1、第六章線性空間本次課的內容： 3維數基與坐標 4基變換與坐標變換目的要求：掌握線性空間維數、基與坐標的概念復習：掌握過渡矩陣的概念及坐標變換公式.線性空間定義:（1）設V是非空集合，P是一個數域加法（2） V的元素之間定義兩種運算丿莎壬數乘例如：V對于加法與數乘封閉，則稱V為P上線性空間.pfxpn,pnn，注： 3維數基與坐標第三章 n維向量空間的一切定義與性質可以搬到任意線性空間中定義2（線性組合線性表出）（1） V是數域P中的一個線性空間， k!,k2,kP,： 1,： 2,，: r V,（一1）,（3） :- =kk2： 2kr ： r向量組1,2,-,亠是一個線性組合。稱向量:可以用

2、向量12,，r線性表出。定義3（等價）設1,2,，r ；（ 1）-1, 2/ , s（ 2）是V中的兩個向量組。如果（1）中的每個向量都可以用向量組（2）線性表出，那么稱向 量組（1）可以用向量組（2）線性表出。如果（1）與（2）可以互相線性表，那么向量組（1）與（2 ）稱為等價的。定義4 線形看見V中向量 r,2,，：（-1）成為線形相關，如果在數域P中有r個不全為零的數k1,k2, ,kr，使心 k2： 2 亠 亠 kr ： r =0。（3）如果向量12,，r不線形相關，就稱為 線形無關。換句話說，向量組1,2，r稱為線形無關，如果等式（3）只有在 匕=k2二二kr - 0時才成立。性質：

3、1 .單個向量組 線性相關的充分必要條件是 =0.兩個以上的向量 1 2 a r線性相關的充分必要條件是其中有一個向量是其余的線性組合.2如果向量組1,：2,，亠線性無關，而且可以被 -1, -2/- , -s線性表出，那么 r s.由此推出，兩個等價的線性無關的向量組，必定含有相同的個數的向量.3 .如果向量組1l,-,：線性無關，但向量組1,2,，:r，-:線性相關,那么-可以被：r,2,，r向性表出，而且表法是唯一的.我們知道，對于幾何空間中的向量， 線性無關的向量最多是3個，而任意4個向量都是線性相關的.對于 n個元數組所組成的向量空間，有n個線性無關的向量.而任意 n+1個向量都是線

4、性相關的. 在一個線性空間中，究竟最多能有幾個線性武官的向量，顯然是線性空間的一個重要屬性.我們引入定義5(1) 如果在線性空間V中有 n個線性無關的向量，(2) 沒有更多數目的線性無關的向量，那么V就稱為n維的；如果在V中可以找到任意多個線性無關的向量，那么V稱為無限維的.問題1: Pxlpn,Pnn，- 它們維數各是多少？問題2：n維向量的維數與線性空間的維數區別是什么？無限維空間是一個專門研究的對象，它與有限維空間有比較大的差別.在本課程中，我們主要討論有限維空間.在解析幾何中我們看到， 為了研究向量的性質， 引入坐標是一個重要的步驟.對于有限維空間，坐標同樣是一個有力的工具.例 幾何空

5、間中引入了坐標，任意向量可以由極大無關組線性表示3v2=10+ 21+ 302=X11+ X21+ X3013丿11定義6 (1) 在n維線性空間V中，n個線性無關的向量 jj,，；n稱為V的一組基.(2)設是V中任一向量，于是；i,遼,，；線性相關，因此可以被基% ；2，線性表出：=6 a2；2 an ；n，其中系數a!,a2/ ,an是被向量和基；i,，；n唯一確定的，這組數就稱為 在基；!, ；2，,；n 下的坐標，記為(ai,a2, ,an).問題：(1)基與維數的關系是什么？(2)不知道維數如何確定基的個數？由以上定義看來， 在給出的空間V中的一組基之前，必須先確定V的維數. 實際上

6、這兩個問題是同時解決的.定理1(1) V為線性空間(2 ) 1,2,，n為線性無關的向量(3)V中任一向量都可以用它們線性表出則V是n維的，而 ,2,，n就是V的一個基證明既然宀，：,，n是線性無關的，那么V的維數至少是 n.為了證明V是n維的,只須證V中n+1個向量必定線性相關.設1, -2 , nd是V中的任意n+1個向量，它們可以用1,2,，:線性表出.假如它們線性無關.就有nW n +1,于是得出矛盾. 下面我們來看幾個例子.例1在線性空間pxn中,2nV1,x,x ,x是n個線性無關的向量，而且每一個次數小于 n的數域P上的多項式都可以被它們線性表出， 所以P Xln是n維的，而1,

7、x,xnJ就是它的一組基.n _1在這組基下，多項式f (x) = a。anx的坐標就是它的系數(ao,a1,如果在V中取另外一組基；1 曰，；2 H(X-a), ；n H(X-a)n.那么按泰勒展開公式f (x) - f (a) f (a)(x - a)f z(a)(n-1)!(x-nVa)因此,f(x)在基；1, ；2,，；n下的坐標是f(a), f(a),(n 4)(a)(n -1)!例2 在n維空間pn中，顯然引=（1,0，,0）, s =（o,1，,0）, I；n = （0,0,1）是一組基對每一個向量:-=（印82,an），都有:-=ai “ a2 ；2 亠亠 an ；n.所以（ai,a2,an）就是向量:-在這組基下的坐標.不難證明，H =（1,1，,1）, 嚴2 =（0,1，,1）, I ；n =（0,0,1）是Pn中n個線性無關的向量在基, S,，呂n下，對于向量a =（ a1,a2/t ,an）,有:二 a1；1（a2-aJ；2（-務_1）；因此，在基；，；2,；n下