1、 一、知識結構：一、知識結構： 任意角與任意角與 弧度制：弧度制： 單位圓單位圓 任意角任意角 的三角的三角 函數函數 三角函數三角函數 線；三角線；三角 函數的圖函數的圖 象和性質象和性質 三角函三角函 數線模數線模 型的簡型的簡 單應用單應用 同角三角同角三角 函數的基函數的基 本關系式本關系式 誘導誘導 公式公式 1. 角的概念的推廣：角的概念的推廣： 二、知識要點：二、知識要點： 1. 角的概念的推廣：角的概念的推廣： (1) 正角、負角、零角的概念：正角、負角、零角的概念： 二、知識要點：二、知識要點： 1. 角的概念的推廣：角的概念的推廣： (1) 正角、負角、零角的概念：正角、負

2、角、零角的概念： (2) 終邊相同的角：終邊相同的角： 二、知識要點：二、知識要點： 1. 角的概念的推廣：角的概念的推廣： (1) 正角、負角、零角的概念：正角、負角、零角的概念： (2) 終邊相同的角：終邊相同的角： 所有與角所有與角 終邊相同的角，連同角終邊相同的角，連同角 在內，可構成一個集合：在內，可構成一個集合： 二、知識要點：二、知識要點： 一、任意角的三角函數 1、角的概念的推廣 正角正角 負角負角 ox y 的終邊 的終邊 ),( 零角零角 與a終邊相同的角的集合a=x|x=a+k 0 360z k 象限角與非象限角 象限角的集合：象限角的集合： 1. 角的概念的推廣：角的概

3、念的推廣： 二、知識要點：二、知識要點： 象限角的集合：象限角的集合： 第一象限角集合為：第一象限角集合為： ； 第二象限角集合為：第二象限角集合為： ； 第三象限角集合為：第三象限角集合為： ； 第四象限角集合為：第四象限角集合為： ； 1. 角的概念的推廣：角的概念的推廣： 二、知識要點：二、知識要點： 軸線角的集合：軸線角的集合： 1. 角的概念的推廣：角的概念的推廣： 二、知識要點：二、知識要點： 軸線角的集合：軸線角的集合： 終邊在終邊在x軸非負半軸角的集合為：軸非負半軸角的集合為： ； 終邊在終邊在x軸非正半軸角的集合為：軸非正半軸角的集合為： ； 故終邊在故終邊在x軸上角的集合為

4、：軸上角的集合為： ； 終邊在終邊在y軸非負半軸角的集合為：軸非負半軸角的集合為： ； 故終邊在故終邊在y軸上角的集合為：軸上角的集合為： ； 終邊在終邊在y軸非正半軸角的集合為：軸非正半軸角的集合為： ； 終邊在坐標軸上的角的集合為：終邊在坐標軸上的角的集合為： . 1. 角的概念的推廣：角的概念的推廣： 二、知識要點：二、知識要點： 2. 弧度制：弧度制： 二、知識要點：二、知識要點： 2. 弧度制：弧度制： 我們規定，長度等于半徑的弧所對我們規定，長度等于半徑的弧所對 的圓心角叫做的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度弧度的角；用弧度來度 量角的單位制叫做量角的單位制叫做弧度制弧度制. 在弧

5、度制下，在弧度制下， 1弧度記做弧度記做1rad. 二、知識要點：二、知識要點： 2. 弧度制：弧度制： (1) 角度與弧度之間的轉換：角度與弧度之間的轉換： 二、知識要點：二、知識要點： 2. 弧度制：弧度制： (1) 角度與弧度之間的轉換：角度與弧度之間的轉換： 將角度化為弧度：將角度化為弧度： 二、知識要點：二、知識要點： 2. 弧度制：弧度制： (1) 角度與弧度之間的轉換：角度與弧度之間的轉換： 將角度化為弧度：將角度化為弧度： 2360 180 二、知識要點：二、知識要點： 2. 弧度制：弧度制： (1) 角度與弧度之間的轉換：角度與弧度之間的轉換： 將角度化為弧度：將角度化為弧度

