1、fourier series representation of periodic signals 第第3章章 周期信號的傅里葉級數表示周期信號的傅里葉級數表示 fourier series representation of periodic signals 第第3章章 周期信號的傅周期信號的傅 里葉級數表示里葉級數表示 本章內容：本章內容： . . 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析 . . lti系統的頻域分析系統的頻域分析 . . 傅立葉級數的性質傅立葉級數的性質 3.0 引言引言 introduction 時域分析方法的基礎時域分析方法的基礎 ： 1)1)信號在時域的分解。信號在時

2、域的分解。 2)lti系統滿足線性、時不變性。系統滿足線性、時不變性。 從分解信號的角度出發，基本信號單元從分解信號的角度出發，基本信號單元 必須滿足兩個要求：必須滿足兩個要求： 1.1.本身簡單，本身簡單，lti系統響應能簡便得到。系統響應能簡便得到。 2.2.具普遍性，能用以構成廣泛的信號。具普遍性，能用以構成廣泛的信號。 3.1歷史的回顧歷史的回顧 （a historical perspective） 任何科學理論任何科學理論, , 科學方法的建立都是經科學方法的建立都是經 過許多人不懈的努力而來的過許多人不懈的努力而來的, , 其中有爭論其中有爭論, , 還有人為之獻出了生命。還有人為

3、之獻出了生命。 歷史的經驗告訴歷史的經驗告訴 我們我們, , 要想在科學的領域有所建樹，必須要想在科學的領域有所建樹，必須 傾心盡力為之奮斗。今天我們將要學習的傾心盡力為之奮斗。今天我們將要學習的 傅立葉分析法，也經歷了曲折漫長的發展傅立葉分析法，也經歷了曲折漫長的發展 過程，剛剛發布這一理論時，有人反對，過程，剛剛發布這一理論時，有人反對， 也有人認為不可思議。但在今天，這一分也有人認為不可思議。但在今天，這一分 析方法在許多領域已發揮了巨大的作用。析方法在許多領域已發揮了巨大的作用。 17681768年生于法國年生于法國 18071807年提出年提出“任何任何 周期信號都可以用周期信號都可

4、以用 正弦函數的級數來正弦函數的級數來 表示表示” 拉格朗日反對發表拉格朗日反對發表 18221822年首次發表年首次發表 “熱的分析理論熱的分析理論” 18291829年狄里赫利第年狄里赫利第 一個給出收斂條件一個給出收斂條件 傅里葉生平傅里葉生平 17681830 傅里葉的兩個最重要的貢獻傅里葉的兩個最重要的貢獻 “周期信號都可以表示為成諧波關系周期信號都可以表示為成諧波關系 的正弦信號的加權和的正弦信號的加權和”傅里葉的傅里葉的 第一個主要論點第一個主要論點 “非周期信號都可以用正弦信號的加非周期信號都可以用正弦信號的加 權積分來表示權積分來表示”傅里葉的第二傅里葉的第二 個主要論點個主

5、要論點 復指數函數復指數函數 、 是一切是一切lti系統的特系統的特 征函數。征函數。 、 分別是分別是lti系統與復指系統與復指 數信號相對應的特征值。數信號相對應的特征值。 ( )h s ( )h z st e n z ( )( ) st h sh t edt ( )() n k hzh n z 結論：結論： 3.2 lti系統對復指數信號的響應系統對復指數信號的響應 設離散時間系統的單位脈沖相應是設離散時間系統的單位脈沖相應是 hn, 它對復指數信號它對復指數信號xn=zn 的響應可的響應可 按前述卷積和來就求得：按前述卷積和來就求得： zhz khzzkhz khknxnhnxny n

