1、高考數(shù)學高考數(shù)學 (北京專用) 第九章 直線和圓的方程 9.1 直線方程與圓的方程 A A組自主命題組自主命題北京卷題組北京卷題組 五年高考 考點一直線及其方程考點一直線及其方程 1.(2018北京,7,5分)在平面直角坐標系中,記d為點P(cos ,sin )到直線x-my-2=0的距離.當,m變 化時,d的最大值為() A.1 B.2 C.3 D.4 答案答案C本題主要考查點到直線的距離. 解法一:由點到直線的距離公式得d=, cos -msin =, 令sin =,cos =, cos -msin =sin(-), d=1+, 當m=0時,dmax=3,故選C. 解法二:cos2+sin

2、2=1,P點的軌跡是以原點為圓心的單位圓, 又x-my-2=0表示過點(2,0)且斜率不為0的直線, 如圖,可得點(-1,0)到直線x=2的距離即為d的最大值. 故選C. 2 |cossin2| 1 m m 2 1m 22 1 cossin 11 m mm 2 1 1m 2 1 m m 2 1m 2 2 |12| 1 m m 2 2 12 1 m m 2 2 1m 名師點睛名師點睛 解法一:利用點到直線的距離公式求最值. 解法二:首先得出P點的軌跡是單位圓,x-my-2=0表示過點(2,0)且斜率不為0的直線,然后利用數(shù) 形結(jié)合思想輕松得到答案. 2.(2012北京,8,5分)某棵果樹前n年的

3、總產(chǎn)量Sn與n之間的關系如圖所示.從目前記錄的結(jié)果看, 前m年的年平均產(chǎn)量最高,m的值為() A.5 B.7 C.9 D.11 答案答案C前m年的年平均產(chǎn)量為,由各選項知求,的最大值,問題可轉(zhuǎn)化為求 圖中4個點A(5,S5),B(7,S7),C(9,S9),D(11,S11)與原點連線的斜率的最大值.由圖可知kOC=最大,即 前9年的年平均產(chǎn)量最高.故選C. m S m 5 5 S 7 7 S 9 9 S 11 11 S 9 9 S 評析評析 本題主要考查直線的斜率,進一步考查了數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想. 3.(2017北京,14,5分)三名工人加工同一種零件,他們在一天中的工作情況如圖所示,

4、其中點Ai的 橫、縱坐標分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數(shù),點Bi的橫、縱坐標分別為第i名 工人下午的工作時間和加工的零件數(shù),i=1,2,3. 記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù),則Q1,Q2,Q3中最大的是 ; 記pi為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數(shù),則p1,p2,p3中最大的是 . 答案答案Q1p2 解析解析設線段AiBi的中點為Ci(xi,yi). 由題意知Qi=2yi,i=1,2,3,由題圖知y1最大,所以Q1,Q2,Q3中最大的是Q1. 由題意知pi=,i=1,2,3. 的幾何意義為點Ci(xi,yi)與原點O連線的斜率. 比較OC1,OC2,OC3的斜

5、率,由題圖可知OC2的斜率最大,即p2最大. 2 2 i i y x i i y x i i y x 考點二圓的方程考點二圓的方程 1.(2016北京文,5,5分)圓(x+1)2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為() A.1 B.2 C. D.2 22 答案答案C由題意知圓心坐標為(-1,0),將直線y=x+3化成一般形式為x-y+3=0,故圓心到直線的 距離d=.故選C. 22 | 1 03| 1( 1) 2 易錯警示易錯警示在應用點到直線的距離公式d=時,一定要將直線方程化成一般形式, 正確寫出A,B,C的值,此處符號易出現(xiàn)錯誤. 00 22 |AxByC AB 評析評析 本題考查圓

6、的標準方程及點到直線的距離公式,屬中檔題. 2.(2015北京文,2,5分)圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是 () A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 答案答案D由題意得圓的半徑為,故該圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2,故選D. 2 3.(2019北京文,11,5分)設拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l.則以F為圓心,且與l相切的圓的方程 為 . 答案答案(x-1)2+y2=4 解析解析本題考查了圓的方程和拋物線的方程與性質(zhì);考查了直線與圓的位置關系. 拋物線的方程為y2=

7、4x,其焦點坐標為F(1,0),準線l的方程為x=-1.又圓與直線l相切,圓 的半徑r=2,故圓的方程為(x-1)2+y2=4. 易錯警示易錯警示 由拋物線方程求焦點坐標時出錯,從而導致錯解. B B組統(tǒng)一命題組統(tǒng)一命題省省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組 考點一直線及其方程考點一直線及其方程 1.(2016課標,4,5分)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=() A.- B.- C. D.2 4 3 3 4 3 答案答案A圓的方程可化為(x-1)2+(y-4)2=4,則圓心坐標為(1,4),圓心到直線ax+y-1=0的距離為 =1,解得a=-.

