1、摘要在現(xiàn)代商業(yè)、金融投資中，投資者總是希望實(shí)現(xiàn)收益最大化，然而投資是要承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的，收益與風(fēng)險(xiǎn)之間存在難以調(diào)和的矛盾，怎樣兼顧兩者，尋找切實(shí)可行的決策思想，是投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)決策的一個(gè)重要的問(wèn)題。本論文主要討論并解決了在組合投資問(wèn)題中的投資收益與風(fēng)險(xiǎn)的有關(guān)問(wèn)題。分別在不考慮投資項(xiàng)目之間的影響和考慮投資項(xiàng)目之間的影響以及不考慮風(fēng)險(xiǎn)和考慮風(fēng)險(xiǎn)的情況下，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，來(lái)使得投資所獲得的總利潤(rùn)達(dá)到最大。問(wèn)題一是一典型的線性規(guī)劃問(wèn)題。根據(jù)題目要求，要求第五年末的最大利潤(rùn)，則建立線性規(guī)劃模型，在lindo中編程求得第五年末的最大利潤(rùn)為1418.704萬(wàn)元。第一年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，5，6，投資額

2、分別為50000.00，30000.00，40000.00，30000.00，30000.00，20000.00萬(wàn)元；第二年投資項(xiàng)目有1，2，7，投資額分別為10083.00，30000.00，40000.00萬(wàn)元；第三年投資項(xiàng)目有1，2，8，投資額分別為50307.08，30000.00，30000.00萬(wàn)元；第四年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，投資額分別為30625.39，30000.00，40000.00，30000.00萬(wàn)元；第五年投資項(xiàng)目有1，2，投資額分別為30689.01，30000.00萬(wàn)元。問(wèn)題二是在問(wèn)題一的基礎(chǔ)上，增加了約束條件（考慮項(xiàng)目間的影響）的組合投資問(wèn)題。建立非線性規(guī)劃

3、模型，在lingo中求解得到第五年末的最大利潤(rùn)為231762.8萬(wàn)元。第一年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，投資額分別為60000.00，60000.00，35000.00，30000.00萬(wàn)元；第二年投資項(xiàng)目有1，2，5，投資額分別為60000.00，60000.00，30000.00萬(wàn)元；第三年投資項(xiàng)目有1，2，6，投資額分別為60000.00，60000.00，40000.00萬(wàn)元；第四年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，投資額分別為60000.00，60000.00，35000.00，30000.00萬(wàn)元；第五年投資項(xiàng)目有1，2，投資額分別為60000.00，60000.00萬(wàn)元。問(wèn)題三在問(wèn)題二的基

4、礎(chǔ)上考慮投資風(fēng)險(xiǎn)，要求風(fēng)險(xiǎn)最小，收益最大，是一雙目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題，求解過(guò)程中假設(shè)投資者能承受的最大風(fēng)險(xiǎn)度0.01a=，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問(wèn)題。在lingo中求解得到第五年末的最大利潤(rùn)為175244.8萬(wàn)元。第一年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，6投資額分別為60000.00，60000.00，11670.25，30000.00，7784.336萬(wàn)元；第二年投資項(xiàng)目有1，2，3，5，6投資額分別為57395.06，54729.02，12711.78，2500.000，1342.021萬(wàn)元；第三年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，6，投資額分別為60000.00，60000.00，13511.02，30000.0

5、0，9012.173萬(wàn)元；第四年投資項(xiàng)目有1，2，3，投資額分別為60000.00，60000.00，17037.64萬(wàn)元；第五年投資項(xiàng)目有1，2，投資額分別為60000.00，60000.00萬(wàn)元。關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃 非線性規(guī)劃 lingo 風(fēng)險(xiǎn)1、問(wèn)題重述 由題意知，現(xiàn)有一筆20億的資金作為未來(lái)5年的投資資金，不是將其投資于一個(gè)項(xiàng)目上，而是有8個(gè)項(xiàng)目可供選擇投資，并要求：項(xiàng)目1、項(xiàng)目2每年初投資，當(dāng)年年末回收本利（本金和利潤(rùn)）；項(xiàng)目3、項(xiàng)目4每年初投資，要到第二年末才可回收本利；項(xiàng)目5、項(xiàng)目6每年初投資，要到第三年末才可回收本利；項(xiàng)目7只能在第二年年初投資，到第五年末回收本利；項(xiàng)目8只能在第

6、三年年初投資，到第五年末回收本利。1.公司財(cái)務(wù)分析人員的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，求怎樣安排投資，使得第五年末的利潤(rùn)最大，也即是五年累計(jì)的利潤(rùn)最大？2.考慮各項(xiàng)目投資的相互影響的同時(shí)又考慮了其他的因素：項(xiàng)目5的投資額固定，為500萬(wàn)，可重復(fù)投資；對(duì)投資項(xiàng)目1，公司管理層爭(zhēng)取到一筆資金捐贈(zèng)，若在項(xiàng)目1中投資超過(guò)20000萬(wàn)，則同時(shí)可獲得該筆投資金額的1%的捐贈(zèng)，用于當(dāng)年對(duì)各項(xiàng)目的投資。每年對(duì)各個(gè)項(xiàng)目投資的到期利潤(rùn)率各不相同且受到某些項(xiàng)目同時(shí)投資的影響，如同時(shí)對(duì)項(xiàng)目3和項(xiàng)目4投資時(shí)的到期利潤(rùn)率與項(xiàng)目3和項(xiàng)目4獨(dú)立投資不同。所以應(yīng)在模型一中加以更多的限制來(lái)求解第五年末所得最大利潤(rùn)。3.本題考慮投資風(fēng)險(xiǎn)，并用這筆資金

