1、57；二。例如， Orowan（1949）得到(5.1)(5.2)(5.6)(5.7)第五章線彈性斷裂力學 5.1弓I言斷裂力學是從材料強度問題提出的。隨著固體物理、物理力學等學科的發展，人們已能夠大 致從理論上計算出某些固體材料（特別是單晶體）的理論強度G、e/2二，Zhurkov（ 1957）得到t ：、E。其中e為楊氏模量。但試驗中測得的實際材料強度遠遠低于計算所得的理論強度，兩者往往相差幾個數量級。這一情況吸引著不少科學家去研究現有材料的強度比理論強度低的原因。人們很早就認識到這是由于實際固體中存在著大量缺陷所致。 但這種認識在很長一段時期里只停留在定性說明階段。而對于缺陷如何定量地影

2、響材料的強度， 直到斷裂力學的產生，才得到較明顯的進展。 4.2介紹了含橢圓孔平板受拉伸時的彈性解。當拉伸應力 匚垂直于橢圓長軸時，長軸端點處的環向應力最大。由4.2可得Gax =1 - 2a /b c又橢圓長軸端點處的曲率半徑為T二b2/a,因此（5.1）又可以改寫成-max =12. a /因而應力集中系數:.為(5.3)當T很小時，很大。當b 0時，橢圓孔就退化為長為 2a的直線裂紋。更一般的提法是 T 0。 按上述計算公式得到。這樣的結果不能用傳統的連續介質力學的觀點來解釋。Griffith沒有直接考慮裂紋尖端的應力，繞過這一矛盾，而計算由于裂紋的存在，整個彈性板所釋放的彈性勢能為（參

3、看 5.4）(5.4)為簡便起見，設板的厚度為 1.其中E為楊氏彈性模量。由于裂紋的出現，增加的表面能為:(5.5)其中r為單位面積的表面能。Griffith認為當裂紋端部擴展一小段長度da（裂紋長度從2a宀2a+2da）時，彈性勢能的釋放率dWc/da，如果大于或等于表面能的增加率dS/da，則裂紋處于不穩定狀態，勢必進一步擴展，因此而得到裂紋擴展的條件為dW dSda da將（5.4）, （5.6）代入上式，得臨界應力d g為:G = . 2E 丨 / 二a(1 - 2)(平面應變其中e、r是材料常數。上式最引人注目這之點在于g不僅與材料性質有關，而且與裂紋長度有密切關系。它預言對于同一種

4、材料，如果a不同，二g也不同，但二g，a應該為常數。為了驗證自己的理論，格里菲斯進一步做了實驗。他用玻璃管及玻璃球作內壓實驗，用金剛 鉆在試件上刻劃出不同長度的人為刻痕（預制裂紋），用實驗測出對于不同裂紋長度的臨界應力，其實驗結果與理論預言符合是令人滿意的。Griffith的工作從思想方法上看，在兩點上突破了以往連續介質力學中研究材料強度時的傳統 觀念：（A） Griffith理論則建立在普遍適用的能量概念的基礎上。（B）以整個包含裂紋的物體作為研究對象，突破了傳統的局部分析方法。Griffith被認為是斷裂力學的開創人。Griffith的工作建立在彈性力學的基礎上，因此只適用于所謂“理想脆性

5、材料”，即材料直到斷裂之前，應力應變關系仍是彈性的。這種破壞情況稱之為脆性斷裂，簡稱脆斷。由于在當時的生產力水平條件下(如工程上多使用強度較低的韌性材料)，發生脆斷事故的情況不多，所以Griffith的工作在長達幾十年的時間里沒有受到足夠的重視。隨著生產與科學技術的發展，新的高強度鋼，超高強度鋼被研制出來并得到廣泛使用。再加 上機械與設備的大型化，焊接工藝的大量使用，工作條件的復雜多樣化(低溫、原子輻射、化學 腐蝕等)各種原因，工程上發生了一系列所謂低應力脆斷事故。(即工作應力低于屈服應力時發生的脆性斷裂)。直接導致斷裂力學誕生的，是1950年美國北極星導彈發動機殼試驗時發生的爆炸事件。試驗爆