6、 k kn k kn k 類似地，若設連續時間系統的單位脈類似地，若設連續時間系統的單位脈 沖相應是沖相應是h(t), 它對復指數信號它對復指數信號 x(t)=est 的響應可按卷積積分來就求得：的響應可按卷積積分來就求得： )( )()( )()()()()( )( she dehedhe dhtxthtxty st sstts 對對lti系統如果系統輸出系統如果系統輸出 可表示為輸入乘以一系數，可表示為輸入乘以一系數， 這時的輸入稱為系統的這時的輸入稱為系統的特征特征 函數函數。該系數就是相應特征。該系數就是相應特征 函數的函數的特征值特征值。 v只有復指數函數才能成為一切只有復指數函數才

7、能成為一切lti系統系統 的特征函數。的特征函數。 對時域的任何一個信號對時域的任何一個信號 或或 , , 若能將其表示為下列形式：若能將其表示為下列形式： ( )x t( )x n tststs eaeaeatx 321 321 )( nnn zazazanx 332211 ts k kk k eshaty )()( 利用系統的齊次性與疊加性利用系統的齊次性與疊加性 tststs eshaeshaeshatytx 321 )()()()()( 332211 ts k k k eatx )( 所以有所以有 即：即： n k k k zanx )( n k k kk zzhany )()( *

8、*問題：問題：究竟有多大范圍的信號可以用復指數究竟有多大范圍的信號可以用復指數 信號的線性組合來表示？信號的線性組合來表示？ 11 1 ( ) s ts t eh s e 22 2 () s ts t eh s e 33 3 () s ts t eh se 由于由于 一組成諧波關系的周期復指數信號集一組成諧波關系的周期復指數信號集: : 1 1、連續時間情況、連續時間情況 定義：由周期復指數信號組成的集合，定義：由周期復指數信號組成的集合， 該集合內的全部信號都是周期的，且該集合內的全部信號都是周期的，且 有一個公共周期有一個公共周期 對一個復指數信號對一個復指數信號 ，要成為具有周，要成為具

9、有周 期為期為 的周期信號的必要條件：的周期信號的必要條件： ，即，即 tj e 0 t 0 t 1 0 tj e )2, 1, 0(2 0 kkt 0 2 t k if if 定義定義 ，則，則 即一組成諧波關系的復指數信號的集合即一組成諧波關系的復指數信號的集合 就是一組其基波頻率是某一正頻率就是一組其基波頻率是某一正頻率 的整數倍的周期復指數信號。記為：的整數倍的周期復指數信號。記為： 各次諧波的周期分別為各次諧波的周期分別為 ，它們，它們 的公共周期是的公共周期是 。 0 0 2 t 0 k 0 0 ( ) jkt k te ,0, 1, 2k 0 0 2 t 0 2 k t k fo

10、urier series representation of continuous-time periodic signals 一一. . 連續時間傅里葉級數連續時間傅里葉級數 成諧波關系的復指數信號集成諧波關系的復指數信號集: : 其中每個信號都是以其中每個信號都是以 為周期的，它們為周期的，它們 的公共周期為的公共周期為 ，且該集合中所有的信，且該集合中所有的信 號都是彼此獨立的。號都是彼此獨立的。 0 ( ) jkt k te 0 2 k 0 2 3.3 連續時間周期信號的傅里葉級數表示連續時間周期信號的傅里葉級數表示 如果將該信號集中所有的信號線性組合起如果將該信號集中所有的信號線性組

11、合起 來，有來，有 顯然顯然 也是以也是以 為周期的。該級數就為周期的。該級數就 是是傅里葉級數傅里葉級數， 為傅立葉級數的系數。為傅立葉級數的系數。 這表明用傅里葉級數可以表示連續時間周這表明用傅里葉級數可以表示連續時間周 期信號，即期信號，即: : 連續時間周期信號可以分解成連續時間周期信號可以分解成 無數多個復指數諧波分量無數多個復指數諧波分量。 0 2 ( )x t 0 ( ) jkt k k x ta e k a 0 ( )cosx tt 00 11 22 jtjt ee 顯然該信號中，有兩個諧波分量，顯然該信號中，有兩個諧波分量， 為相應分量的加權因子為相應分量的加權因子 1 1

