1、構(gòu)造等腰三角形解題的常見(jiàn)途徑等腰三角形是研究幾何圖形的基礎(chǔ)，因此在許多幾何問(wèn)題中，常常需要構(gòu)造等腰三角 形才能使問(wèn)題獲解，那么如何構(gòu)造等腰三角形呢？一般說(shuō)來(lái)有以下幾種途徑：一、利用角平分線 +平行線，構(gòu)造等腰三角形 當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形如圖1中，若 AD 平分 BAC ，AD EC ，則 ACE 是等腰三角形；如圖 1中， AD 平分 BAC，DE AC，則 ADE 是等腰三角形；如圖 1中， AD 平分 BAC，CE AB，則 ACE 是 等腰三角形；如圖 1中， AD 平分 BAC ，EFAD，則 AGE 是等腰三角形長(zhǎng)線于點(diǎn) E，垂足為點(diǎn) F求

2、證：AE AP簡(jiǎn)析 要證 AEAP，可尋找一條角平分線與 EF 平行，于是想到 ABAC，則可以作 AD 平分 BAC，所以 AD BC，而 EFBC，所以 AD EF，所以可得到 AEP 是等腰三角形，故 AEAP例 2 如圖 3，在 ABC中， BAC、 BCA 的平分線相交于點(diǎn) O，過(guò)點(diǎn) O作 DEAC，分別交 AB、BC 于點(diǎn) D 、E試猜想線段 AD、CE 、DE 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的猜想理由簡(jiǎn)析 猜想： AD+CEDE理由如下：由于 OA、OC分別是 BAC、 BCA 的平分 線， DE AC，所以 ADO和 CEO 均是等腰三角形，則 DO DA ，EC EO，故 AD+CE

3、DE例 3 如圖 4， ABC 中， AD 平分 BAC，E、F 分別在 BD、AD 上，且 DE CD， EFAC求證： EF AB簡(jiǎn)析 由于這里要證明的是 EFAB，而 AD 平分 BAC，所以必須通過(guò)輔助線構(gòu)造 出平行線，這樣就可以得到等腰三角形了，于是DECD 的提示下，相當(dāng)于倍長(zhǎng)中線，即延長(zhǎng) AD 至 M，使 DM AD，連結(jié) EM，則可證得 MDE ADC，所以 ME AC，又 EF AC， M CAD，所以 M EFM ，即 CAD EFM ，又因?yàn)?AD平分 BAC， 所以 BAD EFD CAD ，所以 EFAB二、利用角平分線 +垂線，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分

4、線和垂線時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形如圖 5 中， 若AD 平分BAC，ADDC，則AEC 是等腰三角形AD圖5E例 4 如圖 6，已知等腰 R ABC 中， AB AC， BAC90， BF平分 ABC， CD BD 交 BF 的延長(zhǎng)線于 D求證： BF2CD簡(jiǎn)析 由 BF平分 ABC，CDBD，并在圖 5的揭示之下， 延長(zhǎng)線 BA、CD 交于點(diǎn) E， 于是 BCE 是等腰三角形，并有 ED CD，余下來(lái)的問(wèn)題只需證明 BFCE，而事實(shí)上， 由BAC90，CDBD，AFBDFC，得ABFDCF，而 ABAC，所以ABF ACE，則 BFCE，故 BF2CD 三、利用轉(zhuǎn)化倍角，構(gòu)造等腰三角形

5、當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的 2 倍時(shí)， 我們就可以通過(guò)轉(zhuǎn)化倍角尋找到等 腰三角形如圖 7中，若 ABC 2C，如果作 BD 平分 ABC，則 DBC 是等腰三角 形；如圖 7中，若ABC2C，如果延長(zhǎng)線 CB到D，使 BD BA ，連結(jié) AD ，則 ADC 是等腰三角形；如圖 7中，若 B 2ACB，如果以 C 為角的頂點(diǎn)， CA 為角的一邊， 在形外作 ACD ACB，交 BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D，則 DBC是等腰三角形E 圖8例 5 如圖 8，在 ABC 中， ACB2B， BC2AC求證： A90簡(jiǎn)析 由于條件中有兩個(gè)倍半關(guān)系，而結(jié)論與角有關(guān)，因此首先考慮對(duì)ACB 2B 進(jìn)行技術(shù)處

6、理，即作 CD 平分 ACB 交 AB 于 D，過(guò) D 作 DEBC 于 E，則由 ACB 2 B知 B BCD，即 DBC 是等腰三角形， 而DEBC，所以 BC 2CE，又BC 2AC，所以 ACEC，所以易證得 ACD ECD ，所以 ADEC90 說(shuō)明 本題也可以利用圖 7 的、來(lái)構(gòu)造等腰三角形求解隨著課程標(biāo)準(zhǔn)深入實(shí)施：手腦并用巧解題“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純的依賴模仿與記憶，動(dòng) 手實(shí)驗(yàn)、自主探索與合作交流成為學(xué)習(xí)的重要方法 ”因此，以等腰三角形為背景的動(dòng)手 操作、動(dòng)腦設(shè)計(jì)的手腦并用的中考題悄然興起一、模擬畫(huà)圖例 1 已知在如圖 1 的 ABC 中， AB=AC， A=36，仿照?qǐng)D

7、1，請(qǐng)你再用兩種不同的方法，將 ABC 分割成 3 個(gè)三角形，使每個(gè)三角形都是等腰三角形（圖2、圖 3 供畫(huà)圖用，作圖工具不限，不要求寫(xiě)出作法，不要求證明，但要標(biāo)出所分得每個(gè)等腰三角形的內(nèi)角度數(shù)）解：如圖 4、圖 5、圖 6、圖 7二、手腦并用例 2 在平面內(nèi)，分別用 3 根、 5 根、 6 根 火柴，首尾依次相接可以搭成什么形狀的 三角形呢？通過(guò)嘗試，列表如下所示：?jiǎn)?（1）4 根火柴能搭成三角形嗎 ?2）8 根、 12 根火柴分別能搭成幾種不同形狀的三角形？并畫(huà)出圖形解：（ 1） 4 根火柴不能搭成三角形因?yàn)?+1=2 不滿足三邊關(guān)系2）8 根火柴能搭成等腰三角形，如圖8；而 12 根能搭成等邊三角形，如圖 9，或等腰三角形，如圖 10，或直角三角形，如圖 11此題動(dòng)手操作性強(qiáng)而且有助于培養(yǎng)同學(xué)們探究學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣三、動(dòng)手剪裁例 3 在勞技課上老師請(qǐng)同學(xué)們?cè)谝粡堖呴L(zhǎng)為 16cm 的正方形紙板上，剪下一個(gè)腰長(zhǎng) 為 10cm 的等腰三角形 （要求等腰三角形至少有一條邊在正方形的邊上） ，