6、炸時的工作應力只有700兆帕，遠遠低于其屈服應力 1600兆帕。事故發生后美國國防部建議美國材料試驗學會(ASTM)及美國國家宇航局(NASA)組織專門的機構研究斷裂力學。Irwin與Orowan研究了材料的塑性對裂紋擴展的影響，建議將 Griffith公式：G =、2E 丨 / 二a修改為二 g = 2 E (廠-Tp) / 7：a(5.8)其中rp為塑性功。根據低碳鋼實驗結果估計r p比r大三個數量級以上。1 / 2Sneddon(1946)從數學力學出發，證明了裂紋前緣的應力分量具有r -階的奇異性。Irwin(1957)提出了應力強度因子的概念。這個概念在斷裂力學中占有重要地位。斷裂韌

7、性測試技術也隨之建 立和發展起來。至此線彈性斷裂力學已奠定了堅實的基礎。在六十、七十年代里斷裂力學得到飛速的發展。Dugdale(1960)得出考慮裂紋尖端塑性區的帶狀模型。Wells(1961)提出了裂紋頂端張開位移準則。Rice(1968)提出用J積分作為斷裂擴展的判據。Rice，羅森蘭和 Atkinson幾乎同時于1968年得到了硬化材料中裂紋端部彈塑性應力漸近近似解(通常稱為R. H. H.解)。上述代表性的工作標志著彈塑性斷裂力學取得了相當的進展，但是比之線彈性斷裂力學，仍然存在不少根本性的有待解 決的問題。在斷裂動力學方面，莫特(1948)將動能項引入 Griffith理論的能量判

8、據中，但實質上仍然是準 靜態問題。Broburg (1960)得到了裂紋勻速擴展的解。Yoffe(1951)計算了一個勻速擴展但后面不斷愈合的裂紋問題。薛昌明 (G.C.Sih)、Kostrov(1966, 1975)及Fruend(1972)等人的工作進一步豐富了 這個領域。范天佑(1990)詳細介紹了斷裂動力學的基本理論，并作出了補充和發展。Dmowska和Rice(1983)詳細綜述了斷裂力學理論及其在地震學中的應用。 5.2柯洛索夫一Muskhelishvili應力函數為了進一步深入分析斷裂力學的有關問題，首先必須研究裂紋端部的應力場與位移場。6.2.1裂紋的三種基本類型Irwin將簡

9、單裂紋分為三種類型(圖6.1)。丨型裂紋代表在垂直于裂紋面的拉應力作用下，裂紋 表面位移垂直于裂紋面的情況，所以又稱之為張開型。II型及III型裂紋代表在剪應力作用下，裂紋表面互相滑移的情形，稱之為剪切型裂紋。其中II型裂紋稱為面內剪切型裂紋；III型裂紋稱之為面外剪切型或反平面裂紋。更復雜的裂紋，可以由這幾種簡單裂紋組合而成，稱之為復合型裂紋。復合型裂紋在第六章 中討論。在工程中，I型裂紋最重要。因此，I型裂紋也研究得最充分。在地學中，剪切型裂紋則具有 特殊重要的意義。522柯洛索夫一Muskhelishvili函數分析裂紋端部的應力場與位移場有許多種數學方法，這里我們只介紹復變函數方法。在

10、第五 章中，我們已經介紹了平面彈性力學問題和復變函數解法。以下就I型和II型兩種基本裂紋進行討論。5.2.1.1 I型裂紋討論如圖5.2中所示的問題。一無限大平板，板內有一長為2a的穿透裂紋，邊緣受到分布力Cxx =o ,匚yy - ；，.xy 的作用。本問題即為 Griffith所研究過的單軸拉伸的例子本問題的邊界條件如下：當|z|二 0_ XX在裂紋表面上(y=0, |x|a),yy - 0 ,圖6.2單向拉伸 的中心穿透 裂紋0-xy(5.9)(5.10)利用 - .( ) =a( )/2，把z平面上的裂紋變換為平面上的單位圓(參見 4.3- 4.6)。利用向圓變換(Muskhelish