12、2 a 00 ( )cos2cos3x ttt 0000 33 1 2 jtjtjtjt eeee 在該信號中，有四個諧波分量，即在該信號中，有四個諧波分量，即, 3, 1 k 時對應的諧波分量。時對應的諧波分量。 傅里葉級數表明：傅里葉級數表明：連續時間周期信號可以按連續時間周期信號可以按 傅立葉級數被分解成無數多個復指數諧波分傅立葉級數被分解成無數多個復指數諧波分 量的線性組合。量的線性組合。 二二. .連續時間傅里葉級數的系數確定連續時間傅里葉級數的系數確定 如果周期信號如果周期信號 可以表示為傅里葉級數可以表示為傅里葉級數 0 ( ) jkt k k x ta e ( )x t 則有則

13、有 00 () ( ) jntj knt k k x t ea e 對兩邊同時在一個周期內積分，有對兩邊同時在一個周期內積分，有 00 00 () 00 ( ) tt jntjknt k k x t edtaedt 0 0 0 0 ( ) t jnt n x t edta t 0 0 0 0 1 ( ) t jnt n ax t edt t 即即 在確定此積分時，只要積分區間是一個周在確定此積分時，只要積分區間是一個周 期即可，對積分區間的起止并無特別要求，期即可，對積分區間的起止并無特別要求， 因此可表示為因此可表示為 0 1 ( ) jkt k t ax t edt t 0 1 ( ) t

14、 ax t dt t 是信號在一個周期的平均值，通常稱直是信號在一個周期的平均值，通常稱直 流分量。流分量。 0 a 設設x(tx(t) ) 是周期函數。周期是是周期函數。周期是t t0 0。 0 ( ) jkt k k x ta e 0 1 ( ) t ax t dt t 0 1 ( ) jkt k t ax t edt t 三三. .頻譜頻譜（spectral）的概念的概念 信號集信號集 中的每一個信號，除了成諧波中的每一個信號，除了成諧波 關系外，每個信號隨時間關系外，每個信號隨時間 的變化規律都是的變化規律都是 一樣的，差別僅僅是頻率不同。一樣的，差別僅僅是頻率不同。 在傅里葉級數中，

15、各個信號分量（諧波分在傅里葉級數中，各個信號分量（諧波分 量）量） 間的區別也僅僅是幅度（可以是復數）間的區別也僅僅是幅度（可以是復數） 和頻率不同。因此，和頻率不同。因此，可以用一根線段來表示可以用一根線段來表示 某個分量的幅度，用線段的位置表示相應的某個分量的幅度，用線段的位置表示相應的 頻率頻率。 t ( ) k t 1 2 1 2 0 0 00 1 分量分量 可表示為可表示為 0 jt e 因此，當把周期信號因此，當把周期信號 表示為傅里葉級數表示為傅里葉級數 時時，就可以將就可以將 表示為表示為 ( )x t ( )x t 0 ( ) jkt k k x ta e 這樣繪出的圖稱這樣

16、繪出的圖稱 為為頻譜圖頻譜圖 00 0 1 cos() 2 jtjt tee 頻譜圖其實就是將頻譜圖其實就是將 隨頻率的分布隨頻率的分布 表示出來，表示出來，即即 關系。由于關系。由于信號信號 的頻譜完全代表了信號的頻譜完全代表了信號，研究它的頻譜，研究它的頻譜 就等于研究信號本身。因此，這種表示就等于研究信號本身。因此，這種表示 信號的方法稱為信號的方法稱為頻域表示法頻域表示法。 k a 四四.傅里葉級數的其它形式傅里葉級數的其它形式 kk aa 或或 * kk aa 若若 是實信號是實信號, ,則有則有 )()(txtx ，于是，于是 ( )x t k tjk k k tjk k k tj

