1、-數的整除之四大判斷法綜合 運用（一）.教師版作者:日期:5-2-1.數的整除之四大判斷法綜合運用（一）教學目標1. 了解整除的性質；2. 運用整除的性質解題；3. 整除性質的綜合運用.知識點撥一、常見數字的整除判定方法1. 一個數的末位能被2或 5整除,這個數就能被2或5整除；一個數的末兩位能被4或 2 5整除,這個數就能被4或25整除； 一個數的末三位能被 8或1 25整除，這個數就能被8或 1 2 5整除;2. 一個位數數字和能被 3整除，這個數就能被 3整除； 一個數各位數數字和能被9整除，這個數就能被9整除；1 1整除，那么這個數能被11整3. 如果一個整數的奇數位上的數字之和與偶數

2、位上的數字之和的差能被 除.4. 如果一個整數的末三位與末三位以前的數字組成的數之差能被 或13整除.5. 如果一個數能被99整除，這個數從后兩位開始兩位一截所得的所有數字，如果是奇數位則拆出的數中若干個有兩個數字還有一個是一位數 的倍數。【備注】（以上規律僅在十進制數中成立.）7、11或13整除，那么這個數能被7、11（如果有偶數位則拆出的數都有兩個數）的和是9 9的倍數,這個數- -定是 9 9、整除性質c整除.即如果c| a ,c整除.即如果b I a,性質1 如果數a和數b都能被數c整除，那么它們的和或差也能被c I b，那么 c I （a）.性質2 如果數a能被數b整除，b又能被數c

3、整除，那么a也能被c I b，那么 c I a.用同樣的方法，我們還可以得出：性質3如果數a能被數b與數c的積整除，那么a也能被b或c整除.即如果b c I a,那么 b I a, c I a.性質4 如果數a能被數b整除，也能被數c整除，且數b和數c互質,那么a 一定能被b與c的乘積整除.即如果b I a , c I a ,且（b, c）=1,那么bc I a.例如:如果 3 I 1 2,4 I 12,且 （3,4）=1，那么（34） I 1 2.性質5如果數a能被數b整除，那么a m也能被bm整除.如果b|a,那么bm |am（m為非0整數）；性質6乂如果數a能被數b整除，且數c能被數d整

4、除，那么a c也能被bd整除如果 b I a，且d |c，那么目tM怔 例題精講模塊一、2、5系列【例1】975 935 972 ，要使這個連乘積的最后4個數字都是0，那么在方框內最小應填什么數？【考點】整除之 2、5系列【難度】2星【題型】填空【解析】積的最后4個數字都是0,說明乘數里至少有 4個因數2和4個因數5.975 5 5 39,935 5 187 ,972 2 2 243,共有3個5,2個2,所以方框內至少是 2 2 5 20 .【答案】2 2 5 20【例2】 從5 0到100的這5 1個自然數的乘積的末尾有多少個連續的0?【考點】整除之2、5系列【難度】4星【題型】解答【解析】

5、首先，50、60、7 0、80、9 0、100中共有7個0.其次，55、65、85、95和任意偶數相乘都可 以產生一個0,而75乘以偶數可以產生 2個0, 50中的因數5乘以偶數又可以產生 1個0,所以一共有 7 4 2 1 14個 0.【答案】14個連續的0【例3】 把若干個自然數1、2、3、連乘到一起，如果已知這個乘積的最末十三位恰好都是零，那么最后出現的自然數最小應該是多少 ？【考點】整除之 2、5系列 【難度】4星【題型】解答【解析】乘積末尾的零的個數是由乘數中因數2和5的個數決定的，有一對2和5乘積末尾就有一個零.由于相鄰兩個自然數中必定有一個是2的倍數，而相鄰5個數中才有一個5的倍

6、數，所以我們只要觀察因數 5 的個數就可以了.5 5 1,10 5 2 , 15 5 3, 20 5 4, 25 5 5, 30 5 6 ,發現只有25、50、75、100、這樣的數中才會出現多個因數5，乘到55時共出現11 2 13個因數5,所以至少應當寫到 55。【答案】55【例4】1 1個連續兩位數的乘積能被 343整除，且乘積的末4位都是0，那么這11個數的平均數是多少？【考點】整除之2、5系列 【難度】4星【題型】解答【解析】因為34 3 73，由于在11個連續的兩位數中，至多只能有2個數是 7的倍數，所以其中有一個必須是4 9的倍數，那就只能是49或98又因為乘積的末 4位都是0,

