1、學院:數學與統計學院班級:數學與應用數學學號：2姓名:康萍時間：2016.0 3、22實驗一微分學基礎一、實驗目得:學習使用Mat h ematica得一些基本功能來驗證或觀察得出微積分學得兒個 基本理論。1、函數應用及圖像2、數e3、積分與自然對數4、調與數列5、雙曲函數實驗環境基于Windows環境下得Math e matica7 0軟件。實驗得基本理論與方法使用Ma theinatica4、0軟件可繪制函數圖像。四、實驗得內容與步驟及得到得結果與分析實驗1函數及其圖像1、1 Tayl 0 r 級數1、1. 1(1)實驗內容:在同一坐標系中畫出同一個區間上得函數圖像得圖像，觀察 哪一條與正

2、弦函數得圖像最接近。(2) 實驗步驟:在M at h ema t ica7、0輸入語句如下:(3)實驗結果:Pio t Sin x ,0、8 Xf x,X, -pi, Pi(4)結果分析:在具有不同斜率k得過原點得直線中，時得直線與正弦曲線在原 點附近最接近;且從原點出發沿直線前進與沿正弦曲線前進得方向就是一致得， 在原點附近很小得一段旅程內兩條線路兒乎瞧不出任何差別，但繼續下去，兩條 線路就分道揚 了 ：直線沿原來得方向繼續前進，而正弦曲線則開始轉彎，兩條線 路越離越遠。I、1. 2 (1 )實驗內容:在同一坐標系中做出區間上正弦函數圖像及多項式得圖 像，觀察這些多項式函數得圖像逼近正弦曲線

3、得情況。(2) 實驗步驟:在Ma the matica?. 0輸入語句如下:P lot sin X , X- X /6, X- X 3 / e+x / 120, x-x?/3 ! +x5/ 5 ! x?/7! p x，-Pi,Pi curve 1 =P 1 ot Sin x, x , Pi, Pi, P lotstyle Rg BColor 1,0,0;cu r ve2=Plo t x -x 彳 / 1 20, x, Pi Pi, P1 otSty 1 e-RGBColor1,0,1;cu r V e3=Plot x x/S ! +x / 5 ! x/7 ! x,Pi, Pi;S h 0 w

4、curvel, cu r v e 2 cu r v e 3（3）實驗結果:（4）結果分析:通過圖像可以瞧出，次數越來越高得多項式函數得圖像越來越好得 逼近正弦函數得圖像，這些多項式就是得泰勒級數得前若干項組成得。1、2函數得升降、零點與極值 1. 2、1（1）實驗內容：在同一坐標系中做出函數及其導數得圖像，觀察（i ）當時y得圖像得升降悄況及當時，y就是否有極大值或極小值；（ii）觀察得出 方程得根得近似值a,比如a =2、5,最后求出在x=2、5附近得根得更精確得近似值。(2) 實驗步驟：在Math e mati c a7 0輸入語句如下:P1O t x-x3/ 6 , 1 -xV 2, x

5、, -4, 4 ;F i n d R oot x-x 3/6, x,2、5(3) 實驗結果:xt2、4 4 9 4 9(4) 結果分析：當時，y得圖像在區間上升，在區間上下降；當，在區間上上升,在區間上下降。觀察得出得根近似得有。通過編程得出，在x=2、5附近得根得 更精確得近似值為2、4 4 9 4 9、 1、2、2(1)實驗內容：設對n=3,4, 5 , 6, 7依次求出在x= 3附近得零點,觀察：隨著n得增加，所求出得零點有何變化趨勢？有何道理?(2) 實驗步驟：在M a thematic a 7、0輸入語句如下:f x_,n_ :=su m (-1)(2*k+l) / ( (2* k

6、+1) !) , k, OrDo P r int FindRoot f x,n, x,3、0,n,3,7(3) 實驗結果: xt3、07864xt3、1 4 869xt3、 I 4115xt3、1 416 1xt3、1 4 15 9 (4) 結果分析：隨著n得增加，所求出得零點越來月穩定于3、14 1附近，因為隨著n得增加得圖像越來越接近于得圖像，因此山求得得根也就越來越接近與 得根。1、3正弦函數得疊加 1、3、1(1)實驗內容：分別畫出區間上得函數其中2m-l可以試驗從小到大不同得值。比如2m-1=9. 19,519等。分別觀察所得得函數圖像隨著這個n值得增加得變化請況與變化趨勢。(2)

7、實驗步驟：在Mat h ematica7 0輸入語句如下:f x_, n _ : = Su m S in k *x / k, k , 1 , n , 2;-f Ex_,n_:=表示定義一個以X, n為自變量得函數。P 1 o t f X, 9 , X , -2Pi, Pif x_, n : =Sum Sink*x/k, k, 1, n , 2 ；P1O t fX, 5 1 9,x,-2Pi,Pi（3）實驗結果:05OS1 1；1 -11.11*164121 1211i1i!IAaaA；yJVV（4）結果分析：山于每一項都就是以為周期，經過求與之后得函數當然還就是以為周期。觀察圖像可知，當n值很