17、k k k tjk k eaea ea eatxtx 00 0 0 * * * )()( 傅里葉級數的三角函數表示式傅里葉級數的三角函數表示式 傅里葉級數的另一種三角函數形式傅里葉級數的另一種三角函數形式 3.4 連續時間傅里葉級數的收斂連續時間傅里葉級數的收斂 這一節來研究用傅氏級數表示周期信號的這一節來研究用傅氏級數表示周期信號的 普遍性問題，即滿足什么條件的周期信號可普遍性問題，即滿足什么條件的周期信號可 以表示為傅里葉級數。以表示為傅里葉級數。 一一. . 傅里葉級數是對信號的最佳近似傅里葉級數是對信號的最佳近似 convergence of the fourier series 0

18、1 ( ) jkt k t ax t edt t 對任何周期信號對任何周期信號 代入左式都可求得傅里葉代入左式都可求得傅里葉 系數系數 。某些情況下，左式的積分可能不收。某些情況下，左式的積分可能不收 斂，即求得的斂，即求得的 無窮大。無窮大。 0 ( ) jkt k k x ta e ifif求得的全部求得的全部 都是有限值，代入左式所都是有限值，代入左式所 得的無限項級數也可能不收斂于得的無限項級數也可能不收斂于 。 二二. . 傅里葉級數的收斂傅里葉級數的收斂 傅里葉級數收斂的兩層含義傅里葉級數收斂的兩層含義： 是否存在是否存在? ? 級數是否收斂于級數是否收斂于 ? ? k a 2.2

19、.if周期信號周期信號 在一個周期內具有有限的在一個周期內具有有限的 能量，能量，then 可以用傅里葉級數表示可以用傅里葉級數表示 （平方可積條件）即（平方可積條件）即 0 2 ( ) t x tdt 1.1.對于全部連續的周期信號都有一個傅里葉對于全部連續的周期信號都有一個傅里葉 級數表示級數表示 三組條件：三組條件： 3.3.if周期信號周期信號 滿足滿足dirichlet條件，條件，then 可以用傅里葉級數表示。可以用傅里葉級數表示。 dirichlet條件：條件： 1 1、在任何周期內信號絕對可積，即、在任何周期內信號絕對可積，即 2 、在任何單個周期內，只有有限個極值點，、在任何

20、單個周期內，只有有限個極值點， 且極值為有限值。（最大值和最小值數目且極值為有限值。（最大值和最小值數目 有限）有限） 0 ( ) t x tdt 0 00 00 11 ( )( ) jkt k tt ax t edtx t dt tt 因此，信號絕對可積就保證了因此，信號絕對可積就保證了 的存在。的存在。 k a 3、 在任何單個周期內，只有有限個第一類在任何單個周期內，只有有限個第一類 間斷點，且在間斷點上的函數值為有限值間斷點，且在間斷點上的函數值為有限值 后兩組條件并不完全等價。它們都是傅后兩組條件并不完全等價。它們都是傅 里葉級數收斂的里葉級數收斂的充分條件充分條件。相當廣泛的信號。

21、相當廣泛的信號 都能滿足這兩組條件中的一組，因而用傅里都能滿足這兩組條件中的一組，因而用傅里 葉級數表示周期信號具有相當的普遍適用性葉級數表示周期信號具有相當的普遍適用性。 幾個不滿足幾個不滿足dirichlet條件的信號條件的信號 三三. .gibbs現象現象 滿足滿足 dirichlet 條件條件的信號，其傅里的信號，其傅里 葉級數是如何收斂于葉級數是如何收斂于 的。特別當的。特別當 具有間斷點時，在間斷點附近，如何收具有間斷點時，在間斷點附近，如何收 斂于斂于 ? ? ( )x t ( )x t ( )x t 1n 3n 7n 19n 100n 用有限項傅里葉級數表示有間斷點的用有限項傅

22、里葉級數表示有間斷點的 信號時，在間斷點附近會不可避免的出信號時，在間斷點附近會不可避免的出 現振蕩和超量。超量的幅度不會隨所取現振蕩和超量。超量的幅度不會隨所取 項數的增加而減小。只是隨著項數的增項數的增加而減小。只是隨著項數的增 多，振蕩頻率變高，并向間斷點處壓縮，多，振蕩頻率變高，并向間斷點處壓縮， 從而使它所占有的能量減少從而使它所占有的能量減少。 gibbs現象表明：現象表明： 例例1 1：周期信號：周期信號 )cos(cossin)( 43 2 3 2 3 1 ttttx )()( )()()( 43 2 43 2 3333 2 1 2 1 1 tjtjtjtjtjtj eeeee