7、投資若干種項(xiàng)目時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的項(xiàng)目中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量，來(lái)求如何投資，使得總體風(fēng)險(xiǎn)最小，第五年末的利潤(rùn)最大。其它約束條件與二問(wèn)相同。2、條件假設(shè)1.假設(shè)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)在五年內(nèi)基本穩(wěn)定。2. 無(wú)交易費(fèi)和投資費(fèi)用等的費(fèi)用開(kāi)支。3. 假設(shè)在五年內(nèi)產(chǎn)生的利潤(rùn)可作為下一年的投資資金。4.對(duì)問(wèn)題一： （1）假設(shè)不考慮各投資項(xiàng)目間的影響以及存在的風(fēng)險(xiǎn)。（2）假設(shè)在五年內(nèi)各投資項(xiàng)目的到期利潤(rùn)率不變。5.對(duì)問(wèn)題二： （1）假設(shè)不考慮投資風(fēng)險(xiǎn)。 （2）假設(shè)仍然考慮一問(wèn)條件，如項(xiàng)目3、項(xiàng)目4每年初投資，要到第二年末才可回收本利。6. 對(duì)問(wèn)題三： （1）某些項(xiàng)目單獨(dú)投資或共同投資的風(fēng)險(xiǎn)損失率（標(biāo)準(zhǔn)差）每年基本相同

8、。 （2）假設(shè)仍然考慮一問(wèn)條件，如項(xiàng)目3、項(xiàng)目4每年初投資，要到第二年末才可回收本利。 （3）投資者能承受的最大風(fēng)險(xiǎn)度。3、符號(hào)說(shuō)明 下面將會(huì)用到以下符號(hào)： -第五年末所得的利潤(rùn)。 -第年末回收的本利。 -每年年初的可用來(lái)投資的資金。-第年初對(duì)第個(gè)項(xiàng)目的投資金額。 -問(wèn)題一中第個(gè)項(xiàng)目的預(yù)計(jì)到期利潤(rùn)率（）。 -第個(gè)項(xiàng)目的投資上限。 -問(wèn)題二中各項(xiàng)目單獨(dú)投資時(shí)，第年第個(gè)項(xiàng)目的到期利潤(rùn)率。 -問(wèn)題二中某些兩個(gè)項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)，第年第個(gè)項(xiàng)目的到期利潤(rùn)率。 -問(wèn)題二中五六八項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)的到期利潤(rùn)率。-問(wèn)題二中實(shí)際采用的第年第個(gè)項(xiàng)目的到期利潤(rùn)率。-問(wèn)題二中第一項(xiàng)目獲得的捐贈(zèng)資金。 -問(wèn)題二中第年項(xiàng)目五可以

9、重復(fù)投資的次數(shù)。 -問(wèn)題三中的總體投資風(fēng)險(xiǎn)。 -問(wèn)題三中實(shí)際采用的風(fēng)險(xiǎn)損失率。-問(wèn)題三中第個(gè)項(xiàng)目單獨(dú)投資時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)損失率。-問(wèn)題三中某些項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)損失率。 -問(wèn)題三中投資者能夠承受的最大風(fēng)險(xiǎn)度。 4、問(wèn)題分析 題目背景：隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，越來(lái)越多的人把目光轉(zhuǎn)移到投資上。為了獲得最大的利益，組合投資的風(fēng)險(xiǎn)與收益成為投資者必須考慮的問(wèn)題。投資者在考慮投資項(xiàng)目的預(yù)期收益率的同時(shí)，也要考慮投資項(xiàng)目存在的風(fēng)險(xiǎn)。如何使利潤(rùn)最大化，風(fēng)險(xiǎn)最小化是投資者首要考慮的問(wèn)題。下面是對(duì)該問(wèn)題的分析與解答。在分析解答之前給出以下定義：預(yù)期收益率：預(yù)期收益率也稱為期望收益率，是指如果事件不發(fā)生的話可以預(yù)計(jì)到的收益

