1、.1 第二章第二章 矩陣及其運算矩陣及其運算 1 矩陣矩陣 mn2m1m n22221 n11211 aaa aaa aaa A ),( ij a也也可可以以記記成成 行矩陣（行向量行矩陣（行向量)，列矩陣（列向量列矩陣（列向量)，n 階矩陣階矩陣( n 階方陣階方陣). 定義定義 1 由由 mn 個數個數 aij (i = 1,2,m; j = 1,2,n ) 實矩陣實矩陣 nmij a )( .等等或或 nm A 稱為稱為mn 矩陣矩陣. 排成的排成的 m 行行n 列數表列數表, 記成記成 .2 例例1 （價格矩陣）四種商品在三家商店中，單位量的售價（價格矩陣）四種商品在三家商店中，單位量

2、的售價 1915818 1913915 2111717 這里的行表示商店，列表示商品這里的行表示商店，列表示商品 ai j 表示每生產一萬元第表示每生產一萬元第 j 類產品需要消耗的第類產品需要消耗的第 10. 030. 020. 0 20. 010. 035. 0 50. 040. 025. 0 aaa aaa aaa A 333231 232221 131211 a23 = 0.20 就表示每生產一萬元就表示每生產一萬元 第第 3 類產品需要消耗掉類產品需要消耗掉0.20萬元萬元 例例2 （投入（投入產出矩陣）設某地區有產出矩陣）設某地區有3個經濟部門，假定每個個經濟部門，假定每個 （以某

3、種貨幣單位計）可以用以下矩陣表示：（以某種貨幣單位計）可以用以下矩陣表示： 部門只生產一類產品，每個部門生產的產品與消耗的商品都用部門只生產一類產品，每個部門生產的產品與消耗的商品都用 貨幣來表示貨幣來表示, i 類產品的價值類產品的價值 的第的第 2 類產品的價值類產品的價值 .3 例（通路矩陣）甲省兩個城市例（通路矩陣）甲省兩個城市 s1 , s2 與乙省三個城市與乙省三個城市 t1 , t2 , s1 s2 t1 t2 t3 4 1 3 2 2 每條線上的數字表示連接該兩每條線上的數字表示連接該兩 220 314 s1 s2 t1 t2 t3 同型矩陣同型矩陣. 矩陣矩陣A與與B相等相等

4、, 記成記成 A = B. 零矩陣零矩陣,記成記成 0 . 城市的不同通路的總數以由此得到城市的不同通路的總數以由此得到 的通路信息，可用矩陣表示為：的通路信息，可用矩陣表示為： t3 的交通連接情況如下圖所示，的交通連接情況如下圖所示， .4 2 矩陣的運算矩陣的運算 一一 矩陣的加法矩陣的加法 定義定義 2 設設A =(aij ) , B =(bij ) 都是都是 mn 矩陣矩陣, 矩陣矩陣 A 與與B 的和的和 mnmn2m2m1m1m n2n222222121 n1n112121111 bababa bababa bababa BA 例例 1 112 310 351 321 )( )(

5、 131521 331201 261 031 記成記成 A + B, 規定為規定為 .5 矩陣的加法運算滿足規律矩陣的加法運算滿足規律 2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( 結合律結合律) 3. A + 0 = A 4. 設設A = ( aij ) ,記記 A = ( aij ) , 規定規定 A B = A + ( B ) 二二 數與矩陣的乘法數與矩陣的乘法 定義定義 3 ，或或的的乘乘積積記記成成（與與矩矩陣陣數數 AAaA nmij ) 規定為規定為 mn2m1m n22221 n11211 aaa aaa aaa A 稱稱 A 為為 A 的負矩陣的負矩陣

6、, 1. A + B = B + A (交換律交換律) 易知易知 A + ( A ) = 0 .6 例例 2 若若 , 10 03 11 B, 01 25 31 A 那么那么 B BA 03 615 93 3A = A3 , 10 03 11 , 11 22 20 .7 數乘矩陣的運算滿足規律：數乘矩陣的運算滿足規律： AA1)()(. BABA3 )(. AAA2 )(. , 為為數數其其中中 A, B為矩陣為矩陣. 三三 矩陣與矩陣的乘法矩陣與矩陣的乘法 定義定義4 設設 A = ( aij ) 是一個是一個 ms 矩陣矩陣, B = ( bij ) 是一個是一個 sn .,;,n21jm

