（ x， y）3 / 19關于坐標軸夾角平分線對稱點 P（x， y）關于第一、三象限坐標軸夾角平分線點 P（ x，y）關于第二、四象限坐標軸夾角平分線 關于平行于坐標軸的直線對稱yx 對稱的點的坐標是（ y，x） y x 對稱的點的坐標是（ y， x）點 P（x， y）關于直線 x m對稱的點的坐標是（ 2m x ， y）； 點 P（ x， y）關于直線 yn 對稱的

6、點的坐標是（ x，2ny）； 考點三、軸對稱變換及用坐標表示軸對稱 8 點 A （-3 ，2）關于 y 軸對稱點的坐標是 （ ）A （-3 ，-2） B （3 ，2） C （-3 ，2） D （ 2 ，-3）9點 P（ a， b）關于 x 軸的對稱點為 P（ 1， -6 ），則 A、 B的值分別為 （ ）A 1 ， 6 B -1 ， -6 C -1 ，6 D 1 ， -610. 點 P關于 x 軸對稱點 P的坐標為（ 4，-5 ）,那么點 P關于 y軸對稱點 P的坐標為：A （-4 ，5） B （4 ，-5）C （-4 ，-5） D （-5 ，-4）11. 平面內點 A（-1 ，2）和點 B（

7、-1 ，6）的對稱軸是 （ ）A.x 軸B.y 軸C. 直線 y=4D. 直線 x=-112. 下列關于 直線 x=1 對稱的點是 （ ）A 點（0 ， -3 ）與點（ -2 ，-3 ）B 點（ 2 ，3）與點（ -2 ， 3）C 點（ 2 ， 3）與點（ 0 ，3）D 點（2 ，3）與點（ 2 ，-3 ）13. 已知 A（-1 ，-2） 和 B（1 ，3），將點 A向平移個單位長度后得到的點與點 B關于 y 軸對稱14. 如下圖：若正方形 ABCD 關于 x 軸與 y 軸均成軸對稱圖形， 點 A的坐標為（ 2， 1），標出點 B 、C 、D 的坐標分別為： B（ ， ） ， C（ ， ） ，

8、D（， ） 。15. 若 A （ m-1，2n+3）與 B（ n-1，2m+1 ）關于 y 軸對稱，則 m= ,n=16. 已知 a0，那么點 P（-a2-2，2-a）關于 x 軸對稱的對應點 P在第 象限 三、解答題17. 已知點 M（1-a ，2a+2 ），若點 M關于 x軸的對稱點在第三象限，求 a的取值范圍？4 / 1918. 已知點 A 的坐標為（ 2x+y-3 ，x-2y ）。它關于 x軸對稱的點 A的坐標為（ x+3 ，y-4 ）， 求點 A 關于 y 軸對稱的點的坐標。19. 如圖， 從 ABC到 A BC是進行的平移變換還是軸對稱變換， 如果是軸對稱變換，找出對稱軸，如果是平

9、移變換，是怎樣平移的？20. 如圖， ABC，求頂點 A、B、C關于 y 軸對稱點的坐標并在坐標系中畫出 ABC關于 x 軸對稱的 EDF。21. 已知兩點 A（ 1， 2） B（3，1）（1）P點在 X 軸上移動。求 PA+PB的最小值。（2）Q點在 Y 軸上移動。求 QA+QB的最小值。（3）并求出 P.Q 的坐標。5 / 19考點四、作一個圖形關于某條直線的軸對稱圖形（1）作出一些關鍵點或特殊點的對稱點（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對稱點，即得到原圖形的軸對稱圖形22如圖， RtABC，C90,B30,BC8，D為 AB中點， P為 BC上一動點，連 接 AP、DP,則 AP DP

