1、直線與圓錐曲線綜合性問題（含答案）一.考點(diǎn)分析。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切、相離直線方程是二元一次方程，圓錐曲線方程是二元二次方程，由它們組成的方程組，經(jīng)過消元得 到一個(gè)一元二次方程 ，直線和圓錐曲線相交、相切、相離的充分必要條件分別是.：0、:=0、：: 0 .直線與圓錐曲線相交所得的弦長(zhǎng)直線具有斜率 k ,直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（xi, yi）, B（X2, y2）,則它的弦長(zhǎng)i； 1)|AB|= Jl + k* *-x2|= Vl+k3 J% +靭)-4勒幻上面的公式實(shí)質(zhì)上是由兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出來的，只是用了交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不

2、求的技巧而已（因?yàn)閥i - y2 =k（xi -X2），運(yùn)用韋達(dá)定理來進(jìn)行計(jì)算 .當(dāng)直線斜率不存在是，則AB =|力-y2 .注: 1.圓錐曲線，一要重視定義，這是學(xué)好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結(jié)合，既熟練掌握方程組理論，又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì)，以簡(jiǎn)化運(yùn)算；2當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時(shí)，通常有兩種處理方法：一是韋達(dá)定理，二是點(diǎn)差法；3圓錐曲線中參數(shù)取值范圍問題通常從兩個(gè)途徑思考：一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍二是建立不等式，通過解不等式求范圍.二考試探究圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn)之一高考對(duì)圓錐曲線的考查，總體上是以知識(shí)應(yīng)用和問題探究為主，一般是給出曲線方程，討論曲線的基

3、本元素和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)；或給出曲線滿足的條件，判斷（求）其軌跡；或給出直線與曲線、曲線與曲線的位置 關(guān)系，討論與其有關(guān)的其他問題（如直線的方程、直線的條數(shù)、弦長(zhǎng)、曲線中參變量的取值 范圍等）；或考查圓錐曲線與其他知識(shí)綜合（如不等式、函數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)等）的問題等1. （ 2006年北京卷，文科，19）2 2橢圓C:仔匕 =1（a b 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2，點(diǎn)P在橢圓C上，且 a bPFffpf彳彳PF 2扌4 -（I）求橢圓C的方程；. . 2 2（H）若直線l過圓X +y +4x-2y=0的圓心M，交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M 對(duì)稱，求直線l的方程解析（I）由橢圓的定義及勾股定

4、理求出a，b，c的值即可，（H）可以設(shè)出 A、B點(diǎn)的坐標(biāo)及直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系即可求出直線方 程，也可以利用“點(diǎn)差法”求出直線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式求出直線方程1答案解法(I )因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以2a = PR +PF2 =6 , a=3.b2=a2 在Rt PF1F2中，F(xiàn)l = J|PF2|2 |PF2 =2j5,故橢圓的半焦距c=J5,從而c2=4,2 2所以橢圓C的方程為L(zhǎng) 仝=1.94(n)設(shè) A , B 的坐標(biāo)分別為(x1,y1 )、(x2,y2).已知圓的方程為(X+2) 2+(y 1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為(一2, 1) 從而

5、可設(shè)直線I的方程為y=k(x+2)+1,代入橢圓 C 的方程得(4+9k2) x2+(36k2+18k)x+36k2+36k 27=0. 因?yàn)锳 , B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.2所以Xi x218k 9k24 9k所以直線I的方程為y =8(x 2) 1, 即8x-9y+25=0.9(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意)解法二：(I )同解法一 2 2=(n)已知圓的方程為(x+2 ) +(y 1) 5,所以圓心 M的坐標(biāo)為(一2, 1) 設(shè)A , B的坐標(biāo)分別為(x1,y1 ) ,(x2,y2).由題意x1 = x2且2 24942 2堂垃九94由一得（捲-X2）（X1X2）（% - y2）（yy2）94因

6、為A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x1+ x2= 4, y1+ y2=2,yi y288代入得 -2 =-，即直線I的斜率為8 ,X1 X2998所以直線I的方程為y 1 = - (x+2 ),即8x 9y+25=0.9(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.)2. ( 2008年山東卷，文科，22)已知曲線C：1(a b 0)所圍成的圭寸閉圖形的面積為4. 5 ,a b2 /5曲線Cl的內(nèi)切圓半徑為記C2為以曲線Cl與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓.3(I)求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;(n)設(shè)AB是過橢圓C2中心的任意弦，I是線段AB的垂直平分線.M是I上異于橢圓中心的點(diǎn).(1 )若MO|=&|OA ( O為坐標(biāo)原點(diǎn))