7、21i bababac jssij22ij11iji A 與與 B 的乘積記成的乘積記成 AB， 即即 C = AB . 規定規定 A 與與 B 的積為一個的積為一個 mn 矩陣矩陣 C = ( cij ) ，其中其中 A B = AB ms sn mn 矩陣矩陣, .8 列列 行行 j c b b b aaai ij sj j2 j1 is2i1i 例例 3 20 14 11 21 03 14 54 312 例例 4 321 3 2 1 bbb a a a 332313 322212 312111 bababa bababa bababa .9 321 bbb 3 2 1 a a a 332

8、211 ababab 例例 5 00 11 10 10 , 00 00 10 10 00 11 00 20 例例 6 3231 2221 1211 aa aa aa 100 010 001 3231 2221 1211 aa aa aa .10 10 01 aa aa aa 3231 2221 1211 一般來說，一般來說，AB BA , 若矩陣若矩陣 A、B 滿足滿足 AB = 0, n 階矩陣階矩陣 100 010 001 En 稱為稱為單位矩陣單位矩陣.如果如果 A 為為 mn 矩陣，那么矩陣，那么 AAEAE nm 即矩陣的乘法不滿足交換律即矩陣的乘法不滿足交換律. 未必有未必有 A

9、= 0 或或 B = 0 的結論的結論. 3231 2221 1211 aa aa aa .11 n 階矩陣階矩陣 n 2 1 00 00 00 稱為對角矩陣稱為對角矩陣. 兩個對角矩陣的和是對角矩陣，兩個對角矩陣的和是對角矩陣， 兩個對角矩陣的積也是對角矩陣兩個對角矩陣的積也是對角矩陣. 矩陣的乘法滿足下述運算規律矩陣的乘法滿足下述運算規律 結結合合律律)()(.BCACAB1 ACABCBA2 )(. ).()()(.BABAAB3 分分配配律律CABAACB )( .12 )(CBAACAB 43 21 31 13 43 21 解解1 ACAB 116 54 411 25 155 71

10、解解2 .,ACAB 12 01 C 23 12 B 43 21 A7 求求如如果果例例 23 12 43 21 12 01 43 21 12 01 23 12 155 71 .13 矩陣的冪矩陣的冪 A 是一個是一個n 階矩陣階矩陣, k 是一個正整數是一個正整數,規定規定 個個k k AAAA 矩陣的冪滿足規律矩陣的冪滿足規律 ., lklklklk AAAAA 其中其中 k , l 為正整數為正整數.對于兩個對于兩個 n 階矩陣階矩陣 A與與 B，一般說，一般說 .)( kkk BAAB k n 2 1 00 00 00 k n k 2 k 1 00 00 00 例例 8 .14 A2A

11、 101 020 101 A 9 2 求求已知已知例例, 101 020 101 2 101 020 101 101 020 101 A2A2 AE2AA2A2)( 202 040 202 202 040 202 101 000 101 101 020 101 000 000 000 000 000 000 解一解一 解二解二 .15 3434333232131 2424323222121 1414313212111 bxaxaxaxa bxaxaxaxa bxaxaxaxa 例例 10 已知線性方程組已知線性方程組 如果記如果記 , 34333231 24232221 14131211 aa

12、aa aaaa aaaa A, 4 3 2 1 x x x x x 3 2 1 b b b b 那么上述線性方程組可記成那么上述線性方程組可記成 . bAx 4 3 2 1 34333231 24232221 14131211 x x x x aaaa aaaa aaaa Ax 434333232131 424323222121 1414313212111 xaxaxaxa xaxaxaxa xaxaxaxa 于是于是 .16 四四 矩陣的轉置矩陣的轉置 定義定義 5 將矩陣將矩陣 A 的各行變成同序數的列得到的矩陣稱為的各行變成同序數的列得到的矩陣稱為 A , 32 10 11 A11若若例

13、例 T A則則 矩陣的轉置滿足下述運算規律矩陣的轉置滿足下述運算規律 AA1 TT )(. TTT BABA2 )(. TT AA3 )(. T AB4)(. 記為記為 AT. . 311 201 TT AB 的轉置矩陣的轉置矩陣, .17 解一解一 因為因為 21 01 32 10 11 AB 65 21 20 所以所以 622 510 AB T )( 解二解二 TTT ABAB )( 311 201 20 11 622 510 , 21 01 B 32 10 11 A12 已已知知例例.)( T AB求求 .18 矩陣矩陣 A 稱為對稱矩陣稱為對稱矩陣， 容易知道容易知道, A = ( a