6、： 2360 180 rad01745. 0 180 1 二、知識要點：二、知識要點： 2. 弧度制：弧度制： (1) 角度與弧度之間的轉換：角度與弧度之間的轉換： 將角度化為弧度：將角度化為弧度： 2360 180 rad01745. 0 180 1 rad n n 180 二、知識要點：二、知識要點： 將弧度化為角度：將弧度化為角度： 2. 弧度制：弧度制： (1) 角度與弧度之間的轉換：角度與弧度之間的轉換： 二、知識要點：二、知識要點： 將弧度化為角度：將弧度化為角度： 3602 180 2. 弧度制：弧度制： (1) 角度與弧度之間的轉換：角度與弧度之間的轉換： 二、知識要點：二、知

7、識要點： 將弧度化為角度：將弧度化為角度： 3602 180 815730.57) 180 (1 rad 2. 弧度制：弧度制： (1) 角度與弧度之間的轉換：角度與弧度之間的轉換： 二、知識要點：二、知識要點： 將弧度化為角度：將弧度化為角度： 3602 180 815730.57) 180 (1 rad ) 180 ( n n 2. 弧度制：弧度制： (1) 角度與弧度之間的轉換：角度與弧度之間的轉換： 二、知識要點：二、知識要點： (2) 把上述象限角和軸線角用弧度表示把上述象限角和軸線角用弧度表示. 2. 弧度制：弧度制： 二、知識要點：二、知識要點： (2) 把上述象限角和軸線角用弧

8、度表示把上述象限角和軸線角用弧度表示. 2. 弧度制：弧度制： 二、知識要點：二、知識要點： (3) 上述象限角和軸線角用弧度表示：上述象限角和軸線角用弧度表示： (2) 把上述象限角和軸線角用弧度表示把上述象限角和軸線角用弧度表示. (3) 上述象限角和軸線角用弧度表示：上述象限角和軸線角用弧度表示： ; rl弧弧長長公公式式： 2. 弧度制：弧度制： 二、知識要點：二、知識要點： (2) 把上述象限角和軸線角用弧度表示把上述象限角和軸線角用弧度表示. ; rl弧弧長長公公式式： . 2 1 lrs 扇扇形形面面積積公公式式： 2. 弧度制：弧度制： 二、知識要點：二、知識要點： (3) 上

9、述象限角和軸線角用弧度表示：上述象限角和軸線角用弧度表示： 3. 任意角的三角函數：任意角的三角函數： 二、知識要點：二、知識要點： 3. 任意角的三角函數：任意角的三角函數： . 0 ),( (1) 22 yxr yxp 是是 它它與與原原點點的的距距離離，的的坐坐標標是是意意一一點點 其其終終邊邊上上任任是是一一個個任任意意大大小小的的角角，設設 二、知識要點：二、知識要點： 3. 任意角的三角函數：任意角的三角函數： . 0 ),( (1) 22 yxr yxp 是是 它它與與原原點點的的距距離離，的的坐坐標標是是意意一一點點 其其終終邊邊上上任任是是一一個個任任意意大大小小的的角角，設

10、設 ;sinsin r y r y ，即即的的正正弦弦，記記作作叫叫做做比比值值 二、知識要點：二、知識要點： 3. 任意角的三角函數：任意角的三角函數： . 0 ),( (1) 22 yxr yxp 是是 它它與與原原點點的的距距離離，的的坐坐標標是是意意一一點點 其其終終邊邊上上任任是是一一個個任任意意大大小小的的角角，設設 ;sinsin r y r y ，即即的的正正弦弦，記記作作叫叫做做比比值值 ;coscos r x r x ，即即的的余余弦弦，記記作作叫叫做做比比值值 二、知識要點：二、知識要點： 3. 任意角的三角函數：任意角的三角函數： . 0 ),( (1) 22 yxr

11、yxp 是是 它它與與原原點點的的距距離離，的的坐坐標標是是意意一一點點 其其終終邊邊上上任任是是一一個個任任意意大大小小的的角角，設設 ;sinsin r y r y ，即即的的正正弦弦，記記作作叫叫做做比比值值 ;coscos r x r x ，即即的的余余弦弦，記記作作叫叫做做比比值值 .tantan x y x y ，即即的的正正切切，記記作作叫叫做做比比值值 二、知識要點：二、知識要點： (2) 判斷各三角函數在各象限的符號：判斷各三角函數在各象限的符號： 3. 任意角的三角函數：任意角的三角函數： 二、知識要點：二、知識要點： (2) 判斷各三角函數在各象限的符號：判斷各三角函數在