7、，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C2上運(yùn)動(dòng)時(shí), 求點(diǎn)M的軌跡方程；(2) 若M是I與橢圓C2的交點(diǎn)，求 AMB的面積的最小值.1解析(I)由三角形面積公式和點(diǎn)到直線的距離公式可得關(guān)于a, b的方程組， 曲線Ci與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)，顯然C2為焦點(diǎn)在x軸的橢圓;(n) (1)設(shè)出AB的方程y=kx(k=O), A(Xa, g , M (x, y)，聯(lián)立直線與橢圓得到方程組后，由MO =，OA ( = 0)可得m的軌跡方程，注意k= 0或不存在時(shí)所得方程仍1 12 2 然成立；(2)由直線I的方程：y = x和橢圓方程聯(lián)立后表示出 Samb=AB |_OMk4由不等式放縮即可求出最小值 2ab=4T5,答案(

8、I)由題意得*ab275又a b a 0 ,解得a2 = 5 , b2 = 4 .Ja2 +b232 2因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.54(n) (1)假設(shè)ab所在的直線斜率存在且不為零，設(shè) AB所在直線方程為y =kx(k =0) , A(Xa,訕.解方程組得xA滬kx,2024 5k220k24 5k22所以O(shè)A2 . 2 =XayA2020k22 24 5k 4 5k20(1 k2)4 5k設(shè) M (x, y)，由題意知 MO = OA( =0),所以MO，即2 20(1 k2)24 5k因?yàn)镮是AB的垂直平分線,所以直線I的方程為因此x2 y2 = 2x2 )20 1 + 、y ，24

9、5L篤y2 20(x2 y2)224y 5x2又 x2 y2 = 0，所以 5x2 4y2 = 20，2，故 45又當(dāng)k = 0或不存在時(shí)，上式仍然成立.綜上所述，M的軌跡方程為 y 2 -0).45(2)當(dāng)k存在且k =0時(shí)，由(1)2Xa2024 5k2yA20k224 5kf 22x y1,由54 解得| 1八T0k2XM =5+4k22yM205 4k2所以O(shè)A2 =xA 2yA220(1 k ),4 5kAB=4 OA280(1 k ),4 5kOM220(1 k )5 4k22解法一：由于Sa amb12=-AB LOM42 280(1 k )20(1 k )4 5k25 4k24

10、00(1 +k2)2= 22(4 5k )(5 4k )2 2400(1 k )4 5k2 5 4k21600(1 k2)22 281(1 k )40 丫I 19丿當(dāng)且僅當(dāng)4 5k2 =5 4k2時(shí)等號(hào)成立，即k = 一1時(shí)等號(hào)成立,409 當(dāng) k =0, Sa amb J 52 =2、5402此時(shí) AMB面積的最小值是Saamb當(dāng)k不存在時(shí)，Sa amb9=-、5 4 =2、54029解法因?yàn)?2OM1 12 +220(1 k )20(1 k )4 5k25 4k22 24 5k 5 4k9,2 0(1 k )201又2 +OAOM40oaLom，oaLom $，綜上所述， AMB的面積的最

11、小值為40當(dāng)且僅當(dāng)4 5k2 =5 4k2時(shí)等號(hào)成立，即k= 1時(shí)等號(hào)成立,此時(shí) AMB面積的最小值是SAamb40當(dāng) k =0，S amb =丄 2.5 2 =2、5 40 .29當(dāng) k 不存在時(shí)，Sa amb =八、!5 4=2.529綜上所述， AMB的面積的最小值為 40 .93. (廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 2008屆高三第三次模擬考試，理科，20)已知拋物線 x2= y,直線L: (m+1)y+(3-m)x+m+1=0 (m R且m 1)與拋物線交于 A , B 兩點(diǎn)(1) 當(dāng)m=0時(shí)，試用x,y的不等式組表示由直線L和拋物線圍成的封閉圖形所在平面區(qū)域(包邊界),并求該區(qū)域的面積(2) 求證

12、：對(duì)任意不為零的實(shí)數(shù)m,拋物線的頂點(diǎn)都在以線段AB為直徑的圓C上；并求圓C的圓心的軌跡方程.(3) 將拋物線x2= y的圖像按向量 a= (4, 16)移動(dòng)后得到函數(shù) y=f(x)的圖像，若g(x) =6lnx - m,問是否存在實(shí)數(shù) m,使得y=f (x)的圖象與y=g (x)的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.解析(1)所要表示的平面區(qū)域包括邊界，要注意不等式取等號(hào)，由定積分即可求出相應(yīng)的面積，計(jì)算時(shí)可以整體代入；(2) 證明拋物線的頂點(diǎn)在以線段 AB為直徑的圓C上，即證明OAQBhO，圓C的圓心 的軌跡可由中點(diǎn)坐標(biāo)公式利用“代入法”求得；(3) 構(gòu)造函數(shù)

