1、高數公式匯總經管學生會內部資料導數公式:(tgx) sec x(ctgx)csc x(secx) secx tgx(cscx)cscx ctgx(ax)axl na(log a x) 1xl na基本積分表：tgxdx ctgxdx secxdx cscxdx dx 2a xdx 2x adx 2a xdx2a x高等數學公式In cosx CIn sinx CIn secx tgx CIn cscx ctgx C1x-arctg Caa1x aInC2ax a1a xInC2a a xarcs in仝 C aIn2sin xdxcosx22 a x22 a a2x2dxdxdxo三角函數的有

2、理式積分:2usin x 2, cosx1 u22u2，1 u(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)dx2 cos xdx2-sin xxdxx2x22 ax2x22 ax21 a2 xn2otgi，111x211x2sec2 xdx tgx C2csc xdx ctgx Csecx tgxdx secx Ccscx ctgxdx cscx Cxaxdx CIn ashxdx chx Cchxdx shx C2 2 In( x 、x a ) C2 2 v 7 x aIn2 a In( x22 a . 一In x22a . x arcs inC2x2 a2)

3、C、x2 a2dx2du1 u2一些初等函數:x e ex2xxe e2shxx ex echxx ex ex2 1)雙曲正弦：shx雙曲余弦:chx 雙曲正切:thxarshx In (x兩個重要極限:sin x lim1x 0 xlim(1 -)x e 2.718281828459045xarchx In (xx2 1)arthxllnl三角函數公式:誘導公式：、函數角AsinCOStgCtg-a-sin aCOS a-tg a-Ctg a90 aCOs asin aCtg atg a90 aCOs a-sin a-Ctg a-tg a180 asin a-COS a-tg a-Ctg a

4、180 a-sin a-COS atg aCtg a270 a-COS a-sin aCtg atg a270 a-COS asin a-Ctg a-tg a360 a-sin aCOS a-tg a-Ctg a360 asin aCOS atg aCtg a-和差角公式:sin()sinCOSCOSsinCOS()COSCOSsinsintg()汽tg1 tgtgCtg()CtgCtg1CtgCtg-和差化積公式:sinsin2 si nCOS22sinsin2 cossin22COS COS 2 COSCOS2 2COSCOS2 si nsin22sin 22sin coscos22cos

5、21ctg2ctg212ctgtg22tg21 tg倍角公式:1 2si n2-半角公式:2 cos2 sinsin33sin4sin3cos34cos3costg33tg tg31 3tg2tg21cosY 21cossin 21 cos1 cossinsin1 coscos21cosX2ctg j2：1cos1 cossin1cossin1 cos-余弦定理:-正弦定理:a bsin A sinBcsi nC2Rc2 a2 b2 2ab cosC反三角函數性質：arcs inxarccosx2arctgxarcctgx高階導數公式萊布尼茲( Leibniz )公式：2!k!中值定理與導數應

6、用：拉格朗日中值定理：f(b)f(a) f ( )(b a)柯西中值定理：丄型f (a)f ()F(b)F(a)F ()n(n)k (n k) (k)(uv)Cnu vk 0(n)(n 1) n(n 1) (n 2)n(n 1) (n k 1) (n k) (k)u v nu vu vu v當F(x) x時，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理曲率:uv(n)M點的曲率：K嘰1 s|ds直線：K 0;半徑為a的圓：K1a定積分的近似計算：b b 矩形法：f(x)a(y。 y1anb b 梯形法：f(x)a 1(yoyn)an 2b拋物線法：f (x)b a(yoyn)a3n定積分應用相關公式:弧

7、微分公式：ds .1 y2dx,其中y tg平均曲率：K .:從M點到M點，切線斜率的傾角變 化量；s： MM弧長。y 1)yi yn 12( y2y4yn 2) 伽 gyn i)功：W水壓力:引力：F函數的平均值：y 1 f(x)dxb a ab2f (t)dta空間解析幾何和向量代數:空間2點的距離：d M 1M 2 向量在軸上的投影：Pr ju ABPr ju(ai a2) Prjai PJa?(X2 X1)2 占2 yi)2 (Z2 Z1)2AB cos ,是AB與u軸的夾角。a b cosaxbxaybyazbz,是一個數量，兩向量之間的夾角:cosaxbxaybyazbz22ax

8、ayyaz2.bx2bz2cabaxbxaybyazbza b sin例:線速度:w r.向量的混合積:abc (ab) caxbxCxaybyCyazbzCzc cos ,為銳角時,代表平行六面體的體積 。平面的方程:1、點法式：A(x x0) B(yy) C(z Zo) 0,其中 n A, B,C, M (x, y ,z)2、一 般方程：Ax By Cz D 03、截距世方程：x y -1abcAx By。Cz D空間直線的方程:xxmyy0z znP二次曲面：2221、橢球面：務y.2z21abc222、拋物面：y乙(；p,q同號)P2q3、雙曲面：平面外任意一點到該平 面的距離：d2