10、率。本題中到期收益率與之類似，即到期利潤(rùn)率是指對(duì)某項(xiàng)目的一次投資中，到期回收利潤(rùn)與本金的比值。風(fēng)險(xiǎn)：風(fēng)險(xiǎn)可以用收益的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）來(lái)進(jìn)行衡量：方差越大，則認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)越大；方差越小，則認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)越小。在一定的假設(shè)下，有收益的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）來(lái)衡量風(fēng)險(xiǎn)確實(shí)是合適的。風(fēng)險(xiǎn)損失率和風(fēng)險(xiǎn)一樣也可以用收益的方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）來(lái)進(jìn)行衡量。1.題一，根據(jù)題意，在不考慮各項(xiàng)投資之間的相互影響以及投資存在的風(fēng)險(xiǎn)情況下，求第五年末的最大利潤(rùn)，即五年內(nèi)利潤(rùn)的和的最大值。則第五年末的最大利潤(rùn)就等于五年中各項(xiàng)投資項(xiàng)目的金額與該項(xiàng)目的到期利潤(rùn)率的乘積之和。還應(yīng)考慮的限制條件為：限制條件1：每年可用來(lái)投資的最大金額。第一年為20

11、億元。限制條件2：對(duì)每項(xiàng)項(xiàng)目投資的最大金額。2.題二, 根據(jù)題意, 在考慮各項(xiàng)投資之間的相互影響且不考慮在投資中的風(fēng)險(xiǎn)情況下，求第五年末的最大利潤(rùn)，即五年內(nèi)利潤(rùn)的和的最大值。 首先，應(yīng)根據(jù)附表數(shù)據(jù)求得各年對(duì)各項(xiàng)目的單獨(dú)投資的到期的利潤(rùn)率，以及各年對(duì)某些項(xiàng)目同時(shí)投資的到期利潤(rùn)率，如同時(shí)對(duì)項(xiàng)目5、項(xiàng)目6和項(xiàng)目8投資的到期利潤(rùn)率與它們單獨(dú)投資時(shí)的到期利潤(rùn)率不同，應(yīng)分情況考慮，即它們是否同時(shí)投資。然后，對(duì)投資項(xiàng)目1應(yīng)單獨(dú)考慮，因?yàn)楫?dāng)項(xiàng)目一投資大于20000萬(wàn)時(shí)，可以獲得1%的捐贈(zèng)，這是我們必須考慮的。其次，項(xiàng)目5的投資額固定，為500萬(wàn)，可重復(fù)投資。所以應(yīng)考慮項(xiàng)目5在五年內(nèi)的投資次數(shù)。限制條件1：每年

12、可用來(lái)投資的最大金額。限制條件2：對(duì)每項(xiàng)項(xiàng)目投資的最大金額。限制條件3：同時(shí)投資時(shí)的到期利潤(rùn)率不同。 3.題三,根據(jù)題意考慮各投資項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)情況下，求第五年末的最大利潤(rùn)，即五年內(nèi)利潤(rùn)的和的最大值，并且使得風(fēng)險(xiǎn)最小。此問(wèn)題為一雙目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題。 首先，應(yīng)該把總的風(fēng)險(xiǎn)表示出來(lái)，即總體風(fēng)險(xiǎn)可用所投資的項(xiàng)目中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量。風(fēng)險(xiǎn)可以用收益的方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)衡量。其次，在考慮風(fēng)險(xiǎn)的基礎(chǔ)上來(lái)求解如何組合投資使得風(fēng)險(xiǎn)最小而利潤(rùn)最大。限制條件1：每年可用來(lái)投資的最大金額。限制條件2：對(duì)每項(xiàng)項(xiàng)目投資的最大金額。限制條件3：同時(shí)投資時(shí)的到期利潤(rùn)率不同。限制條件4：同時(shí)投資與非同時(shí)投資時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)損失率（標(biāo)準(zhǔn)差）不同

13、。5、模型建立問(wèn)題一：不考慮投資風(fēng)險(xiǎn)和各投資項(xiàng)目間的相互影響，建立線形規(guī)劃模型求解。 （1）目標(biāo)函數(shù)：第五年末所得利潤(rùn)，即五年內(nèi)各項(xiàng)目產(chǎn)生的總利潤(rùn) （2）約束條件1：每年年初可用來(lái)投資的金額應(yīng)大于等于每年年初投資各項(xiàng)目的總額： 第年年初可用來(lái)投資的資金等于第年初未投資的資金加上第年末回收的本利。 第一年初可用來(lái)投資的資金第一年末回收第一年投資中一二項(xiàng)目的本利 第二年初可用來(lái)投資的資金 第二年末回收第一年三四項(xiàng)目和第二年一二項(xiàng)目的本利 第三年初可用來(lái)投資的資金 第三年末回收第一年五六項(xiàng)目、第二年三四項(xiàng)目和第三年一二項(xiàng)目的本利 第四年初可用來(lái)投資的資金 第四年末回收第二年五六項(xiàng)目、第三年三四項(xiàng)目和

14、第四年一二項(xiàng)目的本利 第五年初可用來(lái)投資的資金 第五年末回收第二年七項(xiàng)目、第三年五六八項(xiàng)目、第四年三四項(xiàng)目、第五年一二項(xiàng)目的本利 約束條件2：每項(xiàng)項(xiàng)目在投資期間不能超過(guò)項(xiàng)目最大金額的限制 第一二項(xiàng)目每年均可以投資，可以投五次： 第三四項(xiàng)目每年初投資，第二年末才可回收本利，可投資四次： 第五六項(xiàng)目每年初投資，第三年末才可回收本利，可投資三次： 第七項(xiàng)目第二年初投資，到第五年末回收本利，可投資一次： 第八項(xiàng)目第三年初投資，到第五年末回收本利，可投資一次： 所以可以建立線形規(guī)劃模型，利用lingo軟件或lingdo軟件求解。問(wèn)題二：不考慮投資風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，建立非線性規(guī)劃模型求解。（1） 根據(jù)題目中表二、表

