1、9.5三角形的中位線基礎題匯編（3）.解答題（共30小題）1.如圖，在四邊形 ABCD中，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點.四邊形 EGFH是平行四 邊形嗎？請證明你的結論.2 .請寫出如圖，在 ABC中，若DE SABC的中位線，則DE= ：BC ”的逆命題.判斷逆命題的真假， 并說明你的理由？匕3.在四邊形 ABCD中，BD、AC相交于點 O, AC=BD , E、F分別是AB、CD的中點，連接 EF,分別交 AC、BD于點M、N .判斷 MON的形狀，并說明理由.A94.如圖，在 ABC中，AD丄BC于點D, E、F、G分別是BC、AC、AB的中點，若 AB=BC=3DE

2、=6 ,0求四邊形DEFG的周長.5.如圖，在ABC中（AB朮C）, M為BC的中點，AD平分/ BAC交BC于D, BE丄AD于E, CF丄AD 于F，求證：ME=MF .6. ABC中，D為BC中點，E為AD中點，直線 BE交AC于F,求證：AC=3AF .7 .如圖，已知 XYZ中，MY=NZ , A、B分別是YN、MZ的中點，延長 AB、BA分別交XZ、XY于點 D、C,求證：XC=XD .F Z&如圖，AB為O O的一條弦，CD為直徑(C不與A、B及、中點重合)，作CE丄AB于E, DF丄AB于 F，問CE - DF的值是否變化？為什么？9. ABC中，D為CB的延長線上一點， BE

3、是/ ABD的角平分線，AE丄BE , F是AC的中點，試說明:EF / BC，且 EF七(AB+BC ).10.如圖，在四邊形 ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點，連接 FE并延長，分別交 CD的延長線于 點 M、N,/ BME= / CNE，求證：AB=CD .BBE4CBECB15.如圖，AD是厶ABC的中線，E, F, G分別是 AB , AD , DC的中點，求證：EG與DF互相平分.16.已知：如圖，點 B是AD的中點，點 E是AB的中點，AB=AC 求證：CE= ,CDB E13.在四邊形 ABCD 中，AB / CD, E、F 是 AD、BC 中點.求證：EF= (AB+

4、CD ), EF/ CD 11.已知，如圖， AB=AC=BE , CD ABC中AB邊上的中線，求證： CE=2CD12.如圖，在 ABC 中，/ ACB=90 點 D 在 AB 上，AC=AD , DE丄CD 交 BC 于點 E, AF 平分/ BAC 交BC于F點.(1)求證：AF / DE;(2 )當 AC=6 , AB=10 時，求 BE 的長.14.如圖，已知 ABC中，點D是BA上一點，BD=AC , E, F分別是BC , DA的中點，EF和CA的延 長線相交于點 G.求證：AG=AF .G17 .在 ABC中，AD丄BC于D點，BE為中線，且/ CBE=30 求證：AD=BE

5、 .18.如圖，在 ABC 中，D、E、F 分別是 AB、BC、AC 的中點，AB=6 , AC=8 , DF=5，求 AE 的長.AR19.已知如圖， ABC中，AD為BC的中線，E為AD的中點，延長 CE交AB于點F,求的值.（用F-r多種方法解答）20 .在 ABC中，D是AB的中點，DC丄AC且tan/ BCD= ，求tanA的值.21.已知在 ABC中，M是BC的中點，AN平分/ BAC , AN丄BN，求證：MN / AC .22.已知：如圖，在 ABC中，AB AC , AD平分/ BAC , BE垂直AD延長線于 E, M是BC中點.求證：EM=_( AB - AC ).223

6、.如圖，在 ABC中，若/ B=2 / C, AD丄BC , E為BC邊中點，求證： AB=2DE .CM是DC的中點,25 .如圖， ABC中，BM平分/ ABC , AM丄BM，垂足 M點，點 N為AC的中點，AB=10 , BC=6，求 MN長度.N是AB的中點.求BC26.已知： ABC，用刻度尺量出 ABC的各邊的長度，并取各邊的中點，畫出 ABC的三條中線，你發現了什么？AD=AC , AE丄CD，垂足為E, F是BC中點，探究 BD與27.如圖，在 ABC中，D是AB上一點, 的關系并說明理由.DOBFBGCDECB28.如圖，平行四邊形 ABCD的對角線 AC, BD相交于點

7、O, AE=EB .求證：OE/ BC .30.如圖，在 ABC 中，AD=DE=EF=FB , AG=GH=HI=IC，已知 BC=8，貝U DG+EH+FI 的長是多少?29. ABC中，AD是/ BAC的平分線，G是BC的中點，過 G作直線FG平行于AD，分別交AB和CA 的延長線于點 E和點F,求證：BE=CF=1 (AB+AC ).29.5三角形的中位線基礎題匯編（3）參考答案與試題解析一.解答題（共30小題）1如圖，在四邊形 ABCD中，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點.四邊形 EGFH是平行四邊形嗎? 請證明你的結論.考點：三角形中位線定理；平行四邊形的判定.分析