7、所以這連續的11個自然數至少應該含 有4個因數5 .連續的11個自然數中至多只能有3個是5的倍數，至多只能有 1個是25的倍數,所以其中有一個必須是 25的倍數，那么就只能是 25、5 0或7 5 .所以這11個數中應同時有4 9和5 0,且除50外還有兩個是5的倍數,只能是40, 41,42, 4 3, 44, 45, 46,4 7, 48,49,5 0,它們 的平均數即為它們的中間項45.【答案】45【例5】201 202 203 UM 300的結果除以10，所得到的商再除以10重復這樣的操作，在第次除以10時,首次出現余數.【考點】整除之2、5系列【難度】5星【題型】填空【關鍵詞】學而思

8、杯，5年級，第7題【解析】本題其實為求原式結果末尾有多少個連續的0.0由5和2相乘得到,最關鍵在于有多少個 5.能整除1次 5 的數有 2 05,21 0, 21 5, 220, 2 3 0, 2 3 5 , 2 40,245,25 5 ,26 0, 265, 270,280,285,290,295共16個，會乘出1 6個連續的 0;能整除2次5的數有.2 2 5 ,275,3 0 0共三個，會乘出6個連續的0;能整除Q3次5的數有2 50，會乘出3個連續的0。所以共有16 6 3 25個連續的0,則能整除25次10,第 26次首次出現余數。【答案】26次【例6】 用19這九個數字組成三個三位

9、數（每個數字都要用），每個數都是 4的倍數。這三個三位數中最小的一個最大是 。【考點】整除之2、5系列【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯，決賽,5年級，決賽，第8題,10分【解析】三個數都是4的倍數，個位必然都是偶數。當個位是2或6時，十位是奇數，當個位是4或8時，十位是偶數。因為19中只有4個偶數，所以三個數中有兩個的個位分別是2和 6,另一個的后兩位是 84 或48。因為三個數的百位都是奇數 ，所以最小的三位數的百位最大是 5,（另兩個分別是 9和7 ）。9 已被百位占用，十位最大的是 8，所以三個三位數中最小的一個最大是584。注：另兩個三位數可以是912, 736或 932,7

10、 1 6 或 9 1 6,732 或 9 3 6, 71 2。【答案】584【例7】若4b 2e d 32 ,試問abed能否被8整除？請說明理由.【考點】整除之2、5系列【難度】4星【題型】解答【解析】略【答案】由能被 8整除的特征知，只要后三位數能被8整除即可.bed 100b 10c d ,有bed (4 b 2e d) 96b8整除.8e 8(12b e)能被 8 整除，而 4b 2e d32也能被8整除,所以abed能被模塊二、3、9、9 9系列【例8】在方框中填上兩個數字，可以相同也可以不同，使 4 32 是9的倍數請隨便填出種，并檢查自己填的是否正確。【考點】整除之3、9、9 9

11、系列【難度】1星【題型】填空【解析】一個數是9的倍數，那么它的數字和就應該是9的倍數，即4 32 是9的倍數，而4329,所以只需要兩個方框中的數的和是9的倍數.依次填入3、6,因為4 3 3 2 6 1 8是9的倍數，所以43326是9的倍數。【答案】43 3 26（答案不唯一）【鞏固】若9位數20 0 8 2008能夠被3整除，則 里的數是【考點】整除之 3、9、9 9系列 【難度】1星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，4年級，初賽,2題【解析】根據題目知：20+ 是3的倍數，所以里填1或4或7.【答案】1或4或7【例9】 一個六位數2口口 727被3除余I,被9除余4，這個數最小是。【考點】

12、整除之 3、9、9 9系列【難度】2星【題型】填空【關鍵詞】走美杯,4年級，決賽，第 2題，8分【解析】被9除余4的數被3除必余1,所以只需考慮被 9除余4這個條件。這個數各個數位上的數字之和 除以9應余4。所以框里面最小是 04,六位數為:2 047 2 7.【答案】204727【例10】連續寫出從1開始的自然數，寫到 20 0 8時停止，得到一個多位數：1 2345678910 1 12007 200 8，請說明：這個多位數除以3，得到的余數是幾？為什么 ？【考點】整除之 3、9、9 9系列【難度】2星【題型】填空【關鍵詞】希望杯，四年級復賽，第15題【解析】因為連續3個自然數可以被 3整