10、的最小值是23已知等邊 ABC， E在 BC的延長線上， CF平分 DCE，P 為射線 BC上一點， Q為 CF上一點，連接 AP、 PQ.若 APPQ，求證 APQ是多少度作點 Q 關于 BE 的對稱點 R ，交 BE 于點 H， 從而可得 QCH RCH, QCH= RCH=60 度。 A ,C,R 在同一直線上。易證 PCQPCR,從而 QPH= RPH,PR=PQ, PQC= PRC. 又由于 AP=PQ, 從而 AP=PR, 得到 PRA= PAR BAP+ PAC=PQC+ QPC BAP= QPC 即有： BAP+ B=QPC+ APQ 即 APQ=60o6 / 19等腰三角形

11、有兩條邊相等的三角形是等腰三角形相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊兩腰所 夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角等腰三角形的性質性質 1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）性質 2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合特別的：（ 1）等腰三角形是軸對稱圖形 . （2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對應相等.等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊” ） 特別的：（1）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形 （2）有兩邊上的角平分線對應相等的三角形是等腰三角形（ 3）有兩邊上的

12、中線對應相等的三角形是等腰三角形（ 4）有兩邊上的高線對應相等的三角形是等腰三角形 考點五、等腰三角形的特征和識別 24如圖， ABC 中， ABAC8，D在 BC上，過 D作 DE AB 交 AC于 E，DFAC交 AB 于 F，則四邊形 AFDE的周長為 。25如圖， ABC中， BD、CD分別平分 ABC與 ACB， EF過 D且 EFBC，若 AB 7 ， BC 8，AC 6 ，則 AEF周長為【】A. 15 B . 14 C. 13 D. 1826如圖 ,點 B、D、F在 AN上,C、E在 AM上，且 ABBCCDEDEF,A20o,則FEB7 / 19度27已知等腰三角形一腰上的高

13、與另一腰的夾角為40，則它的一個底角的度數是 28如圖：在 ABC中，ABAC，ADBC， DEAB于點 E, DF AC于點 F。試說明 DEDF。A29如圖 ,E 在 ABC的 AC邊的延長線上， D 點在 AB邊上， DE交 BC于點 F，DFEF，BD30已知：如圖， ABC中， ACB的平分線交 AB 于 E，EF BC交 AC于點 F，交 ACB的 外角平分線于點 G試判斷 EFC的形狀，并說明你的理由等邊三角形8 / 19 三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形等邊三角形的性質 等邊三角形的三個內角都相等， ?并且每一個內角都等于 60 等邊三角形的判定方法（1）三條

14、邊都相等的三角形是等邊三角形； （2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（ 3）有一個角是 60的等腰三角形是等邊三角形 考點六、等邊三角形的特征和識別31下列推理中，錯誤的是【】A A B C， ABC是等邊三角形B ABAC，且 B C， ABC是等邊三角形C A60， B 60， ABC是等邊三角形D ABAC， B60， ABC是等邊三角形32如圖，等邊三角形 ABC中， D是 AC的中點， E為 BC延長線上一點，且 CE CD， DM BC，垂足為 M。求證： M是 BE的中點。33已知 ABC是等邊三角形，分別在 AC、 BC上取點 E、F，且 AECF， BE、AF交于點 D，

15、則 BDF 度9 / 1934如圖，D、E、F分別是等邊 ABC各邊上的點， 且 ADBECF，則 DEF?的形狀是【】A等邊三角形 B 腰和底邊不相等的等腰三角形 C 直角三角形 D 不等邊三角形角平分線的性質：在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等角平分線的判定： 到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上三角形的角平分線的性質：三角形三個內角的平分線交于一點，并且這一點到三邊的距離相等考點七、 30所對的直角邊是斜邊的一半10 / 1935如圖，是屋架設計圖的一部分，點 D是斜梁 AB的中點，立柱 BC、 DE垂直于橫梁 AC，AB 8m， A30，則 DE等于【】A1mB 2mC3mD 4m3