14、ij ) nn 是對稱矩陣的充要條件是是對稱矩陣的充要條件是 例例 13如果如果 A 是一個是一個 n 階矩陣，那么，階矩陣，那么，A+A 是對稱矩陣 是對稱矩陣 i , j = 1,2 , ,n. 矩陣矩陣 A 稱為反對稱矩陣，稱為反對稱矩陣， 如果如果 AT = A . 如果如果 AT = A . 矩陣矩陣 A = ( aij ) nn 是反對稱矩陣的充要條件是是反對稱矩陣的充要條件是 aij = aji , 證證 因為因為 TTTTT AAAA)()( AA T , T AA A A 是反對稱矩陣 是反對稱矩陣 所以所以A+A 是對稱矩陣 是對稱矩陣 aij = aji , i , j

15、= 1,2 , , n. TTTTT AAAA)()( 因為因為 AA T ),( T AA 所以所以A A 是反對稱矩陣 是反對稱矩陣 .19 例例 14 設設 A 為為 mn 矩陣矩陣, .階階對對稱稱矩矩陣陣為為那那么么mAAT 證證 由矩陣的乘法可知由矩陣的乘法可知 AA 是 是 m 階的階的. TTTTT AAAA)()( , T AA 所以所以 AA 是對稱矩陣 是對稱矩陣. TTT XX2EH)( 1.證明證明 H 為對稱矩陣為對稱矩陣. 1. 證證 因為因為 TTT XX2E)( ,HXX2E T 所以所以H 為對稱矩陣為對稱矩陣. 因為因為 TTT XX2E)( 2.計算計算

16、 H2 . , TT n 2 1 XX2EH1XX x x x X15 令令滿滿足足設設列列矩矩陣陣例例 .20 2T2 XX2EH2)(. )( TTT XXXX4XX4E TTT XXXX4XX4E)( TT XX4XX4E =E. .21 方陣的行列式運算滿足下述規律方陣的行列式運算滿足下述規律 ， 1. T T AAA AA2 n . BAAB3 . 例例 16 設設 A 是是 n 階矩陣，階矩陣， 11211 12222 12 = n nT ij nnnn AAA AAA A AAA （A ） 稱為矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣的伴隨矩陣. .EAAAAA 式式 Aij 所構成的矩陣所構成

17、的矩陣 五五 方陣的行列式方陣的行列式 定義定義6 由由 n 階矩陣階矩陣 A 的元素（按原來的位置）構成的行列式，的元素（按原來的位置）構成的行列式， .A記記作作 稱為方陣稱為方陣 A 的行列式的行列式, 證明證明 為數）為數）階矩陣，階矩陣，是是其中其中 nBA,( 由行列式由行列式 |A| 的各元素的代數余子的各元素的代數余子 .22 T T AA .A ，設設 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A1. ， 332313 322212 312111 T aaa aaa aaa A 332313 322212 312111 T aaa aaa aaa A

18、333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 那么那么 332313 322212 312111 T aaa aaa aaa A 于是于是 .23 333231 232221 131211 3 aaa aaa aaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A 2. 設設 A 為為 3 階矩陣階矩陣, 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A .A 3 那么那么 于是于是 ,為為數數 .24 先就先就 3 階矩陣給出證明階矩陣給出證明. 證證 設設

19、 333231 232221 131211 332313 322212 312111 333231 232221 131211 bbb bbb bbb AAA AAA AAA aaa aaa aaa AA 于是有于是有 13131212111111 AaAaAab 23132212211112 AaAaAab 33133212311113 AaAaAab 13231222112121 AaAaAab 23232222212122 AaAaAab 0AaAaAab 33233222312123 .,Ab0b0b 333231 因此因此 A00 0A0 00A AA 同理可證，同理可證， .EAA

20、A A = 0 = 0 = 0 A .EA .25 證證 設設 A = ( a i j )n n , ),( ij bAA 記記 nn2n1n n22221 n11211 nnn2n1 2n2212 1n2111 nn2n1n n22221 n11211 bbb bbb bbb AAA AAA AAA aaa aaa aaa 也就是也就是 于是有于是有 jnin2j2i1j1iij AaAaAab 因此因此 EAAA 同理可證同理可證， .EAAA . . 時時當當 時時當當 ji0 jiA .26 3 逆矩陣逆矩陣 定義定義 7 設設 A 是是 n 階矩陣，如果有階矩陣，如果有 n 階矩陣階

21、矩陣 B ，使，使 如果矩陣如果矩陣 A 是可逆的，則是可逆的，則 A 的逆矩陣是唯一的，記其為的逆矩陣是唯一的，記其為 A-1. 定理定理 1 若矩陣若矩陣 A 是可逆的，是可逆的， 證證 因為因為 A 可逆，可逆， . 1EAA 1 于是于是 定理定理 2 若若 |A|0，則則 A 可逆可逆, 且且 A A 1 A 1 .的的伴伴隨隨矩矩陣陣矩矩陣陣是是其其中中AA 則稱則稱 A 是可逆矩陣，是可逆矩陣，且稱且稱 B 為為 A 的逆矩陣的逆矩陣. AB = BA = E 即有即有 A-1 使使 A A-1= E . 所以所以 |A|0 . 則則 |A|0 . .27 證證 由由2的的 例例