13、除，而且最后一個自然數都是3的倍數，因為2007是3的倍數,所以123456789101|(2007是3的倍數，又因為1234567891011 | |20072008 123456789101川川 20070000 2007 1 ，所以 12345678910120072008除以 3，得到的余數是 1。【答案】1【例11】試說明一個兩位數，如果將個位數字和十位數字對調后得到一個新的兩位數，則新數與原數的差一定能被9整除.【考點】整除之 3、9、9 9系列 【難度】2星【題型】解答【解析】略【答案】設原來的兩位數為 ab，則新的兩位數為ba. ba-ab (10b a) (10a b) 9(

14、b a).因為9(b a)能被 9整除，所以它們的差能被 9整除.【例12】1234 56789101 1 121314200820 0 9除以9,商的個位數字是 。【考點】整除之 3、9、99系列 【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】走美杯，初賽，六年級，第5題【解析】首先看這個多位數是否能為9整除，如果不能，它除以 9的余數為多少。由于任意連續的9個自然數的和能被9整除，所以它們的各位數字之和能被9整除，那么把這9個數連起來寫，所得到的數也能被9整除。由于 2009 9 223川2，所以1 2 3 4 5 6 7 8 9101 1 1213 1 420 0 82009 這個數除 以9的余數等

15、于 2 0 082009(或者12)除以9的余數，為 3.那么123456 7 8910 1 1121 3 14200 8 200 9除以9的商，等于這個數減去3后除以 9的商，即1 2 345 6 7 8 910 1 112131 4200820 0 6除以9的商，那么很容易判斷商的個位數字為4。【答案】4【例13】證明abcde能被6整除，那么2(a bed) e也能被6整除.【考點】整除之 3、9、99系列【難度】3星【題型】解答【解析】略【答案】/ 6 2 3 2 | abcde 2 | e 6|3e/ 3| abcde 3 | a+b + c+ d + e 6 |2 (a+b+ c+

16、 d +e) 6| 2( a + b+ c + d+e) -3e 6 | 2 ( a +b+ c+ d )-e【例14】試說明一個5位數,原序數與反序數的差一定是99的倍數(如：12 3 67為原序數,那么它對應的反序數為76321，它們的差63954 99 646是99的倍數.【考點】整除之 3、9、9 9系列【難度】4星【題型】解答【解析】略【答案】設原序數為 abcde，則反序數為edcba，則abcde - edcba (10000a 1000b 100c 10d e) (10000e 1000d100c 10b a)9999a 990b 990d9999e99(101a 10b 10

17、d101e)因為等式的右邊能被99整除，所以abcde edcba能被9 9整除，分別按順時針和逆1和7之間剪開，得到兩個數是193426857和758624391).如果396整除,那么剪開處左右兩個數字的乘積是多少？【例15】1至9這9個數字，按圖所示的次序排成一個圓圈請你在某兩個數字之間剪開 時針次序形成兩個九位數(例如，在 要求剪開后所得到的兩個九位數的差能被【考點】整除之 3、9、9 9系列【題型】解答整除而396 99 4,所以我們只用考察它能否能被4整4整除,顯然只有當剪開處兩個數的奇偶【難度】4星【解析】互為反序的兩個九位數的差，一定能被99除.于是只用觀察原序數、反序數的末兩

18、位數字的差能否被性相同時才有可能注意圖中的具體數字，有(3,4 )處、(8,5 )處的兩個數字奇偶性均不相同，所以一 定不滿足而剩下的幾個位置奇偶性相同，有可能滿足進一步驗證，有(9, 3)處剪開的末兩位數字之差為43 19 24 , (4,2) , (2 , 6) , (6,8) , (5 , 7),( 7 ,1),(1,9)處剪開的末兩 位數字 之差為62 3 28 86 42 44,58 26 32, 85 17 68 , 91 57 34,71 39 32 .所以從(9, 3), (4,2),(2 ,6 ),( 6, 8) ,(5, 7),(1,9)處剪開，所得的兩個互為反序的九位數的

19、差才是396的倍數.(9,3), (4,2 ), (2, 6), (6,8), (5, 7),(1 , 9)處左右兩個數的乘積為 2 7,8, 12,48,3 5,9.【答案】27,8, 1 2 ,48, 35,9【例16】六位數20口 08能被99整除，是多少？【考點】整除之 3、9、99系列【難度】3星 【題型】填空【解析】方法一 ：2 0 0 0 08被9 9除商2020余2 8,所以 圧冋 28能被99整除，商 72時,99 72 7128, 末兩位是28,所以=|為71;方法二：99 9 11 , 20 08能被9 9整除，所以各位數字之和為 9的倍數，所以方框中數字的和只能為 8或