11、vili, 1953)，可得其解為:(Z)Gx ；yy z 二= 4Re(z)z .：代入柯洛索夫公式，當 ZT8,；yy -；xx 2i，xy z “： - 2 h ( Z )宀(Z ) ：-二(5.11)(1)虛部為 xy 1 z I： ： = 0實部為(yy -xx)z .y(2),聯立，得Cxx =0于裂紋面上(y =0,Tyy =；門:。證明無窮遠處邊界條件已經滿足。I X | :： a ),虛部為1 = 0xy實部為二 yy:二*x:二 yy =4 Re I(z) -y：-Cxx- 2i .xy =2z“(z) ：W(Z)=(4), (6)聯立，得Cyy =0,可見內邊界條件也是滿

12、足的。(a)y ?不難看出，若；_-x;- =0，全部問題 Cyy MO, ,y J兩個問題的線性疊加%)曲/4, 代入柯洛索夫公式，得到CTxx =za2 一(5.15)2中ia 2z 2 3/2z a(3.29)就可以得到裂紋周圍的應力場和位移場。但是，以下我們介紹另一種應力函數，還可以更簡 便地得到裂紋周圍的應力場和位移場。 5.3 Westergaarc應力函數Westergaard(1939)提出一種方法，對于具有某種對稱性如圖5.2，圖5.3等所示的情況，可以用一個復變函數 Z(z)(稱為Westergaard函數)代替.:(z),(z)兩個函數，使問題得到簡化。由數學物理方法，任

13、一復變解析函數，其實部和虛部滿足柯西-黎曼條件，因此其實部和虛部必然分別是調和函數，即V 2U i = 0 , i =1,2,3。設U 1 , U 2和U 3分別為x, y的調和函數，則不 難證明U (x, yU 1 xU 2 yU 3 定滿足雙調和方程4U =0。(5.16)Westergaard(1939)定義了一個復應函數Z (z)，設為解析函數。記 Z , Z， 為其導數,么亍，表示它的積分。根據解析函數的性質，其導數和積分仍為解析函數。應力函數與應力 分量之間的關系應滿足(3.15)式。這樣，應力函數就滿足了雙調和方程的條件。 5.4 I型裂紋對I型裂紋，Westergaard提出的

14、應力函數為二 U (x,y)二 Re Z , ( z) - y Im Z , ( z)(5.17)根據(5.16)的證明可知，(5.17)所定義的U是平面問題的應力函數，即滿足雙調和方程。(5.17)代入(3.15),得到 *XX；：2U(Re Z. y Im Z.) -2:y:y :y=-Im Z, - Im Z, y Re Z ,= Re Z , -y Im Z,.7*注5.1 :對上式的中間推導運算規則給出以下證明：由Z = Re Z i Im Z ,Z = Re Z i Im Z ,：ZRe ZIm Zi;:x:x:xdZ dz.Z:xdz dx汕 Z =ImZ(A5.1)；：Re Z

15、Re Z ,又7為解析函數，應滿足柯西-黎曼條件，即:Re Z ； Im Zjx_：yiRe Z ；： Im Ziy_：x得到：Im Z=Re Z:Re Z-Im Z.：y(A5.2) Re Z, (1 、. )y Im Z2(1 、.)-)Re Z. (1 心;:)y Im Z. -A(1 - v)利用(2.42)式,xx二.：u / ;：x ,積分可得到位移,對二yy和-xy也可以進行類似的計算。但為了滿足遠場不同的邊界條件，還需要在(5.17)式中添加一項雙調和實函數U 1，即U (x,y)二Re (z) - y Im (z) U (5.18)設2 u ； - _ Ax /2(5.19)