22、 16 可知可知 .EAAAAA 根據逆矩陣的定義，即有根據逆矩陣的定義，即有 . A A 1 A 1 EAA A 1 A A 1 A 所以有所以有因為因為 |A|0 ， 設設 A 是是 n 階矩陣，如果階矩陣，如果|A|0 , 那么那么A稱為非奇異矩陣稱為非奇異矩陣. A 是可逆矩陣的充分必要條件是是可逆矩陣的充分必要條件是|A|0 A 是可逆矩陣的充分必要條件是是可逆矩陣的充分必要條件是A為非奇異的為非奇異的 , 441 431 321 A 例例1 判斷下列矩陣判斷下列矩陣 , 111 111 111 B 是否為可逆矩陣？是否為可逆矩陣？ .28 推論推論 設設 A, B 都為都為 n 階

23、矩陣階矩陣 , . 1 AB 且且 EBB .存在存在因而因而 1 A 于是于是 BAA 1 )( ）（ABA 1 EA 1 . 1 A 則則 A 為可逆矩陣，為可逆矩陣， 若若 AB = E（或（或 B A = E），）， 所以所以 |A|0 ， 解解 因為因為 , 01 441 431 321 A ,|0 111 111 111 B 所以所以A 為可逆矩陣，為可逆矩陣，B是不可逆矩陣是不可逆矩陣 證證 因為因為|A|B|=|AB|=|E|=1, 例例2 因為因為 , 10 01 10 21 10 21 所以所以 , 10 21 10 21 1 . 10 21 10 21 1 .29 方陣的

24、逆矩陣滿足下述運算規律方陣的逆矩陣滿足下述運算規律： .AAAA1 111 ）也也可可逆逆，且且（可可逆逆，則則若若 .,. 11 A 1 AA0A2 ）也也可可逆逆，且且（則則可可逆逆，數數若若 .)( 111 ABAB .)(. T11TT AAAA4 ）也可逆，且（也可逆，且（可逆，則可逆，則若若 .,.0A2 數數可可逆逆設設證證 可逆，可逆，所以所以A EAAAEA 11 可可逆逆，所所以以AB 11 A 1 A )且且（ . 111 ABAB ）且且（ EA 1 A 1 )( 因為因為 因為因為 1111 ABBAABAB )()(（ 3.設設A ,B 為同階可逆矩陣為同階可逆矩陣

25、, 則則 AB 也可逆，且也可逆，且3.設設A ,B 為同階可逆矩陣為同階可逆矩陣, .30 例例 3 求矩陣求矩陣 441 431 321 A 的逆矩陣的逆矩陣. 解解 由由 1 441 431 321 A 知知 A 的逆矩陣的逆矩陣 A-1 存在存在. T1T1T AAAA)()( EE T 可可逆逆，所所以以 T A.)()( T11T AA 且且 4.設設A 為可逆矩陣為可逆矩陣,因為因為 .31 再由再由 ,)(4 44 43 1 11 1A1A0A 322212 121 110 144 1 1 21 A1A31 A A 1 A 1 121 110 144 11 A ,)(4 44

26、32 1 12 332313 322212 312111 AAA AAA AAA A 1 1A2A1A 332313 得得 .32 13 02 31 C 441 431 321 A, 例例 4 已知已知 求矩陣求矩陣 X 滿足滿足 AX = C . 解解 由例由例3 知知 A-1存在，于是存在，于是 得得 X = A-1C ，即，即 ,)(CAAXA 11 121 110 144 X 40 11 131 13 02 31 .33 4 矩陣的分塊法矩陣的分塊法 子塊子塊 用分塊法計算矩陣用分塊法計算矩陣 A 與與 B的乘積的乘積 , 左矩陣左矩陣 A 的列的分法與右的列的分法與右 .,AB 111 101 021 001 B 1011 0121 0010 0001 A1，求，求設設例例 ， EA 0E 21 解解 把把 A，B 分塊成分塊成 1011 0121 0010 0001 A 其運算規則與普通矩陣的運算規則類似其運算規則與普通矩陣的運算規則類似.矩陣矩陣 B 的行的分法一致的行的分法一致. 分塊矩陣分塊矩陣 分塊法計算矩陣分塊法計算矩陣 的乘積的乘積 .34 2221