15、三分別求得各投資項(xiàng)目獨(dú)立投資時(shí)的投資額及到期利潤(rùn)率（見(jiàn)表一）以及一些投資項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)的投資額及到期利潤(rùn)（見(jiàn)表二）。項(xiàng)目12345678到期利潤(rùn)率20080.147160.152090.233340.294220.698950.7515318.44862.4939520090.184310.189620.251280.33170.737021.3867-4.27695-1.1981320100.10370.185510.255570.30819-0.161361.49251-4.84479-1.3717420110.144490.210650.519210.259821.039881.2999

16、42.829555.1859820120.181710.245810.516380.321011.215511.30994-9.607562.67363表一. 各投資項(xiàng)目獨(dú)立投資時(shí)的到期利潤(rùn)率項(xiàng)目同時(shí)投資項(xiàng)目3、4同時(shí)投資項(xiàng)目5、6同時(shí)投資項(xiàng)目5、6、83456568到期利潤(rùn)率20080.309610.44849-0.016682.1279-0.578280.783271.7063720090.731860.393910.97240.365391.015870.871912.6029520100.56240.436411.9492-0.65437-0.248452.06485-0.543852

17、0110.263590.391071.006291.694410.880730.387382.3895420120.520860.382091.31418-1.084061.73688-0.74813-1.00638表二. 一些投資項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)到期利潤(rùn)率 （2）目標(biāo)函數(shù)：第五年末所得利潤(rùn)，即五年內(nèi)各項(xiàng)目產(chǎn)生的總利潤(rùn) （項(xiàng)目單獨(dú)投資時(shí)，某些項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)） （3）約束條件1：某些項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)的到期利潤(rùn)率。 1）當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，第年可得捐贈(zèng)資金，作為第年初的投資資金，當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，第年可得捐贈(zèng)資金。 2）當(dāng)三四項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)， ，此時(shí)， 否則。 3）同理：當(dāng)五六項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)， ，此時(shí)，否則 。 4）當(dāng)

18、第三年初五六八項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)，此時(shí)，否則。5）項(xiàng)目五為固定投資500萬(wàn)且可以重復(fù)投資，。 約束條件2：每年年初可用來(lái)投資的金額應(yīng)大于等于每年年初投資各項(xiàng)目的總額： 第一年初可用來(lái)投資的資金第一年末回收第一年投資中一二項(xiàng)目的本利 第二年初可用來(lái)投資的資金 第二年末回收第一年三四項(xiàng)目和第二年一二項(xiàng)目的本利 第三年初可用來(lái)投資的資金 第三年末回收第一年五六項(xiàng)目、第二年三四項(xiàng)目和第三年一二項(xiàng)目的本利 第四年初可用來(lái)投資的資金 第四年末回收第二年五六項(xiàng)目、第三年三四項(xiàng)目和第四年一二項(xiàng)目的本利 第五年初可用來(lái)投資的資金 第五年末回收第二年七項(xiàng)目、第三年五六八項(xiàng)目、第四年三四項(xiàng)目、第五年一二項(xiàng)目的本利 約束

19、條件2：每項(xiàng)項(xiàng)目在投資期間不能超過(guò)項(xiàng)目最大金額的限制 第一二項(xiàng)目每年均可以投資，可以投五次： 第三四項(xiàng)目每年初投資，第二年末才可回收本利，可投資四次： 第五六項(xiàng)目每年初投資，第三年末才可回收本利，可投資三次： 第七項(xiàng)目第二年初投資，到第五年末回收本利，可投資一次： 第八項(xiàng)目第三年初投資，到第五年末回收本利，可投資一次： 所以可以建立非線性規(guī)劃模型，利用lingo軟件或lindo軟件求解。 問(wèn)題三：考慮投資風(fēng)險(xiǎn)的情況下，求第五年末的最大利潤(rùn)，并使風(fēng)險(xiǎn)最小。為此建立雙目標(biāo)規(guī)劃，但為計(jì)算簡(jiǎn)便，通過(guò)一定的假設(shè)條件將其轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題。（1） 根據(jù)題目，我們用預(yù)計(jì)到期收益率的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)衡量風(fēng)險(xiǎn)損失率。