16、其中A為待定常數，與遠場邊界條件有關。這樣U (x, y)仍為雙調和函數。得到Cxx = Re Z, z)，y Im lZ1(z A 五 =Re Z,z) |+y Im JZjzJA,(5.20)品=yRe Zjz)利用虎克定律得到應變；xx , ；yy ,；xy ,再利用應變與位移的關系做積分，就得到(注5.2)I k 1 i 2 -uRe Z y Im Z Ax(5.21)I 2丿 fk +12 !v = Im Z y Re Z AyI 2丿注 5.2： (5.21)式的推導(褚武揚，1979, 253254)，利用虎克定律(3.8),1 1論二 E ,(匚xx i：；yy)=( 1；yy

17、(二 yy -；:；xx)二(1Eu = J&dx =丄1 _v) Re Zdx (1 +v) y Im Z dx +(1 +v) Ax 1+C其中積分常數C為剛體平移部分，故取C =0。由(A5.1)左式積分得Re zqx = Re Z I，由(A5.1)右式積分得Im Z I dx = Im Z。代入上式得1 I(A5.3)u(1v)Re Z(1 v)y Im Z I (1 亠 J)Ax將(3.13)代入上式就得到(5.21)第一式k _1(5.21a)又利用(2.42)式,yy = :V / .：y，得到v = J&dy =丄【1 _v) Re Z,dy +(1 +v) fy Im Z,

18、 dy _(1 +v)Ay 將右式同理，上式舍去了代表剛體平移的積分常數項。將(A5.2)左式積分得 ReZ.dy =Im 9Z換成z，得d ( _Re ZJ =Im Z dy。利用分部積分法y Im z I dy = yd Re Z J = y _ Re Z J _( _ Re Z)dy-_y Re Z ! - Im Z !代入上式就得v =丄(1 _v) Im Z - (：；v)( _y Re ZI Im Z)_ (1 v)Ay E 2Im N _(1 - v)y Re ZI _ (1 v)Ay 1(A5.4)E 將(3.13)代入上式得到(5.21)第二式k +1、2円=Im ZyRe

19、J _A(5.21b) + o(r- 2 7rsin-1/ 2)(5.27)(5.25)和(5.27)各應力分量可以統一寫成K I.1 / 2ffj - $ fj(日)+o(r )(5.28)2皿其中0(1)表示與零階等量級的小量。圖5.6給出了 fj G)的函數曲線，其中a和b分別為直角坐標和極坐標的分量。(5.23)、在計算裂紋端部的位移時，忽略了均勻應力場引起的位移，物體整體的剛性位移，將(5.22)、(A5.5)和(A5.6)式代入(5.21)可得裂紋端部(r a )的位移場為:Ki 、4 .! 1 2二卜Kiv 二-(2；1)coscos -i1 2 2 rd3 .(2 .”亠 1)

20、 si n s i n 二42二一221 / 2-o(r )(5.29)61在極坐標中位移分量為e32 . -1) cos cos - -i2221)sin=_sin 紅22 JJuu(5.30)圖5.6 I型裂紋f牙(v)的函數曲線。(a)直角坐標的分量；(b)極坐標的分量(b)從式(5.25)很明顯看出，對于I型裂紋，無疑地I yy是最受關注的分量。當時，J =0/、2丁 o(r丄/2)，其變化如圖yy5.6所示。圖5.7在二-.方向上的變化例題 證明I型Griffith裂紋變形后近似為一橢圓。證明：將式(5.22)代入(5.21)中并令y = 0，|x| a，2止一心嚇二1 2丿22M