12、各象限的符號： (3) 三角函數線：三角函數線： 3. 任意角的三角函數：任意角的三角函數： 二、知識要點：二、知識要點： 4. 同角三角函數基本關系式：同角三角函數基本關系式： 二、知識要點：二、知識要點： 4. 同角三角函數基本關系式：同角三角函數基本關系式： (1) 平方關系：平方關系： 二、知識要點：二、知識要點： 4. 同角三角函數基本關系式：同角三角函數基本關系式： (1) 平方關系：平方關系： 1cossin 22 二、知識要點：二、知識要點： 4. 同角三角函數基本關系式：同角三角函數基本關系式： (1) 平方關系：平方關系： 1cossin 22 (2) 商數關系：商數關系：

13、 二、知識要點：二、知識要點： 4. 同角三角函數基本關系式：同角三角函數基本關系式： (1) 平方關系：平方關系： 1cossin 22 (2) 商數關系：商數關系： cos sin tan 二、知識要點：二、知識要點： 5. 誘導公式誘導公式 誘導公式誘導公式(一一) )z(tan)2tan( )z(cos)2cos( )z(sin)2sin( kk kk kk 二、知識要點：二、知識要點： 誘導公式誘導公式(二二) tan)tan( cos)cos( sin)sin( 5. 誘導公式誘導公式 二、知識要點：二、知識要點： 誘導公式誘導公式(三三) tan)tan( cos)cos( si

14、n)sin( 5. 誘導公式誘導公式 二、知識要點：二、知識要點： 誘導公式誘導公式(四四) sin( )=sin cos( )=cos tan ( )=tan 5. 誘導公式誘導公式 二、知識要點：二、知識要點： 誘導公式誘導公式(五五) tan)2tan( cos)2cos( sin)2sin( 5. 誘導公式誘導公式 二、知識要點：二、知識要點： 3、任意角的三角函數定義 x y o p(x,y) r 的終邊 y x x r y r x y r x r y cot,sec,csc tan,cos,sin 4、同角三角函數的基本關系式 倒數關系： 1seccos 1cscsin 1cott

15、an 商數關系： sin cos cot cos sin tan 平方關系： 22 22 22 csccot1 sectan1 1cossin 22 yxr 定義： 三角函數值的符號：三角函數值的符號：“一全正，二正弦，三兩切，四余弦一全正，二正弦，三兩切，四余弦” 5、誘導公式： ,: 2 符號看象限奇變偶不變口訣為 的各三角函數值的化簡誘導公式是針對 k 例： ) 2 3 sin( cos （即把 看作是銳角） ) 2 cos( sin )sin(sin )cos( cos 二、兩角和與差的三角函數 1、預備知識：兩點間距離公式 x y o ),( 111 yxp ),( 222 yxp

16、2 21 2 2121 )()(|yyxxpp ),( 21 yxq 2、兩角和與差的三角函數 sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( tantan1 tantan )tan( 注：公式的逆用注：公式的逆用 及變形的應用及變形的應用 )tantan1)(tan(tantan 公式變形公式變形 3、倍角公式 cossin22sin 22 sincos2cos 22 sin211cos2 1sincos 22 2 tan1 tan2 2tan 注：正弦與余弦的倍角公式的逆用實質上就是降冪的過程。特別注：正弦與余弦的倍角公式的逆用實質上就是降冪的過程。特別 2 2co

17、s1 cos 2 2 2cos1 sin 2 可可以以是是任任意意角角；公公式式中中的的 . 1 對于五組誘導公式的理解對于五組誘導公式的理解 ： 5. 誘導公式誘導公式 二、知識要點：二、知識要點： 可可以以是是任任意意角角；公公式式中中的的 . 1 對于五組誘導公式的理解對于五組誘導公式的理解 ： . 360,180 , 180 , , )z( 360 . 2 符符號號看看成成銳銳角角時時原原函函數數值值的的把把 前前面面加加上上一一個個它它的的同同名名三三角角函函數數值值， 于于等等的的三三角角函函數數值值， 括括為為：這這五五組組誘誘導導公公式式可可以以概概 kk 5. 誘導公式誘導公