20、根據(jù)各投資項(xiàng)目獨(dú)立投資時(shí)的到期利潤(rùn)率（表一）和一些投資項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)到期利潤(rùn)率（表二），利用excel中的stdev函數(shù)，求得各項(xiàng)目單獨(dú)投資時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)損失率（表三）以及某些項(xiàng)目同時(shí)投資的風(fēng)險(xiǎn)損失率（表四）：項(xiàng)目1項(xiàng)目2項(xiàng)目3項(xiàng)目4項(xiàng)目5項(xiàng)目6項(xiàng)目7項(xiàng)目8標(biāo)準(zhǔn)差0.029458待添加的隱藏文字內(nèi)容30.0308930.1330060.0246860.4742150.2576979.6889092.508485 表三. 各項(xiàng)目單獨(dú)投資時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)損失率項(xiàng)目項(xiàng)目3、4影響項(xiàng)目5、6影響項(xiàng)目5、6、8影響項(xiàng)目3項(xiàng)目4項(xiàng)目5項(xiàng)目6項(xiàng)目5項(xiàng)目6項(xiàng)目8標(biāo)準(zhǔn)差0.1718900.0267370.6362341.25

21、98490.8538140.9044511.510221 表四.某些項(xiàng)目同時(shí)投資時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)損失率在這里我們定義項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)度=項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)損失率*項(xiàng)目投資額/投資資金總額。則可以得到目標(biāo)函數(shù)：風(fēng)險(xiǎn)最小 利潤(rùn)最大為了簡(jiǎn)化模型，我們給定投資者能承受的最大風(fēng)險(xiǎn)，則將雙目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)。也就是說(shuō)：在滿足投資者能承受的最大風(fēng)險(xiǎn)的情況下，如何使收益最大。（2） 目標(biāo)函數(shù)：（3） 約束條件： 約束條件1：與問(wèn)題二中約束條件完全一樣，這里不再重復(fù)。 約束條件2：總體投資風(fēng)險(xiǎn)不能超過(guò)投資者能承受的最大風(fēng)險(xiǎn) 則項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)度應(yīng)小于投資者能承受的最大風(fēng)險(xiǎn)。即6 模型求解問(wèn)題一：根據(jù)上面的分析和建立的模型知： 模型化解:

22、實(shí)際在本題中 可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。由以上分析并在lindo中編程（源程序見(jiàn)附件一）得到第五年末所得利潤(rùn)的最大值為1418.704萬(wàn)元。各年的投資項(xiàng)目見(jiàn)下表（單位：萬(wàn)元）：第一年第二年第三年第四年第五年項(xiàng)目一50000.00000010083.00000050307.08203130625.39062530689.015625項(xiàng)目二30000.00000030000.00000030000.00000030000.00000030000.000000項(xiàng)目三40000.0000000040000.000000-項(xiàng)目四30000.0000000030000.000000-項(xiàng)目五30000.0000000

23、00-項(xiàng)目六20000.000000000-項(xiàng)目七-40000.000000-項(xiàng)目八-30000.000000-由上表可知：第一年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，5，6，投資額分別為50000.00，30000.00，40000.00，30000.00，30000.00，20000.00萬(wàn)元；第二年投資項(xiàng)目有1，2，7，投資額分別為10083.00，30000.00，40000.00萬(wàn)元；第三年投資項(xiàng)目有1，2，8，投資額分別為50307.08，30000.00，30000.00萬(wàn)元；第四年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，投資額分別為30625.39，30000.00，40000.00，30000.00萬(wàn)

24、元；第五年投資項(xiàng)目有1，2，投資額分別為30689.01，30000.00萬(wàn)元。問(wèn)題二：根據(jù)上面的分析和建立的模型知： 由以上分析并在lingo中編程（源程序見(jiàn)附件二）得到第五年末所得利潤(rùn)的最大值為231762.8萬(wàn)元。各年的投資項(xiàng)目見(jiàn)下表（單位：萬(wàn)元）：第一年第二年第三年第四年第五年項(xiàng)目一60000.0060000.0060000.0060000.0060000.00項(xiàng)目二60000.0060000.0060000.0060000.0060000.00項(xiàng)目三35000.000035000.00-項(xiàng)目四30000.000030000.00-項(xiàng)目五030000.000-項(xiàng)目六0040000.00

25、-項(xiàng)目七-0-項(xiàng)目八-0-由上表可知：第一年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，投資額分別為60000.00，60000.00，35000.00，30000.00萬(wàn)元；第二年投資項(xiàng)目有1，2，5，投資額分別為60000.00，60000.00， 30000.00萬(wàn)元；第三年投資項(xiàng)目有1，2，6，投資額分別為60000.00，60000.00，40000.00萬(wàn)元；第四年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，投資額分別為60000.00，60000.00，35000.00，30000.00萬(wàn)元；第五年投資項(xiàng)目有1，2，投資額分別為60000.00，60000.00萬(wàn)元。問(wèn)題三：根據(jù)上面的分析和建立的模型知： 由以上分

26、析并在lingo中編程（源程序見(jiàn)附件三）得到第五年末所得利潤(rùn)的最大值為175244.8萬(wàn)元。各年的投資項(xiàng)目見(jiàn)下表（單位：萬(wàn)元）：第一年第二年第三年第四年第五年項(xiàng)目一60000.0057395.0660000.0060000.00 60000.00項(xiàng)目二60000.0054729.0260000.0060000.0060000.00項(xiàng)目三11670.2512711.7813511.0217037.64-項(xiàng)目四30000.00030000.000-項(xiàng)目五02500.0000-項(xiàng)目六7784.3361342.0219012.173-項(xiàng)目七-0-項(xiàng)目八-0- 由上表可知：第一年投資項(xiàng)目有1，2，3，4