13、：:(x)二 g(x) - f (x)二 x2 -8x 6ln x m，因?yàn)?x 0，所以 y=f (x)的圖象與y=g (x)的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)問題就可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)：(x)有兩個(gè)正零點(diǎn)的問題，要對(duì) (x)的單調(diào)性進(jìn)行討論，從而求出使得 (x)由兩個(gè)正零點(diǎn)的 m的取值范圍1當(dāng)m = 0時(shí)，直線L的方程為:y 3x 0,故所求區(qū)域L2 C對(duì)應(yīng)的不等式組為丿+X蘭0；y + 3x + 1 啟 0 、y = -x22設(shè) A (x.y), B(x2, y2),不妨 x2 ax,則由得 x -3x-1 = 0*)、y + 3x +1 = 0則Xt、x2為方程 * 的兩解，即 x, x2 = 3

14、,XtX2 =-1,x2 - Xt =箱9 - 4 =日3 .所求區(qū)域面積X22s = X (_X2 +3x 十1 dx3X3x2X C(1 21 3八+xlx，X2 - Xi1XiX2-X,X2X, x21321 二32二13衛(wèi)9 1二空I 32 丿 62令k二廠2,則直線l的方程為y = kx - 1,設(shè)A(xt, y,), B(x2, y2) m +1 = _x2由得：x2+kx-1=0,方程有解，且xt, x2為其兩解，y = kx -1貝9x, x2 二-k,x,x2 二-1,-OA QB = x,x2 y,y2 = x,x2 * x,x21 T = 0. 以 AB 為直徑的圓恒過拋

15、物線頂點(diǎn)(0,0設(shè)以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(x, y),2x, x2- 2x,x222 2Xi X2 kyi y2x,x貝 U x, y =2 2 2 2得y =-2x2 -1,即所求的圓心軌跡方程 為y - -2x2 -1(3)依題意，f(x)=-x2+8x,令(x)二 g(x) - f(x)二 x2 -8x 6ln x m.因?yàn)閤 0,要使函數(shù)f (x)與函數(shù)g (x)有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則函數(shù)(xx2 -8x 6lnx - m的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(x) =2x -826 2x - 8x 6r =XX=3)& 0)X當(dāng)x( 0，1)時(shí),:(x)0, (x)是增

16、函數(shù);當(dāng) x( 1, 3)時(shí),(X):： 0, (x)是減函數(shù)當(dāng)x=1或x=3時(shí)，(X)= 0/ (x)極大值為=m 7; (x)極小值為(3) =m 6ln3 15 又因?yàn)楫?dāng) XT0 時(shí)， (x)當(dāng) X : 時(shí)，：(x) T- :所以要使 X)=0有且僅有兩個(gè)不同的正根，必須且只須g 或(3)=0即z7=或F (3) 0m +6ln 3 -15 c 0m 61 n3-15 二 0m=7 或 m =15 -61 n3.當(dāng)m=7或m= 15-61 n3.時(shí)，函數(shù)f (x)與g (x)的圖象有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn)4. ( 2008年廣東卷，文科，20)2 2設(shè)b 0，橢圓方程為二=1，拋物線方程為x

17、2 =8(y- b).如圖所示，過 點(diǎn)2b2 b2G，已知拋物線在點(diǎn) G的切F(0, b 2)作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)Fi .(1) 求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；(2) 設(shè)A, B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、 右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P ,使得 ABP為直角三角形？若存在， 請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由(不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)).解析(1)由已知可求出 G點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出拋物線在點(diǎn) G的切線方程，進(jìn)而求出F1點(diǎn)的坐標(biāo)，由橢圓方程也可以求出 F1點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出 b=1，得出橢圓方程和拋物線方程；(2)以 PAB為直角和以 PBA為直角的直

18、角三角形顯然各一個(gè)，以-APB為直角的直角三角形是否存在可以轉(zhuǎn)化成PAPB =0對(duì)應(yīng)的方程是否有解的問題，從而可以求出滿足條件的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)2 1 2答案(1)由x = 8( y -b)得y x b ,81當(dāng) y=b，2 得 x=：4, - G 點(diǎn)的坐標(biāo)為(4, b 2) , y x , y|x 蟲=1 ,4過點(diǎn)G的切線方程為y -(b 2) =x -4即y = x b-2 ,R點(diǎn)的坐標(biāo)為(b,0),令y=0得x=2-b, - 點(diǎn)的坐標(biāo)為(2 - b,0)，由橢圓方程得2 - b =b即b =1，即橢圓和拋物線的方程分別為X22y = 1 和 x = 8( y T)；2(2)T過A作x軸的垂線與