23、e j tx tjjtjjtjtj eeeee j e j 3 2 43 2 433 2 1 2 1 2 1 1 2 1 11 )()()()( 試確定試確定 的傅里葉級數系數。的傅里葉級數系數。 解：解： 由題由題 的基波周期為的基波周期為 j j aj j aa 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 11 110 ， kajeajea k jj ，其余，0)1 ( 4 2 2 1 )1 ( 4 2 2 1 4 2 4 2 2 1 2 1 2 5 01 111100 arctgarctgaaa，；， 442 1 2222 ， aa 例例2 2：對稱周期方波信號：對稱周期方波信號 1 0

24、01 1 1 0 1 00 00 0 2sin11 t jktjkt t kt t kt aedte tjktkt 1 0 t 0 t t ( )x t 確定確定 的傅里葉級數系數。的傅里葉級數系數。 1 1 0 1 0 0 2 1 1 t t t t dt t a 根據根據 可繪出可繪出 的頻譜圖。的頻譜圖。 稱為占空比稱為占空比 k a( )x t 1 0 2t t 0 ( )sa x 1 x sin sa( ) x x x 其中其中 1 0 21 2 t t 1 0 21 4 t t 1 0 21 8 t t 不變不變 時時 0 t 1 t 1 0 21 2 t t 1 0 21 4 t

25、 t 1 0 21 8 t t 1 t不變不變 時時 0 t 周期周期 和脈沖寬度和脈沖寬度 改變時頻譜的變化：改變時頻譜的變化： 1.1. 當當 不變，改變不變，改變 時，隨時，隨 使占空比減使占空比減 小，小，譜線間隔變小，幅度下降譜線間隔變小，幅度下降。但。但頻譜包頻譜包 絡的形狀不變絡的形狀不變，包絡主瓣內包含的諧波分，包絡主瓣內包含的諧波分 量數增加。量數增加。 2.2. 當當 改變，改變， 不變時，隨不變時，隨 使占空比使占空比 減小，減小，譜線間隔不變，幅度下降譜線間隔不變，幅度下降。頻譜的頻譜的 包絡改變包絡改變，包絡，包絡主瓣變寬主瓣變寬。主瓣內包含的。主瓣內包含的 諧波數量

26、也增加。諧波數量也增加。 0 t 1 2t 1 t 1 t 0 t 0 t 1 t 0 t 周期性矩形脈沖信號的頻譜特征：周期性矩形脈沖信號的頻譜特征： 1. 離散性離散性 2. 諧波性諧波性 3. 收斂性收斂性 properties of continuous-time fourier series 3.5 連續時間傅里葉級數的性質連續時間傅里葉級數的性質 學習這些性質，有助于對概念的理解和學習這些性質，有助于對概念的理解和 對信號進行級數展開。對信號進行級數展開。 一一. . 線性：線性： 若若 和和 都是以都是以 為周期的信號，且為周期的信號，且 ( )x t( )y t t 則則 二二

27、. .時移時移: : 三三. .反轉反轉: : 若若 是以是以 為周期的信號，且為周期的信號，且 ( )x t t 則則0 2 t 若若 是以是以 為周期的信號，且為周期的信號，且 ( )x tt 則則 四四. .尺度變換尺度變換: :若信號 以 為周期，且( )x tt 則則 周期為周期為 ，且，且 ()x at/t a 令令 ,當當 在在 變化時，變化時， 在在 變化變化 att 0 /t a0t 于是有：于是有：0 1 ( ) jk kk t bxeda t 五五. 相乘相乘: 若若 和和 都是以都是以 為周期的信號為周期的信號 ( )x t ( )y t t 則則 也即也即 且且: 0