27、，6投資額分別為60000.00，60000.00，11670.25，30000.00，7784.336萬(wàn)元；第二年投資項(xiàng)目有1，2，3，5，6投資額分別為57395.06，54729.02，12711.78，2500.000，1342.021萬(wàn)元；第三年投資項(xiàng)目有1，2，3，4，6，投資額分別為60000.00，60000.00，13511.02，30000.00，9012.173萬(wàn)元；第四年投資項(xiàng)目有1，2，3，投資額分別為60000.00，60000.00，17037.64萬(wàn)元；第五年投資項(xiàng)目有1，2，投資額分別為60000.00，60000.00萬(wàn)元。7、模型檢驗(yàn)與評(píng)價(jià)本文均采用規(guī)劃模

28、型實(shí)現(xiàn)了組合投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題的優(yōu)化投資方案。問(wèn)題一：?jiǎn)栴}一是一典型的線性規(guī)劃問(wèn)題，在不考慮投資項(xiàng)目間的影響和投資風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，不難得到目標(biāo)函數(shù)和約束條件，在lindo中很快得到全局最優(yōu)解。問(wèn)題二：?jiǎn)栴}二在問(wèn)題一的基礎(chǔ)上，把投資項(xiàng)目間的影響考慮了進(jìn)來(lái)，增加了約束條件。由于各項(xiàng)目各年的收益率不同，增加了求解模型的難度。且將模型變得非線性化。在本模型中用lingo的if選擇語(yǔ)句實(shí)現(xiàn)其在組合投資中對(duì)個(gè)項(xiàng)目是否同時(shí)投資的選擇，在一定程度上實(shí)現(xiàn)了非線性模型的建立,并借助第一問(wèn)的約束條件，在lingo中編程，求得局部最優(yōu)解。問(wèn)題三：?jiǎn)栴}三在以上兩問(wèn)的基礎(chǔ)上，又把投資風(fēng)險(xiǎn)考慮進(jìn)來(lái)，要求在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下建立模型

29、求得投資方案以獲得最大利潤(rùn)，為雙目標(biāo)規(guī)劃模型，但在求解上有一定的難度，于是在此轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃模型。即假設(shè)投資者能承受的最大風(fēng)險(xiǎn)度，這樣將雙目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與二問(wèn)類似的問(wèn)題，并且投資越分散說(shuō)明投資風(fēng)險(xiǎn)越小。進(jìn)而得到各年的投資計(jì)劃，從投資計(jì)劃中看出，該投資計(jì)劃相對(duì)比一二問(wèn)的投資項(xiàng)目分散，這說(shuō)明該模型的假設(shè)還是比較合理的。當(dāng)改變假設(shè)的最大風(fēng)險(xiǎn)度時(shí)，第五年末的最大利潤(rùn)也發(fā)生相應(yīng)的變化。時(shí)，最大利潤(rùn)；時(shí)，最大利潤(rùn)；時(shí)，最大利潤(rùn)；由上面的數(shù)據(jù)分析可知，投資者能承受的最大風(fēng)險(xiǎn)度越大，所得的利潤(rùn)就越大。但這還是有一定的局限性，對(duì)此還可以考慮以下方案：（1）在投資者要求的最低利潤(rùn)條件下，來(lái)求風(fēng)險(xiǎn)的最小值。即給定

30、一個(gè)最小利潤(rùn)，在以此為約束的條件下來(lái)求風(fēng)險(xiǎn)的最小值，這樣也能在一定程度上將雙目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化為單目標(biāo)函數(shù)。（2）采用加權(quán)法，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和投資利潤(rùn)加于權(quán)重因子構(gòu)造出目標(biāo)函數(shù)，再以一定的約束條件以及權(quán)重因子的約束為條件，用lingo軟件編程求解相應(yīng)的投資方案。8、參考文獻(xiàn)1韓中庚。數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用。北京：高等教育出版社，2006.2謝金星，薛毅。優(yōu)化建模與lindo/lingo軟件。北京：清華大學(xué)出版社，2006.9、附錄附源程序一：（lindo中求解）max 0.001x11+0.001x21+0.001x31+0.001x41+0.001x51+0.0011x12+0.0011x22+ 0.001

31、1x32+0.0011x42+0.0011x52+0.0025x13+0.0025x23+0.0025x33+0.0025x43+ 0.0027x14+0.0027x24+0.0027x34+0.0027x44+0.0045x15+0.0045x25+0.0045x35+0.005x16+0.005x26+0.005x36+0.008x27+0.0055x38stx1160000x2160000x3160000x4160000x5160000x1230000x2230000x3230000x4230000x5230000x23+x1340000x33+x2340000x43+x3340000x

32、24+x1430000x34+x2430000x44+x3430000x25+x15+x3530000x26+x16+x3620000x2740000x3830000x11+x12+x13+x14+x15+x16200000x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27-0.001x11-0.0011x12+x13+x14+x15+x16200000x31+x32+x33+x34+x35+x36+x38-0.001x21-0.0011x22-0.001x11-0.0011x12-0.0025x13-0.0027x14+x23+x24+x15+x16+x25+x26+x27200000x