9、2 2單葉雙曲面：與占令1abc2 2 2雙葉雙曲面：務占務1(馬鞍面)abcxx0mtt,其中s m, n, p;參數方程：yy0ntzzopt多元函數微分法及應用全微分： dz dx dyx y全微分的近似計算：z dz多元復合函數的求導法：du dx dy dz y zfy(x, y) yfx(x,y) xzfu(t),v(t)dz dtz uu tz vv tzzu zvzfu(x, y),v(x, y)XuXvX當uu(x, y), v v(x,y)時，dudx dydvvdxdyxyXy隱函數的求導公式：隱函數F(x, y) 0,dyFxd2y.2(dx卜ydxX隱函數 F(x,

10、y,z) 0,zFxzFyXFzy卜z隱函數方程組：F(x,y,u,v)0j(F,GG(x, y,u,v)0(u,v：u1(F,G)v1(F,G)XJ (x,v)XJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yJ (y,v)yJ(u,y)微分法在幾何上的應用:x空間曲線yFvGvFuGuFvGv(t)(t)在點M (xo, yo,zo)處的切線方程:(t)X Xo(to)yo(to)zZo(to)在點M處的法平面方程：(to)(x Xo)(to)(yyo)(to)(Z Zo)Fy FzGyG z GFz Fx FGx,G若空間曲線方程為：F(x,y,z) ,則切向量t G(x,y,z) o曲面 F

11、 (x, y, z) o上一點 M(Xo,yo,Zo),則:過此點的法向量：n Fx(Xo, yo,Zo),Fy(Xo, yo, Zo), Fz(x。, y。, Zo) 過此點的切平面方程：Fx(Xo, yo,Zo)(x Xo) Fy(Xo,yo,Zo)(y y。)1、2、3、過此點的法線方程:x XoyyoFyGyFz(xo, yo, Zo)(z Zo)0方向導數與梯度:zZoFx(Xo, yo, Zo)Fy(Xo,yo,Zo)Fz(Xo, yo,Zo)函數z f(x,y)在一點p(x,y)沿任一方向I的方向導數為： cosinl xy其中為x軸到方向I的轉角。函數 z f (x,y)在一點

12、 p(x,y)的梯度：gradf(x,y) i jx y它與方向導數的關系是：-f grad f (x, y) e,其中e cos i sin j，為I方向上的 單位向量。f 是gradf (x,y )在I上的投影。多元函數的極值及其求法：設fx(xo, yo)fy(xo,y)0,令：fxx(Xo,y)A,fxy(X0,y)B, fyy(X0,y)CAC B20時,則：AC B20時,AC B20 時,重積分及其應用：A 0,(x0,y0)為極大值A 0,(x0,y0)為極小值無極值 不確定f(x,y)dxdyf (r cos , rsin )rdrd22曲面z f (x,y)的面積A1I.

13、1dxdyDyxyx (x, y)dM平面薄片的重心：x MxD,yM(x,y)dDMDDy (x, y)dD(x,y)dD平面薄片的轉動慣量：對于X軸lxy2 (x, y)d ,D平面薄片(位于 xoy平面)對z軸上質點 M(0,0,a),(a對于 y軸 I yx (x, y)dD0)的引力:F Fx,Fy,Fz,其中:(x,y)xd3，D(x2 y2 a2)2Fy(x, y)yd3，D(x2 y2 a2!Fzfa(x,y)xd3D (x2 y2 a2)2柱面坐標和球面坐標:x r cos柱面坐標：y r sinf (x, y, z)dxdydzF(r, ,z)rdrd dz,z z其中：

14、F(r, ,z) f (rcos ,rsin ,z)xrsin cos球面坐標：yr sin sin ,dvrdr si nddr r2 sin drd dz r cos2r(,)f (x, y,z)dxdydzF (r,)r2sindrd dddF(r, , )r2sindr00 0重心：x1x dv,y1ydv,z1z dv,其中MxdvMMM轉動慣量：Ix/ 2 2、(y z )dv,Iy(x22 z)dv,I z(x2y2) dv曲線積分：第一類曲線積分(對弧 長的曲線積分)：設f (x,y)在L上連續，L的參數方程為：X (t), ( t)，則:y (t)f (x, y)dsLf (

15、t), (t)、2(t)2(t)dt (特殊情況:x ty (t)第二類曲線積分(對坐設L的參數方程為xy標的曲線積分)：7則：P(x,y)dx Q(x, y)dyL兩類曲線積分之間的關P (t).(t)(t) Q (t), (t)(t)dtQdy系：PdxLL上積分起止點處切向量 的方向角。Q P格林公式：()dxdy - Pdxd x y l當P y,Q x,即：-丄2時， x y平面上曲線積分與路徑無關的條件:1、G是一個單連通區域；(Pcos QcosLQdy格林公式：(衛D X得到D的面積：A2、P(x,y), Q(x,y)在G內具有一階連續偏導數)ds其中)dxdy ydxdyD1