28、 () 1 ( ) j k lt kllk l t ll cay t edtab t 六六. .共軛對稱性共軛對稱性: : 若信號若信號 的周期是的周期是 且：且：( )x t t 則則 由此可推得，由此可推得，對實信號有對實信號有： 或或 kk aa kk aa 七七. .parseval 定理：定理： k k t adttx t 2 2 )( 1 表明：表明：一個周期信號的平均功率就等于它一個周期信號的平均功率就等于它 所有諧波分量的平均功率之和所有諧波分量的平均功率之和. . * * 掌握表掌握表3.1 對實信號對實信號,當當 時，時，( )()x txt kk aa （實偶函數）（實偶

29、函數） 當當 時，時， ( )()x txt kk aa （虛奇函數）（虛奇函數） 例例1：如圖周期為：如圖周期為 的沖激串的沖激串 k ktttx)()( -t 1 t t0 )(tx 0 / 2 / 2 11 ( ) t jkt k t at edt tt 0 1 ( ) jkt k x te t 0 2 t t 求其傅里葉級數表示。求其傅里葉級數表示。 解：解： 例例2：周期性矩形脈沖：周期性矩形脈沖 )(tg 1 0 1 t 1 t -t tt 解：將其微分后可利用例解：將其微分后可利用例1表示為表示為 )()()( 11 ttxttxtg 求其傅里葉級數系數。求其傅里葉級數系數。 )

30、( tg 1 t 0 1 t 1 t 設設 由時域微分性質有由時域微分性質有 0kk bjk c 由例由例1知知1/ k at 根據時移特性，有根據時移特性，有 0 10 1 0 1 2sin jktjkt kkk baeejakt 0 10 11 000 1 2sinsin2 k k bktktt c jkkttkt 0 2/t 0k 考察成諧波關系的復指數信號集考察成諧波關系的復指數信號集: : 該信號集中每一個信號都以該信號集中每一個信號都以 為周期，為周期， 且該集合中只有且該集合中只有 個信號是彼此獨立的。個信號是彼此獨立的。 fourier series representatio

31、n of discrete-time periodic signals n 一一. .離散時間傅里葉級數離散時間傅里葉級數（dfs） discrete-time fourier series n 3.6 離散時間周期信號的傅里葉級數表示離散時間周期信號的傅里葉級數表示 將這將這n n個獨立的信號線性組合起來，一定個獨立的信號線性組合起來，一定 能表示一個以能表示一個以n n為周期的序列。即：為周期的序列。即： 其中其中k k為為n n個相連的整數個相連的整數 這個級數就稱為這個級數就稱為離散時間傅里葉級數離散時間傅里葉級數( (dfs)， 其中其中a ak k也稱為周期信號也稱為周期信號xnx

32、n 的頻譜。的頻譜。 二二. . 傅里葉級數系數的確定傅里葉級數系數的確定 給給 兩邊同乘以兩邊同乘以 ，得，得 2 jrn n e 顯然顯然 仍是以仍是以 為周期的為周期的n 而而 rkn rk e e ee nrkj rkj n n nrkj nn nrkj nn 0 1 1 /2)( 2)( 1 0 )()( 22 顯然上式滿足顯然上式滿足 即即 也是以也是以 為為 周期的，或者說周期的，或者說 中只有中只有 個是獨立的個是獨立的。 即即 或或 knk aa k a k a 對實信號同樣有對實信號同樣有： kk aa kk aa rere kk aa imim kk aa n n 離散時

33、間傅里葉級數離散時間傅里葉級數 設有設有周期為周期為n的的離散時間離散時間xn，那么定義：，那么定義： nn nknj k enx n a /2 1 nk nknj k eanx /2 k dfs nxa 記為： 定義的合理性說明，在下式中帶入定義的合理性說明，在下式中帶入xn ： 1 0 / )(2 1 1 0 1 0 /2 1 0 /2 1 1 0 /2/2 nx emx eemx eaea n k nmnkj n n m n k nknj n m nkmj n n k nknj k nk nknj k 例例1 1：考慮信號：考慮信號 nnx 5 2 sin 55 5 2 2 1 k k