33、41+x42+x43+x44-0.001x31-0.0011x32-0.001x21-0.0011x22-0.001x11-0.0011x12-0.0025x23-0.0027x24-0.0025x13-0.0027x14-0.0045x15-0.005x16+x33+x34+x25+x26+x35+x36+x27+x38200000x51+x52-0.001x41-0.0011x42-0.001x31-0.0011x32-0.001x21-0.0011x22-0.001x11-0.0011x12-0.0025x33-0.0027x34-0.0025x23-0.0027x24-0.0025x1

34、3-0.0027x14-0.0045x25-0.005x26-0.0045x15-0.005x16+x43+x44+x35+x36+x27+x38200000end附源程序二：（lingo中求解）max=0.14716*x11+0.15209*x12+b13*x13+b14*x14+b15*x15+b16*x16+ 0.18431*x21+0.18962*x22+b23*x23+b24*x24+b25*x25+b26*x26+(-4.27695)*x27+ 0.1037*x31+0.18551*x32+b33*x33+b34*x34+b35*x35+b36*x36+b38*x38+ 0.144

35、49*x41+0.21065*x42+b43*x43+b44*x44+ 0.18171*x51+0.24581*x52;x15=500*n1;x25=500*n2;x35=500*n3;b13=if(x13*x14#eq#0,0.23334,0.30961);b14=if(x13*x14#eq#0,0.29422,0.44849);b15=if(x15*x16#eq#0,0.69895,-0.01668);b16=if(x15*x16#eq#0,0.75153,2.1279);b23=if(x23*x24#eq#0,0.25128,0.73186);b24=if(x23*x24#eq#0,0.

36、3317,0.39391);b25=if(x25*x26#eq#0,0.73702,0.9724);b26=if(x25*x26#eq#0,1.3867,0.36539);b33=if(x33*x34#eq#0,0.25557,0.5624);b34=if(x33*x34#eq#0,0.30819,0.43641);b35=if(x35*x36#eq#0,-0.16136,if(x38#eq#0,1.9492,-0.24845);b36=if(x35*x36#eq#0,1.49251,if(x38#eq#0,-0.65437,2.06485);b38=if(x35*x36*x38#ne#0,-

37、0.54385,-1.37174);b43=if(x43*x44#eq#0,0.51921,0.26359);b44=if(x43*x44#eq#0,0.25982,0.39107);x1160000;x2160000;x3160000;x4160000;x5160000;x1260000;x2260000;x3260000;x4260000;x5260000;x23+x1335000;x33+x2335000;x43+x3335000;x24+x1430000;x34+x2430000;x44+x3430000;x25+x15+x3530000;x26+x16+x3640000;x27300

38、00;x3830000;g11=if(x11#lt#20000,0,x11*0.01);g21=if(x21#lt#20000,0,x21*0.01);g31=if(x31#lt#20000,0,x31*0.01);g41=if(x41#lt#20000,0,x41*0.01);g51=if(x51#lt#20000,0,x51*0.01);x11+x12+x13+x14+x15+x16-g11200000;x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27-0.14716*x11-0.15209*x12+x13+x14+x15+x16-g21200000;x31+x32+x33+x34+

39、x35+x36+x38-0.18431*x21-0.18962*x22-0.14716*x11-0.15209*x12-b13*x13-b14*x14+x23+x24+x15+x16+x25+x26+x27-g31200000;x41+x42+x43+x44-0.1037*x31-0.18551*x32-0.18431*x21-0.18962*x22-0.14716*x11-0.15209*x12-b23*x23-b24*x24-b13*x13-b14*x14-b15*x15-b16*x16+x33+x34+x25+x26+x35+x36+x27+x38-g41200000;x51+x52-0

40、.14449*x41-0.21065*x42-0.1037*x31-0.18551*x32-0.18431*x21-0.18962*x22-0.14716*x11-0.15209*x12-x33*b33-x34*b34-b23*x23-b24*x24-b13*x13-b14*x14-x25*b25-x26*b26-x15*b15-x16*b16+x43+x44+x35+x36+x27+x38-g51200000;gin(n1);gin(n2);gin(n3);free(b13);free(b23);free(b33);free(b43);free(b14);free(b24);free(b34

41、);free(b44);free(b15);free(b25);free(b35);free(b16);free(b26);free(b36);free(b38);free(b27);end附源程序三：（lingo中求解）max=0.14716*x11+0.15209*x12+b13*x13+b14*x14+b15*x15+b16*x16+ 0.18431*x21+0.18962*x22+b23*x23+b24*x24+b25*x25+b26*x26+(-4.27695)*x27+ 0.1037*x31+0.18551*x32+b33*x33+b34*x34+b35*x35+b36*x36+b

42、38*x38+ 0.14449*x41+0.21065*x42+b43*x43+b44*x44+ 0.18171*x51+0.24581*x52;y0=200000;x15=500*n1;x25=500*n2;x35=500*n3;b13=if(x13*x14#eq#0,0.23334,0.30961);b14=if(x13*x14#eq#0,0.29422,0.44849);b15=if(x15*x16#eq#0,0.69895,-0.01668);b16=if(x15*x16#eq#0,0.75153,2.1279);b23=if(x23*x24#eq#0,0.25128,0.73186)