8、：；根據三角形的中位線定理，可證明EGFH的對邊平行，從而可證明四邊形EGFH是平行四邊形.解答：證明：四邊形 EGFH是平行四邊形理由如下：點E、G分別是線段AB、AC的中點， EG / BC ,同理 HF / BC, GF/ AD , EH / AD , GE / HF , GF / EH ,四邊形EGFH是平行四邊形.點評：本題考查三角形的中位線定理以及平行四邊形的判定定理.三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.2. 請寫出 如圖，在 ABC中，若DE是厶ABC的中位線，貝U DE= BC”的逆命題.判斷逆命題的真假，并說明你 的理由？考點：三角形中位線定理；命題與定理.分析

9、：把原命題的條件和結論交換即可得到逆命題；逆命題為假命題.解答：解：若在 ABC中，DE= BC,那么DE是厶ABC的中位線，r2是假命題，理由如下：因為如果 DE是厶ABC的中位線，那么 ADE相似于 ABC，且相似比為 0.5, 那么 ADE是確定的，但已知一角（/ A ）和一邊，無法確定三角形和原三角形相似.點評：本題考查了命題與定理，有些命題為真命題時，它的逆命題不一定正確.3. 在四邊形 ABCD中，BD、AC相交于點 O, AC=BD , E、F分別是AB、CD的中點，連接 EF,分別交 AC、BD 于點M、N .判斷 MON的形狀，并說明理由.考點：三角形中位線定理；等腰三角形的

10、判定與性質.分析：取AD邊的中點G,連接EG , FG,則根據三角形的中位線定理，即可證得 EGF是等腰三角形，根據等邊對等角，即可證得/ GEF= / GFE,然后根據平行線的性質證得/ONM= / GEF，/ OMN= / GFE 根據等角對等邊即可證得 OM=ON 即 MON是等腰三角形.解答： 解：如圖，取 AD邊的中點G,連接EG, FG./ E、F分別是 AB、CD的中點， EG / BD , EG=BD ,2同理：FG/ AC , FG=AC ,2/ AC=BD EG=FG/ GEF= / GFE ./ EG / BD ,/ ONM= / GEF .同理，/ OMN= / GFE

11、 ./ OMN= / ONM OM=ON .即 MON是等腰三角形.點評： 本題考查了三角形的中位線定理，正確證明OM=ON是關鍵.94. 如圖，在 ABC中，AD丄BC于點D, E、F、G分別是BC、AC、AB的中點，若 AB= BC=3DE=6，求四邊形_:lDEFG的周長.考點：三角形中位線定理；直角三角形斜邊上的中線.分析：依據AB= BC=3DE=6即可求得DE、AB、BC的長，利用三角形的中位線定理即可求得GF和EF的長,3解答： 解：T Bc=3DE=6 ,3 BC=9 , DE=2 . E、F是BC和AC的中點，EF=iAB=丄6=3,2 2同理，GF=JlBC=2 9=22

12、2 2直角 abd中，g是dg的中點， DG=2aB=丄 6=3 .2 2四邊形 DEFG 的周長=GF+DG+DE+EF=衛+3+2+3=至.2 2點評：本題考查了三角形的中位線定理和直角三角形的性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.5. 如圖，在 ABC中（AB朮C）, M為BC的中點，AD平分/ BAC交BC于D , BE丄AD于E, CF丄AD于F, 求證：ME=MF .考點：三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質.專題：證明題.分析：如圖，延長CF交AB于點G,延長BE交AC的延長線于點H .根據三角形中位線定理證得mf=mE= Gb .解答： 證明：如圖，延長 CF交AB于

13、點G,延長BE交AC的延長線于點 H ./ AF 丄 GC , AD 平分/ BAC , ag=ac , gf=cf ,又點M是BC的中點， MF是厶BCG的中位線， MF=丄GB.2同理，ME=丄HC .2/ AD 平分/ BAC , BE 丄 AD , AB=AH , BG=AB - AG=AH - AC=CH，即 BG=CH , MF=ME .點評：本題考查了三角形中位線定理和等腰三角形的判定與性質解題的難點是作出圖中的輔助線，構建等腰三 角形.E為AD中點，直線BE交AC于F,求證:AC=3AF 考點：三角形中位線定理.專題：證明題.分析： 作CF中點G,連接DG,由于D、G是BC、C