34、k n )( njnj ee j nx 5 2 5 2 2 1 基波周期基波周期 0 2 1 2 1 11 k ak j a j a，其余， 的頻譜圖的頻譜圖 三三. .周期性方波序列的頻譜周期性方波序列的頻譜 11 2121 ()() 22 1 jkjknjkn nnn jkjkjk nnn eee n eee 2 1 1 1 1 2 (1) 2 2 11 1 jkn n jnk n n jkn n k jk nn n ee ae nn e 1 21 k n a n krn 顯然顯然 的包絡具有的包絡具有 的形狀。的形狀。 k a sin sin x x 時時 1 sin(21) 1 sin

35、 kn n n k n 0, 2 ,knn u 當當 不變、不變、 時，頻譜的時，頻譜的包絡形狀不變包絡形狀不變， 只是只是幅度減小，譜線間隔變小幅度減小，譜線間隔變小。 u 當當 改變、改變、 不變時，由于不變時，由于 的包絡具的包絡具 有有 的形狀，而的形狀，而 ，可知其包絡可知其包絡 形狀一定形狀一定發生變化。當發生變化。當 時，包絡的第一時，包絡的第一 個零點會遠離個零點會遠離原點從而使原點從而使頻譜主瓣變寬頻譜主瓣變寬。這。這 一點也與連續時間周期矩形一點也與連續時間周期矩形脈沖的情況類似。脈沖的情況類似。 1 n 1 n n n k a sin sin x x 1 21n 1 n

36、k k k 1 2 20 n n 1 1 10 n n 1 2 10 n n 周期性方波序列的頻譜周期性方波序列的頻譜 四四. . dfs的收斂的收斂 dfs 是一個有限項的級數，確定是一個有限項的級數，確定 的關系式也是有限項的和式，因而的關系式也是有限項的和式，因而不存在不存在 收斂問題收斂問題，也不會產生，也不會產生gibbs現象現象。 k a 周期序列的頻譜也具有周期序列的頻譜也具有離散性、諧波性離散性、諧波性， 當在當在 區間考查時區間考查時，也具有也具有收斂性收斂性。 不同的是，離散時間周期信號的頻譜具有不同的是，離散時間周期信號的頻譜具有周周 期性期性。 1. 相乘相乘 2. 差

37、分差分 周期卷積周期卷積 properties of discrete-time fourier series 3.7 dfs的性質的性質 dfs有許多性質，這里只選幾個加以討論。有許多性質，這里只選幾個加以討論。 3. 時域內插時域內插若若 以以n為周期，為周期， 則則 以以mn為周期。為周期。 令令 令令 ,則有則有 nrm 時時 0 nmn0 rn 4. paseval定理定理 左邊是信號在一個周期內的平均功率，右左邊是信號在一個周期內的平均功率，右 邊是信號的各次諧波的總功率。邊是信號的各次諧波的總功率。 上式表明：上式表明：一個周期信號的平均功率等于它一個周期信號的平均功率等于它 的

38、所有諧波分量的功率之和。的所有諧波分量的功率之和。也表明：也表明：周期周期 信號的功率既可以由時域求得，也可以由頻信號的功率既可以由時域求得，也可以由頻 域求得。域求得。 3.8 傅里葉級數與傅里葉級數與lti系統系統 復指數函數是復指數函數是lti的特征函數的特征函數 與與x(t)=est和和xn=zn相應的特征值分別為：相應的特征值分別為： 其中其中h(t)和和hn分別是連續時間和離散時間分別是連續時間和離散時間lti系系 統的單位沖激相應。統的單位沖激相應。 如果上面的如果上面的s和和z是一般的復數變量，則有是一般的復數變量，則有h(s)和和 h(z)分別稱為分別稱為系統函數。系統函數。 k ks zkhzhd