20、17;又根據數被11整除的性質 ，方框中兩數字的差為 6或5，可得zo是7 1 .方法二：根據一個數能被99整除的特點知道：20 m 8=28匚!是99倍數，所以匚0=99 28=71【答案】71【鞏固】六位口2004能被9 9整除，這個六位數是。【考點】整除之 3、9、9 9系列【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】走美杯，決賽，5年級，決賽，第3題，10分【解析】 令整個六位數為a2004b，則a2 4b必然是99的倍數，所以a=5,b=7。則這個六位數為 520047。【答案】520047 【鞏固】六位數2003口能被9 9整除，它的最后兩位數是【考點】整除之3、9、9 9系列【難度】3星【

21、題型】填空【關鍵詞】希望杯，五年級復賽，第3題，4分【解析】 試除法2 0 03 99書9= 2 0 2 4 23，所以最后兩位是9 9- 2 3=7 6。【答案】76【鞏固】已知九位數2007口12口2既是9的倍數，又是11的倍數;那么,這個九位數是多少? 【考點】整除之 3、9、9 9系列【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】2008年，迎春杯，六年級,初賽，試題【解析】方法一:設原數 2007a12b2 , 丁 9|2007a12b22 0a 2 2(0 7 1 b)0或者(a b 4 b a 9根據兩數和差同奇偶，得：a b 2ab 4或者ab13 , 11|2007a12b20 7 1b

22、) (22a02)11a b 2或者a3ab13a 2或者不成立.所以，b1ba9b 112007a12b2200731212.方法二：根據一個數能被9 9整除的特點知道若想2007口12口2能被99整除，則2 0 7_ 12 |_2必能被9 9整除,列豎式分析得2 0 73 12丄2才滿足，所以答案為200731212【答案】200731212【例17】將自然數1,2,3,4依次寫下去，若最終寫到2000,成為123 |19992000,那么這個自然數除以99余幾?【考點】整除之3、9、99系列 【難度】3星【題型】解答【解析】由于99 9 11，可以分別求這個數除以 9和11的余數，進而求

23、出它除以99的余數.實際上求得這個數除以9和11的余數均為 3，所以這個數減去 3后是9和1 1的倍數，那么也是 99的倍數，所以 這個數除以99的余數為3.下面介紹另一種解法.由于100a 99a a，所以100a除以99的余數等于a除以9 9的余數.同樣，10000a , 1000000a等數除以9 9的余數等于a除以9 9的余數可知，一個自然數 a，如果在它后面加上偶數個0，那么這個數除以99的余數等于a除以9 9的余數.根據這一點，可以把12| 19992000分成若干個后面帶有 偶數個0的數之和.由于12|19992000的位數是奇數，那么對于組成123 ”19992000的一位數1

24、, 2,3,9,可以分成100川00,2300川00, 45001|00,67001|00, 8900 *00 ;對于其中的兩位數 10,11,12, 9,8,99，可以分成 1000|00, 1100川00, 1200川00,9800|00, 9900|00 ; 對于其中的三位數100,101,102,1 0 3,，9 8 , 9 99，兩兩一組，可以分成10010100|00 ,102103001|00,10410500|00,99899900|00;對于其中的四位數 1000 ,10 0 1 ,1999 ,20 0 0,可以分成100000川00,100100川00, 10020訓00,

25、19990000,2000.那么上面分成的所有數 中，雖然每個數后面的0的個數互不相同，但都是偶數個，且它們的和恰好為12119992000,那么123| |19992000除以9 9的余數就等于分成的這些數除以99的余數的和.由于這些數除以99的余數分別為1,23 , 45 , 67,89; 10 , 11 , 12,，-9 8 ,99;10 0101 ,1 0 210 3 ,1 0 41 0 5,9 98999 ;1 00 0 ,10 0 1,1999 ,2000,而其中100101 , 1 0 2103 ,1 0 410 5,9989 99 是公差為200 2的等差數列，共4 50項，可

26、知所有這些余數的和為：123 45 67 891011 12 川99100101102103 川9989991000100122510 9990 210010199899945021000200010012225 4905 247297500 1501500248804130 ,而24880413 0除以9 9的余數等于 2 48 80 41 30 201除以9 9的余數,為3.所以12|19992000除以9 9的余數為3.【答案】3【例18】一個五位數恰好等于它各位數字和的2007倍，則這個五位數是【考點】整除之 3、9、9 9系列【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，五年級，初賽，第6題【解析】因為2 007是9的倍數,所以，這個五位