8、故選A. 2 |4 1| 1 a a 4 3 思路分析思路分析將圓的方程化成標準方程,從而得出圓心坐標,進而利用點到直線的距離公式列出 關于a的方程,解方程即可求得a的值. 2.(2016四川,8,5分)設O為坐標原點,P是以F為焦點的拋物線y2=2px(p0)上任意一點,M是線段 PF上的點,且|PM|=2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為() A. B. C. D.1 3 3 2 3 2 2 答案答案C設P(x,y),|PM|=2|MF|, =2, 又F, kOM=, 由題易知kOM最大時y0, kOM=, 當且僅當x=p時取等號. | | PM MF ,0 2 p 2 2 , 123

9、, 123 M M p x xp x yy y M M y x y xp 2px xp 2p p x x 2 2 p p 2 2 思路分析思路分析 設出P(x,y),由|PM|=2|MF|求出M點坐標,而kOM=,再用基本不等式即可解決. M M y x 3.(2016四川,9,5分)設直線l1,l2分別是函數(shù)f(x)=圖象上點P1,P2處的切線,l1與l2垂直 相交于點P,且l1,l2分別與y軸相交于點A,B,則PAB的面積的取值范圍是() A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+) D.(1,+) ln ,01, ln ,1 xx x x 答案答案A設l1是y=-ln x(0 x1)的

10、切線,切點P2(x2,y2), l1:y-y1=-(x-x1), l2:y-y2=(x-x2), -得xP=, 易知A(0,y1+1),B(0,y2-1), l1l2,-=-1,x1x2=1, 1 1 x 2 1 x 12 12 2 11 yy xx 1 1 x 2 1 x SPAB=|AB|xP|=|y1-y2+2| = =, 1 2 1 2 12 12 |2| 11 yy xx 1 2 2 12 12 12 (2)yy xx x x 1 2 2 12 12 ( lnln2)xx xx 1 2 2 12 12 ln()2x x xx 1 2 12 4 xx 12 2 xx 又0 x11,x1

11、x2=1, x1+x22=2,0SPAB0) 5.(2015課標全國,14,5分)一個圓經(jīng)過橢圓+=1的三個頂點,且圓心在x軸的正半軸上,則 該圓的標準方程為 . 2 16 x 2 4 y 答案答案 +y2= 2 3 2 x 25 4 解析解析由已知得該圓經(jīng)過橢圓的三個頂點A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知線段AB的垂直平分線 的方程為2x-y-3=0.令y=0,得x=,所以圓心坐標為,則半徑r=4-=.故該圓的標準方程為 +y2=. 3 2 3 ,0 2 3 2 5 2 2 3 2 x 25 4 思路分析思路分析 先求出橢圓的頂點坐標,由圓心在x軸正半軸上和圓的性質(zhì)確定圓心坐標

12、,進而求 得半徑得出結(jié)果. 解后反思解后反思 由弦的中垂線經(jīng)過圓心這一性質(zhì)確定圓心坐標,進而求圓的標準方程,本題若用圓 的一般方程求解運算量較大. 6.(2018課標全國,20,12分)設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k0)的直線l與C交 于A,B兩點,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程. 解析解析(1)由題意得F(1,0),l的方程為y=k(x-1)(k0). 設A(x1,y1),B(x2,y2). 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. =16k2+160,故x1+x2=. 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+

13、(x2+1)=. 由題設知=8,解得k=-1(舍去)或k=1. 因此l的方程為y=x-1. 2 (1), 4 yk x yx 2 2 24k k 2 2 44k k 2 2 44k k (2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5. 設所求圓的圓心坐標為(x0,y0), 則解得或 因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 00 2 2 00 0 5, (1) (1)16. 2 yx yx x 0 0 3, 2 x y 0 0 11, 6. x y 方法總結(jié)方法總結(jié)有關拋物線的焦點弦問

14、題,常用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化求解,在求解過程中應重視 利用韋達定理進行整體運算的方法和技巧.一般地,求直線和圓的方程,常利用待定系數(shù)法. 7.(2017課標全國,20,12分)已知拋物線C:y2=2x,過點(2,0)的直線l交C于A,B兩點,圓M是以線段 AB為直徑的圓. (1)證明:坐標原點O在圓M上; (2)設圓M過點P(4,-2),求直線l與圓M的方程. 解析解析本題考查直線與圓錐曲線的位置關系. (1)設A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2. 由可得y2-2my-4=0,則y1y2=-4. 又x1=,x2=,故x1x2=4. 因此OA的斜率與OB的斜率之積為=-1,所以