21、4 利用(3.13),上式又可改寫為： 二la2 x22其中E由(3.7)給出。原裂紋面上的(X,0)點移動至X= x + U = (1 貯丁吐y：=v 。如令h =c；：/E , v。=2a；：/ E，則x =：hx裂紋半長度變成(b)變形后的裂紋形狀為y =vo . 1 _(x/ a)2 =v1 (x/ha )2 =v . 1 _(x/a)2(c)2 2 2(d)y x12 2Voa由此可見，I型Griffith裂紋變形后近似為一橢圓。I型裂紋的 Westergaard函數與柯洛索夫公式應力函數之間的關系將(5.20)式中的前兩式相加，得到；二:_-yy =2Re ZI(z)。將上式與(3

22、.28)式中；yy xx =4Re(z)相比，可知(z) =Z|(z)/2(5.32)又由裂紋面上的邊界條件(7)式可以看出，(Z)屮屮(z) =o產72 = -A 即屮(1z) = z(z) _ A2(5.33)因此兩種應力函數對于I型裂紋是等效的。I型裂紋的Westergaard函數可以利用(5.32)得到，但是也可以用直接的辦法解決，參見注5.4。注5.4：單向拉伸I型裂紋的 Westergaard函數如圖5.2，無限寬板中心，有長為 2a的貫穿裂紋，在無限遠處受分布力cxx =0，二yy仝，w =0的作用。求 Westergaard應力函數。該問題的邊界條件為：(1) 裂紋內部不受力。

23、即 y=0| X | ： a時，；一-yy =0。(2) 裂紋前端有應力集中。即y=0 | x | . a時，匚yy - 0。且|X _a |越小，匚yy越大。(3) y=0 , |x|T8時， 5 7:，二xx =0.由(5.20)可知，當y =0時，二yy ReZ_A，它是一個實函數。為了滿足后兩個邊界條件，最簡單的應力函數可選為o產/( 1 a / x) + A考慮到對稱性，即當x_；.:時二yy也為二.X ：: _a時二yy =.因此可取應力函數為二：/1 (a/x)2 A(A5.7)由條件(5)還可以得出當|x|t叱時S =!產+ 2 A =0，由此得A=_J72。可以驗證，(A5.

24、7)可以滿足(1),(2)兩個邊界條件。為了滿足第(3)邊界條件，使得當 y=0| x|：:a時，Zi的第一項應為純虛函數， 這樣其實部就為零，；yy =A -A =0。而當| x | a時，乙 的第一項為純實函數，就可以滿足這一要求。為此可把上面找到的函數的第一項開方，即_ :_ :xCTyCT y xZ|(x,0) = 丁+A =”二 + A222、1 .(a / x)i x .a因此當 y=0， |x 時，i CTZ|(x,0)2、a0y:A2-x即二=ReZ| A = i,當 |x | .a 時,匚yy = Re Z| (x,0) -A打x.AJ 22x - a這樣選擇的Z|(x,0)

25、就滿足了全部三個邊界條件。上述應力函數是在 y =0 , z =x這個特殊條件下推出來的。對于y = 0的一般情況，可把上式中的x用z =x iy來代替，即Zi(z)2 2z a(A5.8)這個函數 乙(z)就能滿足單向拉伸I型裂紋的全部邊界條件。 5.5 II型裂紋如圖5.4所示。本問題的特點是反對稱于x軸。與I型方法相似，可得U ( x, y) _ _y Re Zd =2 Im Z + y Re Z J XXII丿II% = y Re z iiCTxy =Re Zii -y Im zii _B ”1 2Im ZH y Re Z H By 2；：一12 - vRe Z I I y I m Z

26、 I I Bx2(5.34)(5.35)(5.36)其中Z| i稱為II型裂紋的Westergaard函數。根據無窮遠處的邊界條件式ZH(z)(5.12)，可取:(5.37)(5.13), (5.14)。仍采用裂紋前緣坐標將(5.37)代入式(5.35)不難驗證完全滿足邊界條件式z =a +reil9 = a +U.將式(5.37)代入(5.35)、(5.36)，并利用在裂紋端點附近r/a + o( r亠2)(5.38)(5.39)其中23)sin= sin32 22 一3)cosE_cos 紅22j1 / 2-o(r )(5.40)稱之為II型裂紋的應力強度因子。在極坐標系中的應力分量與位移