8、大時，圖像越來越接近于“方形”得波。一 般得，山于函數都以為周期，她們得實系數線性組合（也就就是實數倍之與）/（X）= /?+! sin x + /?j cos X + + sin kx+ 如 cos kx+ 仍以為周期。改變各個系數就得到各種不同形狀得圖像，只要不要太連續，就能 得到所有得以為周期得函數得圖像。1、3、2 （1）實驗內容：分別取n =3 0,3 0 0, 3000,在同一坐標系中畫出區間上函數得圖像。觀察當n增加時向逼近得現象。（2）實驗步驟：在Mat h emat i ca70輸入語句如下:fgsin=P 1 o t S in x , x,4Pi, 4 Pi, Pio t

9、S t yle- RGBCo1 or1, 0,0;P【:=x*Pr oduct1-x 2/( (k*Pi)2) , k, 1 ,n：x,-4P i , 4Pi】；fgprodu c t= Plo t p x,3 0 ,S how fgsin, f g pr o duct可得得實驗結果、fgs i n=P lot Sin x , x, -4 P i , 4Pi, Plot S tyle XRGBColor 1,0, O ;P【x_e_】 :=x*Productl-x2/( (k*Pi) 2) , k,l,n;fgprodu ct=P 1 otp x, 3 0 0 , x,-4P i ,4P i

10、;Showfg s i n , f gproduct可得得實驗結果、f gs i n=Pl 0 tS i n x, x,-4 Pi, 4 Pi J, P 1 ot S tyleRGBC O 1 orl,0,0 ;P【x_,n 】:=X *Produ c tl-x2/ ( (k*P i )八2) , k,l, n;f g p r o d u ct=Plo t px,30 0 0 , x, -4Pi, 4Pi;Show f g s in, fgp r oduc t 可得得實驗結果、(3) 實驗結果:n=30n =3 0 0n= 3 000(4) 結果分析：山圖像可知：當增加時, 巫合、向逐漸逼近，

11、當足夠大時，得圖像與完全1、4無極限得函數列1 上做出函數得圖像，觀察圖像當時得I、4、1(1)實驗內容：在區間-1,變化情況。在得附近仍然瞧不清楚，可以再放大，將區間改為-0、01, 0、01 其至-0、00 1,0、00 1 L(2) 實驗步驟：在Math e matica? 0輸入語句如下:P lot sin 1 /x , x, -1, 1 P lotS i nl/x,x,-0 01, 0、01(3) 實驗結果:(4) 結果分析：瞧得出當時曲線在與之間掘蕩，越接近于0就振蕩得越快，越瘋狂”。在得附近仍然瞧不清楚，可以再放大，將區間改為一 0.0 1, 0、01其至卜0、0 01,0、00

12、1,可以瞧出區間越小，曲線震蕩得越“瘋狂”，圖像更加一塌糊涂。1、4、2( 1 )實驗內容:從以上曲線中取一部分點，比如令，則當k增加時X向0 趨近,相應得y值分別就是， 。這樣就在曲線上取出了 300 0個點。將這3 0 0 0個點畫在同一個坐標系中，瞧 它們組成得圖形就是什么樣子?能否辨別出哪些點組成一條曲線？(2) 實驗步驟：在Math e mat i ca7、0輸入語句如下:T=Ta b le 1 / k, Si n k , k, 1,3000;P=Li s tP 1 ot T d=44;Tl=Ta blel/k,Sink , k, 3, 3 00 0 ,d;T2=TableP 1=

13、L is t P 11/ k ,sink k, 6, 3 0 00,d;ot T1, P lot J oin e d TTrue, P 1 ot S t yleTRGbC 0 lor Ir 0,0 ;P 2 =ListPl 0t t 2 , P lot J o i n e dTTrue, Plotstyl e-RGBCol o r 1,0, 0 ;OSOS湍:y麗：*： ft.wb : . .ojdfl?丈 Vr：: : * ： d尋二nJ廣 礎宓曲:拱G:h ;曲芒遼-i：A=X 創二_ _(M)Q3O *，- 心:二 曲 V二.-；: 必以W 乙 */*/ ； OXMM 圖二IX(4)結果