15、OAOB. 故坐標原點O在圓M上. 2 2, 2 xmy yx 2 1 2 y 2 2 2 y 2 12 () 4 y y 1 1 y x 2 2 y x 4 4 (2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4. 故圓心M的坐標為(m2+2,m),圓M的半徑r=. 由于圓M過點P(4,-2),因此 =0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4. 所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-. 當m=1時,直線l的方程為x-y-2=0

16、,圓心M的坐標為(3,1),圓M的半徑為,圓M的方程為(x-3)2+(y 222 (2)mm AP BP 1 2 10 -1)2=10. 當m=-時,直線l的方程為2x+y-4=0,圓心M的坐標為,圓M的半徑為,圓M的方程為 +=. 1 2 91 , 42 85 4 2 9 4 x 2 1 2 y 85 16 解后反思解后反思直線與圓錐曲線的相交問題,常聯(lián)立方程,消元得到一個一元二次方程,然后利用根 與系數(shù)的關系處理.以某線段為直徑的圓的方程,也可以用該線段的兩端點坐標(x1,y1)、(x2,y2) 表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. C C組教師專用題組組教師專用

17、題組 考點一直線及其方程考點一直線及其方程 1.(2014福建,6,5分)已知直線l過圓x2+(y-3)2=4的圓心,且與直線x+y+1=0垂直,則l的方程是( ) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 答案答案D由題意得已知圓的圓心為(0,3),直線x+y+1=0的斜率為-1,則所求直線的斜率為1.所 以所求直線的方程為y=x+3,即x-y+3=0.故選D. 2.(2014四川,9,5分)設mR,過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P (x,y),則|PA|+|PB|的取值范圍是() A.,2 B.,2 C.,4

18、D.2,4 55105 10555 答案答案B直線x+my=0過定點A(0,0),直線mx-y-m+3=0過定點B(1,3). 當m=0時,過定點A的直線方程為x=0,過定點B的直線方程為y=3,兩條直線互相垂直,此時P(0, 3),|PA|+|PB|=4. 當m0時,直線x+my=0的斜率為-,直線mx-y-m+3=0的斜率為m.-m=-1,兩條直線互 相垂直,即點P可視為以AB為直徑的圓上的點.當點P與點A或點B重合時,|PA|+|PB|有最小值 .當點P不與點A,點B重合時,PAB為直角三角形,且|PA|2+|PB|2=|AB|2=10.由不等式性質(zhì)知| PA|+|PB|2=2,|PA|

19、+|PB|,2. 綜合得|PA|+|PB|,2. 1 m 1 m 10 22 | 2 PAPB 5105 105 評析評析 本題考查直線的方程、兩直線垂直及不等式的性質(zhì),解答本題的關鍵是找到點P的軌 跡.屬中檔題. 3.(2013課標全國,12,5分)已知點A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a0)將ABC分割為面積 相等的兩部分,則b的取值范圍是() A.(0,1) B. C. D. 2 1 1, 22 2 1 1, 23 1 1 , 3 2 答案答案B(1)當直線y=ax+b與AB、BC相交時,如圖所示. 圖 易求得xM=-,yN=. 由已知條件得SMBN=1,a

20、=. 點M在線段OA上,-1-0, 0ba. 點N在線段BC上,01,b1. 由解得b. b a1 ab a 1 2 1 b a 1 ab a 1 2 2 12 b b b a 1 ab a 2 2 , 12 0, 12 0, b b b b b b 1 3 1 2 (2)當直線y=ax+b與AC、BC相交時,如圖所示. 圖 設MC=m,NC=n, 則SMCN=mn=,mn=1. 顯然,0n,m=. 又已知0m且mn.m且m1. 設D到AC、BC的距離為t,則=,=, +=+=1. t=,=+=+m. 1 2 1 2 2 1 n 2 2 2 2 2 2 t m DN MN t n DM MN