27、分量為:K、-rr(2兀| 2sin 1 - 3 sin|一2二-3 sin cos.2 2KI日 I q . 2q- _ cos 1 _3s i n.2 二r2Kii + o(r /2)(5.41)V2丿-J |_( 2直 _1) sin 包 +3 sin 4 心 2 二22日3 J_ ( 2 ” 亠 1) cos - 3 cos -22KK“2(5.38),(5.41)中的各應力分量可以統一寫成K.一 2 二r1 / 2-o(r )(5.42)1 / 2fj () o(r -)63圖5.8給出了 fj(T的函數曲線，其中圖5.8(a)和圖5.8(b)分別為直角坐標和極坐標的分量。(a)(b

28、)圖5.8II型裂紋的Westergaard函數與柯洛索夫公式應力函數之間的關系。由(5.35)得到匚xx ；= =2lm Z ,由(3.28)得到匚q =4Re(z)，對比可以看出,川i：(z)Z (z)(5.43)2根據裂紋面上的邊界條件不難驗證，(z) - _z ：(z) 2 ：(z) iB ,因此(z)二丄 zZ“ (z) - iZ (z) iB(5.44)2 5.6皿型裂紋如圖5.9所示，在一無窮大板中央有一長為2a的穿透裂紋。在板的兩端作用以均勻剪應力yz圖5.9 III型裂紋69本問題不是平面問題，故不能直接應用彈性力學中平面問題的解法。但在此問題中各物理量(G , Ui)都與z

29、無關，只依賴于坐標 X, y,所以仍然是二維問題。通常稱之為反平面或法平面剪切問題。反平面剪切問題的特點是根據應變分量與位移間的關系1 :w1 ;:w；yz2 jy其余四個應變分量恒為XXyy =； xy =； zz 0。zz由虎克定律可得匚-xz =2；xzxzyz于是，三個平衡方程中兩個自動滿足，僅剩下一個為:xzjx:w；X:w-;yyz(5.45)(5.46)(5.47)(5.48)以式(5.47)代入(5.48)得因此問題歸結為在給定的邊界條件下解拉普拉斯方程，而ImZIIIw必須為調和函數。所以可以取(5.49)Ziii稱之為III型裂紋的 Westergaard函數。根據解析函數

30、的性質，只要Z|為解析函數，則式(5.49)必然滿足調和方程。將式(5.49)代入式(5.47)得：(5.50)對于圖5.9所示的裂紋問題，其邊界條件為:(5.51)根據上述邊界條件取乙iizz = a ：卜re T - a ：；”:，在111 sin 十 o (r 丄 2)2:cos 二 o (r 丄/2 )2 二 r 22Kiii.2 二 r(5.53)sin 二-o (r1 /2 ) 2 二 2其中(5.54)稱為III型裂紋的應力強度因子。利用坐標變換（見習題1）,得到山型裂紋在柱坐標中的應力分量為：Km日1,6 =6z cos 日 +!yz Sin 日=一sin _ +o（r 一.2

31、 二r2sin v - ；yz cos v -= cos o （r 亠J2兀，r2rz其余分量“ =冊=5日=Cfzz =0 ,應力分量可以統一寫成 Jrr(5.55)c1 / 2fj ( V) - o(r )(b)圖6.10 III型裂紋fj M）的函數曲線圖6.10給出了 III型裂紋匚（引的函數曲線，其中圖 6.10a和圖6.10b分別為直角坐標和柱坐 標的分量。將上面I, II, III型三種裂紋端部的應力場與位移場見式（5.25）、（5.3.14）、（5.38）、（5.39）、（5.53）的公式，歸納為統一的形式：叮Pr）uiKj2 二 r4 - . 2二J .1 /2g ( v) Or )其中K J （