14、F中點，所以 DG是厶CBF的中位線，在 ADG中利用三 角形中位線定理可求 AF=FG，同理在 CBF中，也有 CG=FG，那么有 AC=3AF 解答：證明：作CF的中點G,連接DG ,貝U FG=GC,又 BD=DC , DG / BF , AE : ED=AF : FG,/ AE=ED , AF=FG , AC=3AF 點評：此題主要考查了三角形中位線的性質，構造中位線是常用的輔助線方法關鍵是掌握三角形的中位線的性 質：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.7.如圖，已知 XYZ中，MY=NZ , A、B分別是 YN、MZ的中點，延長 AB、BA分別交 XZ、XY于點D、C,

15、 求證：XC=XD 考點：三角形中位線定理.專題：證明題.分析： 取YZ中點E,連結AE、BE.由A、B分別是YN、MZ的中點，E是YZ的中點，根據三角形中位線定理可得 AE / NZ , AE=3nZ ; BE / MY , BE=J:MY ;而 MY=NZ，等量代換得出 BE=AE，根據等邊對等角的 2 2性質得出/ BAE= / ABE，再由AE / NZ , BE / MY，根據兩直線平行，內錯角相等得出/BAE= / NDC ,/ ABE= / MCD，于是/ NDC= / MCD，再根據等角對等邊即可證明XC=XD .解答： 證明：取YZ中點E,連結AE、BE ./ A、B分別是Y

16、N、MZ的中點，E是YZ的中點， AE / NZ , AE=1nZ; BE / MY , BE=MY ;2 2/ MY=NZ , be=ae ,/ bae= / ABE ,/ AE / NZ , BE / MY ,/ BAE= / NDC，/ ABE= / MCD ,/ NDC= / MCD , XC=XD .點評：本題考查了三角形中位線定理，平行線的性質，等腰三角形的判定與性質，難度適中準確作出輔助線是 解題的關鍵.8如圖，AB為O O的一條弦，CD為直徑（C不與A、B及中點重合），作CE丄AB于E, DF丄AB于F,問CE - DF的值是否變化？為什么？考點：三角形中位線定理；平行四邊形的

17、判定與性質；垂徑定理.分析：如圖，作輔助線，首先證明四邊形DGEF為矩形；進而證明 0HDCG的中位線；借助矩形、三角形的中位線定理等知識點，列出關于線段CE、DF的等式，即可解決問題.解答：解：如圖，如圖，延長 CE交O O于點G;連接GD; 過點0作0H丄GD，交AB于點K./ CD為O 0的直徑， CG 丄 DG ;/ CE丄 AB 于 E, DF 丄 AB 于 F,四邊形DGEF為矩形， GE=KH=DF (設為 X),設 CE=卩；/ 0H / CG，且 CO=DO , GH=DH , OH DCG 的中位線， GC=2OH，即 X 尸2 (0K+ X),卩-X=2OK ,即CE -

18、 DF的值不變，為常數 20K .點評： 該題主要考查了垂徑定理、矩形的判定、三角形的中位線定理等幾何知識點的應用問題；解題的關鍵是靈 活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答；9. ABC中，D為CB的延長線上一點，BE是/ ABD的角平分線，AE丄BE , F是AC的中點，試說明：EF / BC ,且 EF= (AB+BC ).2考點：三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質.專題：證明題.分析：延長AE至G交CD于G,先證明 ABE全等于 GBE，再證明EF是厶ACG的中位線，再根據三角形的 中位線平行且等于第三邊的一半，問題得證.解答：證明：延長AE至G交CD于G, BE是/ ABD的角

19、平分線， / ABE= / GBE ,/ AE 丄 BE , / AEB= / GBE ,在ABE和厶DBE中，rZABE=ZGBEAC，AD平分/ BAC，BE垂直AD延長線于E，M是BC中點求證：EM=(AB - AC).考點：三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質.專題：證明題.分析：延長BE與AC的延長線交于點 F,可證得 Rt AEF也Rt AEB，可得AF=AB，則有CF=AB - AC ,且E 為中點，ME是厶BFC的中位線，可得出結論.解答：證明：延長 BE與AC延長線交于F點，過C作CN / ME，交BF于點N/ AD 平分/ BAC , BE 丄 AE/ BAE= / F

20、AE ,Z BEA= / FEA,在厶AEF和厶AEB中，(ZFAE=ZBAE寸 AEAE,lZBEA=ZFEA AEF AEB (ASA ), BE=EF, AF=AB ，且 AF=AC+CF , CF=AB - AC , M為BC中點，E為BF中點， MEBCF的中位線， EM=丄CF=2 (AB - AC).2 2點評：本題主要考查全等三角形的判定和性質及三角形中位線定理，構造三角形全等把所證結論轉化成證明EM= CF是解題的關鍵23. 如圖，在 ABC中，若/ B=2 / C, AD丄BC, E為BC邊中點，求證： AB=2DE .考點：三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質；直角三