16、6一張折疊型方桌如圖甲，其主視圖如圖乙，已知AOBO40cm，C0D030 cm，現將桌子放平，兩條桌腿叉開的角度AOB剛好為 120，求桌面到地面的距離是多少？甲DFAC 于 F，BAC 120o，BC6，則 DEDF38在 ABC中， AB AC， A 120 ， AB的垂直平分線交 BC于點 F，交 AB 于點 E 如果 EF 1 ，求 BC 的長39已知：在 ABC中， ABAC， BAC 120， AB的垂直平分線交 AB于 E，交 BC于F.求證： CF2BF.11 / 19作圖題專練1如圖：已知 AOB 和 C、D 兩點，求作一點 P，使 PC=PD，且 P 到AOB 兩邊的距離

17、 相等2已知： A、B兩點在直線 l 的同側，試分別畫出符合條件的點M（ 1）如圖，在 l 上求作一點 M，使得 AMBM 最小； 作法：2）如圖，在 l 上求作一點M，使得 AM BM最大作法：3）如圖，在l 上求作一點 M，使得 AMBM 最小12 / 194）如果兩點位于直線異側，請你去解決上述問題 變式練習1、如圖，已知直線 MN 與MN 同側兩點 A、B求作：點 P，使點 P在MN 上，且 APM BPN2如圖點 A、B、C在直線 l 的同側，在直線 l上，求作一點 P，使得四邊形 APBC的周長 最小；3. 如圖已知線段 a，點A、B在直線 l的同側，在直線 l 上，求作兩點 P、

18、Q （點 P在點 Q 的左側）且 PQ a，四邊形 APQB 的周長最小4、已知：如圖點 M 在銳角 AOB 的內部，在 OA 邊上求作一點 P，在 OB 邊上求作一點 Q，使得 PMQ 的周長最小；13 / 195、已知：如圖 3 14，點 M 在銳角 AOB 的內部，在 OB 邊上求作一點 P，使得點 P 到 點 M 的距離與點 P 到 OA 邊的距離之和最小6、一條河兩岸有 A、B 兩地，要設計一條道路，并在河上垂直于河岸架一座橋，用來連接A、B兩地，問路線怎樣走，橋應架在什么地方，才能使從A到 B 所走的路線最短？軸對稱專題訓練一、選擇題（每題 3 分，共 24分）1、下列圖案中，不是

19、軸對稱圖形的是（）A B C14 / 192、（易錯易混點） 下列長度的三線段 ,能組成等腰三角形的是A . 1 1 2 B. 2 2 5 C. 3 3 5 D. 3 4 53. 如圖，已知 ACBD ，OA=OC，則下列結論不一定成立的是（ ）A . B= DB. A=BC. AD=BCD. OA=OB4（易錯易混點） 下列說法正確的是 （ ）A 等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合B頂角相等的兩個等腰三角形全等C等腰三角形一邊不可以是另一邊的二倍D等腰三角形的兩個底角相等 5、如圖， ABC與ABC 關于直線 l 對稱，且 A 78， C 48，則 B的度數為（ ）A 48B 546、如

20、圖所示， 把一個長方形紙片沿EF 折疊后，點 D，C 分別落在 D ，C的位置若 EFB 65，則 AED 等于A. 70 B. 65C. 50 D. 257、已知 M（a,3）和 N（4，b）關于 y 軸對稱，則（a b）2012 的值為（A.1B、12009C.7D. 7200915 / 198、如圖 ,BAC=110 若 MP 和 NQ分別垂直平分 AB和 AC,則 PAQ的度數是 （）A.20 B. 40 C. 50 D. 60 二、填空題（每題 3 分，共 24分）9軸對稱是指 個圖形的位置關系 ;軸對稱圖形是指 個具有特殊形狀的圖形 .10、有一條對稱軸的三角形是 三角形 ,有三條對稱軸的三角形是 三角形 .11. 如圖，在 ABC 中， A 900 ， BD 是 ABC 的平分線， DE 是 BC 的垂直平分線， 則 C=.12、（易錯易混點） 在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分線與 AC 所在的直線相交所得到銳角為 50，則 B 等于 度13、如圖，在 ABC 中， AB=AC， A 500，P 是 ABC 內一點，且 PBC= PCA，則 BPC = 14、如圖， ABC 中,A=36，AB=AC，BD 平分 ABC,DE BC ,則圖中等腰三角形有個.15、如圖