16、O2l和分別為:Pdx QdyLxdy ydx,且-Q = -P。注意奇點，如(0,0)，應y減去對此奇點的積分，注意方向相反! 二元函數的全微分求積：Q P在 =一時，Pdx Qdy才是二兀函數u(x, y)的全微分，其中:x y(x,y)u(x, y) P(x,y)dx Q(x, y)dy,通常設 x0 y0 0。曲面積分：對面積的曲面積分：2 2f(x,y,z)dsfx,y,z(x,y) 1 Zx(x, y) Zy (x, y)dxdyDxy對坐標的曲面積分：P(x,y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x,y,z)dxdyRx, y, z

17、(x,y)dxdy,取曲面的上側時取正 號；DxyP(x,y,z)dydzPx(y,z),y,zdydz取曲面的前側時取正 號；DyzQ(x,y,z)dzdxQx, y(z,x),zdzdx取曲面的右側時取正 號。Dzx兩類曲面積分之間的關 系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:PQ(Qxy-R)dv z二 Pdydz Qdzdx Rdxdy 二(Pcos QcosRcos )ds咼斯公式的物理意義 通量與散度：散度：div-P Q,即：單位體積內所產生的流體質量，若div0,則為消失x yz通量： A ndsAnds(Pcos QcosRco

18、s)ds,因此，高斯公式又可寫 成： divAdv AndsR人/ F()dydz (y zz-R)dzdx:xQ(上xdxdy)dxdyQ PdxcosQdycosRdzycosdydzdzdx上式左端又可寫成：xyzxyzPQRPQR空間曲線積分與路徑無關的條件：-RQPRQ Pyzzxx y斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關系:i旋度：rotA 一 xP向量場A沿有向閉曲線的環流量：: Pdx Qdy Rdz - A tds常數項級數：等比數列：1 q q2等差數列：2 3調和級數：-23級數審斂法:(n 1)n2丄是發散的n1正項級數的審斂法根植審斂法（柯西判別法）：1時，級數收斂

19、設：lim n Un，則1時，級數發散1時，不確定2、比值審斂法：1時，級數收斂設： ”m ，則 1時，級數發散Un1時，不確定3、定義法：sn u u2un;limsn存在，貝叫攵斂；否則發 散。n交錯級數u1 u2 u3 u4（或u1 U2 U3,Un 0）的審斂法萊布尼茲定理:如果交錯級數滿足Un Un 1limUn0n那么級數收斂且其和sU1,其余項rn的絕對值rnUn 1。調和級數：級數：p級數絕對收斂與條件收斂:（1）u1 U2 Un ，其中Un為任意實數；（2）U1U2U3Un如果（2）收斂，則（1）肯定收斂，且稱為絕對 收斂級數;如果（2）發散，而（1）收斂，則稱（1）為條件收

20、斂級數。1發散，而 收斂;nn丄收斂；n1 ：p 1時發散np p 1時收斂幕級數:1 x x2x3|x 1時，收斂于對于級數(3)aa-|Xa2x2數軸上都收斂，則必存在R，|x 1時，發散，如果它不是僅在原點 收斂，也不是在全R時收斂R時發散，其中R稱為收斂半徑。nanXR時不定0時，R -求收斂半徑的方法：設limnan 1an其中an， an 1是(3)的系數，則0時，R時，R 0函數展開成幕級數:函數展開成泰勒級數:f (x)f(X)(X X。)f4x(x X。)22!fx0)(x x0)nn!(n 1)余項：Rn(丄(x x0)n 1, f (x)可以展開成泰勒級數的 充要條件是：

21、lim Rn 0(n 1)!nXo0時即為麥克勞林公式:f(x) f(0) f (0)x x22!f (n) (0) nxn!些函數展開成幕級數:m(1 x)1 mx m(mJ)x22!m(m 1) (m n 1) nxn!1 x 1)sinx x3 x_ 3!5 x5!2n 1歐拉公式:ixe cosxi sinx三角級數:f(t)Ao1)n1x(2n 1)!cosx或si nxixe2ixixe e2ix et n)|An sin( nn 1aA0，anAn sin n，S其中，a。正交性：1,sin x,cosx,sin 2x, cos2x 上的積分=0。傅立葉級數：(an cosnxn

22、 1An COs n， sin nx, cosnxbn sin nx)t X。任意兩個不同項的乘積 在f(x)a02(an cos nx bn s inn x), 周期n 1anf (x)cos nxdx(n 0,1,2其中bnf (x)sinnxdx(n 1,2,311尹1 12242正弦級數:余弦級數:162anbn8 1240, bn0，an1尸1221歹132141f (x)sin nxdxf(x)cosnxdx0周期為2l的周期函數的傅立葉級數:2（相加）62一（相減）121,2,30,1,2f (x)f(x)bnsin nx是奇函數a02an cos nx是偶函數a0n xn x 用廿口f(X)Q ni(anC0ST 恥山丁)周期 21其中f (x)cos-dxlbnl1n x ,f (x)s in dx l(n 0,1,2 )(n 1,2,3 )微分方程的相關概念:一階微分方程：y f(x, y) 或 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化 為g(y)dy f (x)dx的形式，解法:g(y)dy f(x)dx 得：G(y) F(x) C稱為