19、拋物線只有一個(gè)交點(diǎn) P ,以.PAB為直角的Rt ABP只有一 個(gè)，同理.以.PBA為直角的Rt ABP只有一個(gè)。若以.APB為直角，設(shè) P點(diǎn)坐標(biāo)為(xx2 /)，a、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和82,0)，亦宀 1)2石興十。關(guān)于x2的二次方程有一大于零的解， x有兩解，即以.APB為直角的Rt ABP有兩個(gè), 因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得 .ABP為直角三角形。高考預(yù)測(cè)1. ( 2007年山東高考真題模擬試卷八，理科，22)2 2橢圓G :冷+聳=1(a b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)F1 (- c, 0)、F2 (c, 0), M是橢圓上的 a b一點(diǎn)，且滿足f1m f2m =0.(I)求離心率 e的取值范圍

20、；(H)當(dāng)離心率e取得最小值時(shí)，點(diǎn) N (0, 3 )至9橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為 5、一 2.(i)求此時(shí) 橢圓G的方程；(ii)設(shè)斜率為k (k工0)的直線I與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn) A、B, QJ3為AB的中點(diǎn)，問A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn) P(0)、Q的直線對(duì)稱？若能，求出k的取，3值范圍；若不能，請(qǐng)說明理由.答案(I)設(shè)M ( x0, y0)22M G予詈1-c, y)=2a(22)c(2)2 _丄即a 221【e ,又 0：e：12 2又 F1M F2M =0(X。c, y)(X。2 2 2由得y =c -x代入式整理得2222 a又 0乞X。乞a0乞a (22)c/2x2（心云時(shí)，設(shè)橢

21、圓G方程為訪設(shè) H (x, y)為橢圓上一點(diǎn)，則| HN |2 = x2(y 一 3)2 =(y 3)2 2b218,其中一 b 乞 y mb若 0 ： b :：: 3,則當(dāng) y = b時(shí)，| HN |2 有最大值 b2 6b 9由 b2 6b 9 =50得b - -3 _5.、2 (舍去)若b 3，當(dāng)y= 3時(shí)，|HN|2有最大值2b2+18 由 2b2+18=50 得b2=16所求橢圓方程為2 2U13216(ii )設(shè) A(x1,y1), B (x2 , y2) , Q (x0, y0),則由2 2乂 +里3216x； . yf3216=1兩式相減得Xo2ky0 = 0又直線PQ丄直線I

22、 直線PQ方程為將點(diǎn)Q （xO, yO）代入上式得,1y。 X。k由得Q (空3 k -)33（解1）而Q點(diǎn)必在橢圓內(nèi)部2 2 X。. y。32：116247由此得k,又k匯0294:k:0 或 0v94:k :2I i94 94故當(dāng)k （- ,0） _ （0,4）時(shí)A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱.2 2V323(解2). AB所在直線方程為 y = k(x k)3332 3yk(xk)3 3由2 3 23得3216(1 2k2)x2 4 3k(1 2k2)x ?(1 2k2)2 -32=0 顯然 1+2k2工03332-4 3k(1 2k2)2 -4(1 2k2)2(1 2k2)23322

23、2二-4(1 2k2) (1 2k2) -32247一直線l與橢圓有兩不同的交點(diǎn)A、B 0 解得k,又k = 02,942:k : 0或 0 . k :J94J94故當(dāng)k (,0) . (0,)時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱。2 2(ii)另解；設(shè)直線I的方程為y=kx+by 二 kx b由送匚得32162 2 2(1 2k )x 4kbx 2b -32 =0(*)設(shè) A (x1, y1)，B(x2, y2)，Q(x0，y0)，則x1 x2x 一 22bk1 2k2y。二 kx0 b 二b1 2k2又直線PQ丄直線I 直線PQ方程為y二一丄x 3k 3將點(diǎn)Q (x0, y0)代入上式得，

24、y -x k 3將代入b =3(1 - 2k2)3 x1 , x2是(* )的兩根=(4kb)2 _4(1 2k2)(2b2 _32) =8 16(1 2k2) _8b2 _ 0代入得k2 47,又k = 02當(dāng)kw（-94,。）（0,時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱2 22. （ 2008年山東卷，理科， 22）2如圖，設(shè)拋物線方程為 x =2py（p .0）, M為直線y = -2p上 任意一點(diǎn)，過 M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為 AB.（I）求證：A, M , B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（II） 已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為 2, -2p時(shí)，AB=4.1O,求此時(shí)拋物線的方程；（III ）是否存在點(diǎn) M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D在拋物線x2 =2py（p 0）上，其中點(diǎn)C滿足O =OA OB（ O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。1答案（I）證明：由題意設(shè)2 2A(Xi, )， B(x2, )， Xi ： x2, M (x0, - 2 p). 2p2p22 cx / x* x 2py，y ,y ,2p p