21、t m t n DN MN DM MN mn mn 1 t 1 m 1 n 1 m 而f(m)=m+的值域為, 即2,t. b=1-CD=1-t,1-b. 綜合(1)、(2)可得1-b0), 由題意可得解得 所以圓C的方程為(x-2)2+y2=9. 222 |2 |4 5 , 55 ()( 5), a ar 2 2, 9, a r 思路分析思路分析 待定系數(shù)法是求解圓方程的常用方法,一般步驟為設出圓的方程;列出關于系 數(shù)的方程組,并求出各系數(shù)的值;檢驗各值是否符合題意,并寫出滿足題意的圓的方程.有時 也可利用圓的幾何性質(zhì)進行求解. 評析評析 本題主要考查點與圓的位置關系,點到直線的距離公式以及

22、圓的方程的求法,考查方程 思想方法的應用,注意圓心的橫坐標的取值范圍是解決本題的關鍵. 2.(2014湖北,17,5分)已知圓O:x2+y2=1和點A(-2,0),若定點B(b,0)(b-2)和常數(shù)滿足:對圓O上任 意一點M,都有|MB|=|MA|,則 (1)b= ; (2)= . 答案答案(1)-(2) 1 2 1 2 解析解析解法一:當M為(-1,0)時,|MA|=1,|MB|=|b+1|,|b+1|=. 當M為(1,0)時,|MA|=3,|MB|=|b-1|, |b-1|=3. 由消去得3|b+1|=|b-1|, b=-(b=-2舍去).將b=-代入得=. 解法二:設M(x,y),則滿足

23、x2+y2=1. |MB|=|MA|,=, 兩邊平方得(x-b)2+y2=2(x+2)2+y2,即x2-2bx+b2+1-x2=2(x2+4x+4+1-x2),-2bx+b2+1=42x+52. 故有=1或=. 當=1時,b=-2(舍去); 當=時,b=-,b=-,=. 1 2 1 2 1 2 22 ()xby 22 (2)xy 2 22 24, 15, 0, b b 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3.(2014山東,14,5分)圓心在直線x-2y=0上的圓C與y軸的正半軸相切,圓C截x軸所得弦的長為2 ,則圓C的標準方程為 . 3 答案答案(x-2)2+(y-1)2=4 解析解析因

24、為圓心在直線x-2y=0上,且圓C與y軸相切,所以可設圓心坐標為(2a,a),則(2a)2=a2+ ()2,解得a=1.又圓C與y軸的正半軸相切,所以a=1,故圓C的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=4. 3 評析評析 本題考查直線與圓的位置關系以及圓的標準方程的求法,考查學生運算求解的能力以 及運用數(shù)形結(jié)合思想求解問題的能力.本題的易錯點是忽視圓與y軸的正半軸相切. 4.(2014陜西,12,5分)若圓C的半徑為1,其圓心與點(1,0)關于直線y=x對稱,則圓C的標準方程為 . 答案答案 x2+(y-1)2=1 解析解析根據(jù)題意得點(1,0)關于直線y=x對稱的點(0,1)為圓心,又半徑

25、r=1,所以圓C的標準方程 為x2+(y-1)2=1. 5.(2016江蘇,18,16分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60= 0及其上一點A(2,4). (1)設圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標準方程; (2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且BC=OA,求直線l的方程; (3)設點T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點P和Q,使得+=,求實數(shù)t的取值范圍. TA TP TQ 解析解析圓M的標準方程為(x-6)2+(y-7)2=25,所以圓心M(6,7),半徑為5. (1)由圓心N在直線x=6上,可設N

26、(6,y0). 因為圓N與x軸相切,與圓M外切, 所以0y00,解得t2,所以0), 因為該圓與直線y=x+1相切, 所以r=.故所求圓的方程為(x-1)2+y2=2. |1 1| 2 2 5.(2018北京東城二模,13)直線x-y-1=0被圓C所截得的弦長為,則圓C的方程可以為 .(寫出一個即可) 2 答案答案 x2+y2=1(符合題意即可) 解析解析假設圓心C在原點,則圓心(0,0)到直線x-y-1=0的距離d=,則2=. r=1.x2+y2=1. |00 1| 2 2 2 22 rd2 6.(2017北京西城二模,12)已知圓O:x2+y2=1.圓O與圓O關于直線x+y-2=0對稱,則圓O的方程是 . 答案答案(x-2)2+(y-2)2=1 解析解析圓O的圓心的坐標為(0,0),過點O作x+y-2=0的垂線,得到x-y=0. 則 OO的中點的坐標為(1,1),O的坐標為(2,2), 又兩圓半徑均為1, 圓O的方程為(x-2)2+(y-2)2=1. 20, 0 xy xy 1, 1, x y B B組組2017201920172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組 時間:10分鐘分值:15分 一、選擇題(共5分) 1.(2017北京朝陽二模,7)已知過定