18、式 二、知識要點：二、知識要點： 可可以以是是任任意意角角；公公式式中中的的 . 1 對于五組誘導公式的理解對于五組誘導公式的理解 ： . 360,180 , 180 , , )z( 360 . 2 符符號號看看成成銳銳角角時時原原函函數數值值的的把把 前前面面加加上上一一個個它它的的同同名名三三角角函函數數值值， 于于等等的的三三角角函函數數值值， 括括為為：這這五五組組誘誘導導公公式式可可以以概概 kk 函數名不變，符號看象限函數名不變，符號看象限 5. 誘導公式誘導公式 二、知識要點：二、知識要點： 3.利用誘導公式將任意角三角函數轉化為利用誘導公式將任意角三角函數轉化為 銳角三角函數的

19、基本步驟：銳角三角函數的基本步驟： 5. 誘導公式誘導公式 二、知識要點：二、知識要點： 誘導公式二或四或五誘導公式二或四或五 3.利用誘導公式將任意角三角函數轉化為利用誘導公式將任意角三角函數轉化為 銳角三角函數的基本步驟：銳角三角函數的基本步驟： 誘導公式三或一誘導公式三或一 任意負角任意負角的三角函數的三角函數 任意正角任意正角的三角函數的三角函數 0o到到360o角角的三角函數的三角函數 銳角銳角的三角函數的三角函數 誘導公式一誘導公式一 5. 誘導公式誘導公式 二、知識要點：二、知識要點： 三、基礎訓練：三、基礎訓練： ) ( sin ,2 , 2 3 )(cos . 1 的值為的值

20、為則則 且且已知已知 2 3 d. 2 1 c. 2 1 - b. 2 1 a. 2 3 d. 2 3 c. 2 1 - b. 2 1 a. ) ( ) 6 47 (-cos . 2 的值為的值為 三、基礎訓練：三、基礎訓練： . _)3cos(,tan )3tan(, 10 1 -)sin(3 . 3 則則 且且若若 三、基礎訓練：三、基礎訓練： . _)3cos(,tan )3tan(, 10 1 -)sin(3 . 3 則則 且且若若 . _ )tan( )cos(-)sin( . 4 化簡：化簡： 三、基礎訓練：三、基礎訓練： ) ( cottan, 3 2 cossin . 5 的的

21、值值是是 則則已已知知 5 18 - d. 4 5 c. 4 9 b. 18 5 a. 三、基礎訓練：三、基礎訓練： . _cossin , 8 3 cossin . 6 象象限限角角，則則 是是第第三三且且已已知知 三、基礎訓練：三、基礎訓練： 四、典型例題：四、典型例題： . ),360,360( ),2,2()2( _ 630 (1) 中中絕絕對對值值最最小小的的角角，并并求求出出 的的集集合合試試寫寫出出角角并并且且 的的終終邊邊經經過過點點若若角角 象象限限角角；是是第第角角 ，則則后后成成為為角角按按順順時時針針方方向向旋旋轉轉 邊邊在在是是第第二二象象限限角角，當當其其終終若若

22、aa p 例例1. 例例2. . ,30 12 5 (2) _, 4 3 tan_, 3 4 cos_, 3 sin (1) 2 求扇形的弧長和半徑長求扇形的弧長和半徑長面積為面積為 弧度，弧度，已知扇形的圓心角為已知扇形的圓心角為 計算：計算： cm 四、典型例題：四、典型例題： 例例3.化化簡簡：設設z, k . )1cos()1sin( )cos()sin( kk kk 四、典型例題：四、典型例題： 三、三角函數的圖象和性質 圖 象 y=sinxy=cosx x o y 2 2 2 3 2 -1 1 x y 2 2 2 3 2 -1 1 性 質 定義域rr 值 域 -1，1-1，1 周期