14、分析：圖一不但不就是一塌糊涂、朵亂無章，反而很有規律，呈現出一些美麗得圖案組成得網。通過利用祖沖之說得近似值(約率)，從而4 4約等于得7倍，接近，從某一個開始得一連串點組成圖一得曲線中得一條。實驗2數e2、1. 1(1)實驗內容:觀察當n趨于無窮大時數列得變化趨勢。(2) 實驗步驟：在Math e matic a 7、0輸入語句如下:DO Pr i nt （1、0+ 1 / ICTn）人（10八 n）,（1、0 + 1/10八11）八（10八 n+1） , n,l,7(3) 實驗結果: 2、5937 4 , 2、85312 2 . 7 0 481, 2、7 3 1 8 62、7 1692,

15、2、71 9 642. 71815,2 7 1 842 2、7 1 8 27,2、71832、7 1 8 2 8,2、7 18282、71 8 28,2. 71828(4) 結果分析：當n趨于無窮大時數列都趨近于2、7 1 8 2 8,最后穩定于2、71 828、 2、1、2(1)實驗內容：在同一坐標系中畫出下面三個函數得圖像，觀察當增大 時圖像得走向。(2) 實驗步驟：在Mathematic a 7. 0輸入語句如下:P lot (1+10 八(-X)(ICTx) ,(1 + 1 0 A (- X )八(1 0 x+ 1 幾E,Plot ( 1 +10 (-X) A ( 1 CTx) , (

16、 1 +10(-X) (10x + l) ,E, x,2, 4 Pl o t ( 1 +10 (-X)(10 A X), (1+ 1 0 4 (-X)人(10 A x+1) ,E,X，3,5)(3)實驗結果:(4)結果分析：通過觀察可以瞧到，當n增大時,嚴格單調遞減。隨著n得無窮增大，無限接近，趨于共同得極限e=2、708 2 8、以這個為底得自然對數。2、1、3(1)實驗內容:計算得近似值，精確到小數點后3 0位。(2)實驗步驟：在Ma themat 1 ca7. 0輸入語句如下:DoPrint Nl+Sum 1/ (k!) , k, I , n , 3 0 , n , 5, 30(3) 實

17、驗結果:2、71666 6 666 6 6 666666 6 666666666672、7 5 55 5 555555 5 55 5 5562、7 968 2 5 3 968253968252、7269841 2 6 9 8 412698 42、7 19 2 2 3 9858 9 0 6 5 2 5 572、738 4 4 797178130 5 11 52、74 9 28652、7 16 8 5 6394 6 341724122、7 7 590112、 72297479 I 2287594832、79 9 4 46 4 285469 5 7 6 472、7 3 450 3 32、7 779

18、5 852、 77481712、727 2 8 342、74490672、774 3 1 7 32、771 1 0872、757 9 2572、77404312、774 6 8782、77471 2 62、774713 52、774 7 1352、7 7 471352、774713 5(4) 結果分析:上面得對數表反映了自然對數得產生過程。在科學中廣泛應用以 e為底得得自然對數得更直接得理曲就是：它使涉及到對數得微積分與積分公式 變得更為簡單。2、2、1(1)實驗內容：通過運行Math e mati c a語句，計算當，時,得值。觀 察當X趨于0時，就是否趨于某一極限值(2)實驗步驟:在血t

19、hema t i c a 7、0輸入語句如下:D 0 Pri n t Logl 0,1、0+10、0八(-n ) / 0輸入語句如下:Do P r 1 nt Logl. O + l 0、CT (-n) / (1 0 n) , n ,1, 7 (3) 實驗結果:0 . 0 0 953 I 020、0 0 00 9 9503 39、9 9 5x109、9995x1 0 99、9999 5 x1OF9、99 9 99x10-131、 xl 0-14結果分析：當X趨于0時，趨于極限值1. X10-I實驗3積分與自然對數(1)實驗內容：畫出函數在區間0、1, 10上得圖像，觀察圖像得形狀，瞧她像就 是什

20、么函數得圖像，求出函數得參數。(2)實驗步驟：在Ma t h emat i ca7 . 0輸入語句如下:S x_ : =NInteg r ate 1 /t, t , 1 ,x;P lot S X , X, 0 . 1,10在求這個對數得底時，它應滿足條件S(b)=l,從圖像上可以瞧出b比3稍小一些， 從而以3作為初始值，利用牛頓切線法,用遞推關系式求出近似值。輸入語句如下:g a _ : = a - (S a1 ) aNestLi s t g r 3,4(3)實驗結果:3, 2、7 0 416,2、7 1 8 2 5, 2、7 I 828,2、71828 (4) 結果分析:觀察可以瞧出，圖中所畫圖像很像就是對數函數得圖像。計算結 果發現b恰就是自然對數得底eo 實驗四調與數列(1)實驗內容:將坐標得點依次連接成光滑曲線，觀察曲線得形狀，它與什么函 數得圖像形狀類似?并進行驗證。(2)實驗步驟:在Mathematica7 0輸入語句如下:H n_ : =NSuml/