43、;b24=if(x23*x24#eq#0,0.3317,0.39391);b25=if(x25*x26#eq#0,0.73702,0.9724);b26=if(x25*x26#eq#0,1.3867,0.36539);b33=if(x33*x34#eq#0,0.25557,0.5624);b34=if(x33*x34#eq#0,0.30819,0.43641);b35=if(x35*x36#eq#0,-0.16136,if(x38#eq#0,1.9492,-0.24845);b36=if(x35*x36#eq#0,1.49251,if(x38#eq#0,-0.65437,2.06485);b3

44、8=if(x35*x36*x38#ne#0,-0.54385,-1.37174);b43=if(x43*x44#eq#0,0.51921,0.26359);b44=if(x43*x44#eq#0,0.25982,0.39107);o13=if(x13*x14#eq#0,0.133006,0.171890);o23=if(x23*x24#eq#0,0.133006,0.171890);o33=if(x33*x34#eq#0,0.133006,0.171890);o43=if(x43*x44#eq#0,0.133006,0.171890);o14=if(x13*x14#eq#0,0.024686,

45、0.026737);o24=if(x23*x24#eq#0,0.024686,0.026737);o34=if(x33*x34#eq#0,0.024686,0.026737);o44=if(x43*x44#eq#0,0.024686,0.026737);o15=if(x15*x16#eq#0,0.474215,0.636234);o25=if(x25*x26#eq#0,0.474215,0.636234);o35=if(x35*x36#eq#0,0.474215,if(x38#eq#0,0.636234,0.853814);o16=if(x15*x16#eq#0,0.257697,1.2598

46、49);o26=if(x25*x26#eq#0,0.257697,1.259849);o36=if(x35*x36#eq#0,0.257697,if(x38#eq#0,1.259849,0.904451);o38=if(x35*x36*x38#ne#0,1.510221,2.508485);o11=0.029458;o21=0.029458;o31=0.029458;o41=0.029458;o51=0.029458;o12=0.030893;o22=0.030893;o32=0.030893;o42=0.030893;o52=0.030893;o27=9.688909;a=0.01;o11*

47、x11/(y0+g11)a;o21*x21/(y0+0.14716*x11+0.15209*x12-x13-x14-x15-x16+g21)a;o31*x31/(y0+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+b13*x13+b14*x14-x23-x24-x15-x16-x25-x26-x27+g31)a;o41*x41/(y0+0.1037*x31+0.18551*x32+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+b23*x23+b24*x24+b13*x13+b14*x14+b15

48、*x15+b16*x16-x33-x34-x25-x26-x35-x36-x27-x38+g41)a;o51*x51/(y0+0.14449*x41+0.21065*x42+0.1037*x31+0.18551*x32+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+x33*b33+x34*b34+b23*x23+b24*x24+b13*x13+b14*x14+x25*b25+x26*b26+x15*b15+x16*b16-x43-x44-x35-x36-x27-x38+g51)a;o12*x12/(y0+g11)a;o22*x22/(y0+0.

49、14716*x11+0.15209*x12-x13-x14-x15-x16+g21)a;o32*x32/(y0+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+b13*x13+b14*x14-x23-x24-x15-x16-x25-x26-x27+g31)a;o42*x42/(y0+0.1037*x31+0.18551*x32+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+b23*x23+b24*x24+b13*x13+b14*x14+b15*x15+b16*x16-x33-x34-x25-x26

50、-x35-x36- x27-x38+g41)a;o52*x52/(y0+0.14449*x41+0.21065*x42+0.1037*x31+0.18551*x32+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+x33*b33+x34*b34+b23*x23+b24*x24+b13*x13+b14*x14+x25*b25+x26*b26+x15*b15+x16*b16-x43-x44-x35-x36-x27-x38+g51)a;o13*x13/(y0+g11)a;o23*x23/(y0+0.14716*x11+0.15209*x12-x13-x

51、14-x15-x16+g21)a;o33*x33/(y0+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+b13*x13+b14*x14-x23-x24-x15-x16-x25-x26-x27+g31)a;o43*x43/(y0+0.1037*x31+0.18551*x32+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+b23*x23+b24*x24+b13*x13+b14*x14+b15*x15+b16*x16-x33-x34-x25-x26-x35-x36- x27-x38+g41)a;o14

52、*x14/(y0+g11)a;o24*x24/(y0+0.14716*x11+0.15209*x12-x13-x14-x15-x16+g21)a;o34*x34/(y0+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+b13*x13+b14*x14-x23-x24-x15-x16-x25-x26-x27+g31)a;o44*x44/(y0+0.1037*x31+0.18551*x32+0.18431*x21+0.18962*x22+0.14716*x11+0.15209*x12+b23*x23+b24*x24+b13*x13+b14*x14+b15*x15+b16*x16-x33-x34-x25-x26-x35-x36- x27-x38+g41)a;o15*