21、角形斜邊上的中線.專題：證明題.分析： 取AC中點F,連接EF、DF，則EF ABC的中位線，結合條件可得到/FEC=2 / C,結合直角三角形的性質可得到/ EDF= / EFD，得到DE=EF，可得出結論.解答： 證明：取AC中點F,連接EF, DF,貝U EF 為中位線，且 EF AB、/ FEC= / B=2 / C,在直角三角形 ACD中，F是斜邊AC的中點， DF=CF ,/ DEF= / C,即有 2 / FDC= / FEC,/ EFC= / FDC+ / DFE , 2/ DFE= / FEC=2 / FDC, DE=EF, AB=2DE .點評： 本題主要考查三角形中位線定

22、理及等腰三角形的判定和性質，取AC的中點，構造出 ABC的中位線，把AB于DE的關系轉化成 AB與EF的關系是解題的關鍵.24. 如圖，在四邊形 ABCD中，AD=BC , P是對角線BD的中點，M是DC的中點，N是AB的中點.求證: / PMN= / PNM .c考點：三角形中位線定理.專題：分析：證明題.根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得PM- BC, PN= AD，然后求出PM-PN，再2 2根據等邊對等角證明即可.解答：證明： P是對角線BD的中點，M是DC的中點，N是AB的中點， PM、PN分別是 BCD和厶ABD的中位線， PM- BC, PN- AD ,2 2

23、/ AD-BC , PM-PN, / PMN- / PNM .點評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等邊對等角的性質，熟記定理與性質是 解題的關鍵.25 .如圖， ABC中，BM平分/ ABC , AM丄BM，垂足M點，點N為AC的中點，AB=10 , BC=6，求MN長度. ABC考點：三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質.分析： 延長BC,AF交于點F,通過ASA證明 ABMFBM ,根據全等三角形的性質得到 AB=FB=10 , AM=FM ,進一步得到CF，再根據三角形中位線定理即可求解.解答：解：BC, AF交于點F./ BM 平分/ ABC , AM

24、丄 BM ,/ ABM= / FBM，/ AMB= / FMB ,在厶ABM與厶FBM中，rZABf=ZFBl!-,lZMB=ZFNB ABM FBM (ASA ), AB=FB=10 , AM=FM，即點 M 是 AF 的中點./ BC=6 , CF=4.又點N為AC的中點， MN是厶ACF的中位線， MN=?CF=2 .即MN的長度是2 .AL0h.8cF點評：此題考查的是三角形中位線的性質，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半同時考查了全 等三角形的判定與性質.26. 已知： ABC，用刻度尺量出 ABC的各邊的長度，并取各邊的中點，畫出 ABC的三條中線，你發現了什么？考點：

25、三角形中位線定理.分析：如圖，動手測量得到三邊的長度；觀察發現得到中線的性質. 解答：解：如圖，用刻度尺兩出 ABC的各邊的長度分別為：AB=3.5cm , BC=4.5cm , AC=3cm .取三邊的中點 D、E、F,作中線 AD、BE、CF,發現三條中線相交于一點0.點評：該題主要考查了三角形中線的定義及其性質問題；同時還考查了動手操作能力、觀察發現能力、直覺猜測 能力等能力問題.27. 如圖，在厶ABC中，D是AB上一點，AD=AC , AE丄CD，垂足為E, F是BC中點，探究BD與EF的關系.并 說明理由.考點：三角形中位線定理；等腰三角形的性質.分析：；根據三角形的中位線定理，在

26、三角形中準確應用，并且求證 線.E為CD的中點，再求證 EFBCD的中位解答：解: BD / EF，且 BD=2EF .理由如下： 在厶 ACD 中，T AD=AC , AE 丄 CD , E為CD的中點，又 F是CB的中點， EF為厶BCD的中位線， EF/ BD , EF=2bD，即 BD=2EF .2點評：本題考查了三角形中位線定理和等腰三角形的性質三角形中位線的性質：三角形的中位線平行于第三邊 且等于第三邊的一半.28. 如圖，平行四邊形 ABCD的對角線 AC , BD相交于點 O, AE=EB .求證：0E / BC.AD考點：三角形中位線定理；平行四邊形的性質.專題：證明題.分析：根據平行四邊形的對角線互相平分可得A0=C0，然后判斷出0E是厶ABC的中位線，再根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半證明.解答： 證明：四邊形 ABCD是平行四邊形， A0=C0 ,/ AE=EB , 0E是厶ABC的中位線， 0E / BC .點評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的性質，熟記性質與定理是解題的關鍵.29. ABC中，AD是/ BAC的平分線，G是BC的中點，過 G作直線FG平行于 AD，分別交 AB和CA的延長線于點E和點F,求證：BE=CF= (A