23、性t=2t=2 奇偶性奇函數偶函數 單調性 增函數 2 2 , 2 2 kk 減函數 2 3 2 , 2 2 kk 增函數2 ,2kk 減函數2 ,2kk o 1、正弦、余弦函數的圖象與性質 2、函數 的圖象（a0, 0 ) )sin(xay xysin 第一種變換第一種變換: 圖象向左( ) 或 向右( ) 平移 個單位 0 0 | )sin(xy 橫坐標伸長( )或縮短( )到原來的 倍 縱坐標不變 1 101 )sin(xy 縱坐標伸長(a1 )或縮短( 0a1 )或縮短( 0a1 )到原來的a倍 橫坐標不變 )sin(xay 3、正切函數的圖象與性質 y=tanx 圖 象 2 2 x

24、y o 2 3 2 3 定義域 值域 , 2 |nkkxx r 奇偶性 奇函數 周期性t 單調性 )( 2 , 2 (zkkk 4、已知三角函數值求角 y=sinx , 的反函數 y=arcsinx , 2 , 2 x 1 , 1x y=cosx, 的反函數y=arccosx, , 0 x 1 , 1x y=tanx, 的反函數y=arctanx,) 2 , 2 ( xrx 已知角已知角x ( )的三角函數值求的三角函數值求x的步驟的步驟2 , 0 x 先確定x是第幾象限角 若x 的三角函數值為正的，求出對應的銳角 ；若x的三角函數 值為負的，求出與其絕對值對應的銳角 根據x是第幾象限角，求出

25、x 若x為第二象限角，即得x= ；若x為第三象限角，即得 x= ；若x為第四象限角，即得x= 若 ，則在上面的基礎上加上相應函數的周期的整數倍。 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x rx 反三角函數反三角函數 例1：已知 是第三象限角，且 ，求 。 四、主要題型 3 1 cos tan 為第三象限角解： 3 22 ) 3 1 (1cos1sin 22 22 cos sin tan 應用：應用：三角函數值的符號；同角三角函數的關系；三角函數值的符號；同角三角函數的關系； 例2：已知 ，計算 2tan cossin2 cossin3 cossin 解: cos cossin2 cos cos

26、sin3 cossin2 cossin3 1tan2 1tan3 3 7 122 123 1 cossin cossin 22 cossin cossin 1tan tan 2 5 2 12 2 2 應用：應用：關于關于 的齊次式的齊次式cossin 與 例3：已知 ，) 4 , 0(), 4 3 , 4 (, 13 5 ) 4 cos(, 5 3 ) 4 sin( 且 )sin(求 解:)( 2 cos)sin( ) 4 () 4 cos( ) 4 sin() 4 sin() 4 cos() 4 cos( 5 4 ) 4 cos() 4 3 , 4 (, 5 3 ) 4 sin( 且 13

27、12 ) 4 sin(), 4 , 0(, 13 5 ) 4 cos( 且 65 56 ) 13 12 5 3 13 5 5 4 (上式 應用：找出已知角與未知角之間的關系應用：找出已知角與未知角之間的關系 例4：已知 的值求 ) 4 sin(2 1sin 2 cos2 ), 2 (2 ,222tan 2 解： ) 4 sin(2 sincos ) 4 sin(2 1sin 2 cos2 2 tan1 tan1 ,222tan 2 2 tan2tan22 tan1 tan2 2 或即 2tan) 2 , 4 (), 2 (2 322 sincos sincos 應用：應用：化簡求值化簡求值 例

28、5:已知函數 求：函數的最小正周期；函數的單增區間；函數的最大值 及相應的x的 值；函數的圖象可以由函數 的圖象經過怎樣的變換得到。 ,cos3cossin2sin 22 rxxxxxy rxxy,2sin2 解：xxxxxxy 222 cos22sin1cos3cossin2sin ) 4 2sin(2212cos2sin1 xxx 2 2 t 得由, 2 2 4 2 2 2 kxkzkkxk, 88 3 )( 8 , 8 3 zkkk 函數的單增區間為 22,)( 8 , 2 2 4 2 最大值 時即當yzkkxkx xy2sin2 圖象向左平移 個單位 8 ) 4 2sin(2 xy 圖象向上平移2個單位 ) 4 2sin(22 xy 應用