1、小學數學應用題類型及解題方法小學數學應用題類型及解題方法一和差問題：已知兩個數的和與差，求這兩個數的應用題，叫做和差問題。一般關系式有：（和差）2較小數 （和差）2較大數例：甲乙兩數的和是24，甲數比乙數少4，求甲乙兩數各是多少？（244）2 282 14 乙數 （244）2 202 10 甲數答：甲數是10，乙數是14二差倍問題：已知兩個數的差及兩個數的倍數關系，求這兩個數的應用題，叫做差倍問題。 基本關系式是：兩數差倍數差較小數例：有兩堆煤，第二堆比第一堆多40噸，如果從第二堆中拿出5噸煤給第一堆，這時第二堆煤的重量正好是第一堆的3倍。原來兩堆煤各有多少噸？分析：原來第二堆煤比第一堆多40

2、噸，給了第一堆5噸后，第二堆煤比第一堆就只多4052噸，由基本關系式列式是：（4052）（31）5 （4010）25 3025 155 10（噸） 第一堆煤的重量10+4050（噸） 第二堆煤的重量 答：第一堆煤有10噸，第二堆煤有50噸。三還原問題：已知一個數經過某些變化后的結果，要求原來的未知數的問題，一般叫做還原問題。還原問題是逆解應用題。一般根據加、減法，乘、除法的互逆運算的關系。由題目所敘述的的順序，倒過來逆順序的思考，從最后一個已知條件出發，逆推而上，求得結果。例：倉庫里有一些大米，第一天售出的重量比總數的一半少12噸。第二天售出的重量，比剩下的一半少12噸，結果還剩下19噸，這個

3、倉庫原來有大米多少噸？分析：如果第二天剛好售出剩下的一半，就應是1912噸。第一天售出以后，剩下的噸數是（1912）2噸。以下類推。列式：（1912）2122 312-12262-122502 100（噸）答：這個倉庫原來有大米100噸。四置換問題：題中有二個未知數，常常把其中一個未知數暫時當作另一個未知數，然后根據已知條件進行假設性的運算。其結果往往與條件不符合，再加以適當的調整，從而求出結果。例：一個集郵愛好者買了10分和20分的郵票共100張，總值18元8角。這個集郵愛好者買這兩種郵票各多少張？分析：先假定買來的100張郵票全部是20分一張的，那么總值應是201002000（分），比原來

4、的總值多20001880120（分）。而這個多的120分，是把10分一張的看作是20分一張的，每張多算201010（分），如此可以求出10分一張的有多少張。列式：（20001880）（2010）12010 12（張）10分一張的張數1001288（張）20分一張的張數或是先求出20分一張的張數，再求出10分一張的張數，方法同上，注意總值比原來的總值少。五盈虧問題（盈不足問題）：題目中往往有兩種分配方案，每種分配方案的結果會出現多（盈）或少（虧）的情況，通常把這類問題，叫做盈虧問題（也叫做盈不足問題）。解答這類問題時，應該先將兩種分配方案進行比較，求出由于每份數的變化所引起的余數的變化，從中求出

5、參加分配的總份數，然后根據題意，求出被分配物品的數量。其計算方法是：當一次有余數，另一次不足時：每份數（余數不足數）兩次每份數的差當兩次都有余數時： 總份數（較大余數較小數）兩次每份數的差當兩次都不足時： 總份數（較大不足數較小不足數）兩次每份數的差例1、解放軍某部的一個班，參加植樹造林活動。如果每人栽5棵樹苗，還剩下14棵樹苗；如果每人栽7棵，就差4棵樹苗。求這個班有多少人？一共有多少棵樹苗分析：由條件可知，這道題屬第一種情況。列式：（144）（75） 182 9（人）5914 4514 59（棵）或：794634 59（棵）答：這個班有9人，一共有樹苗59棵。六年齡問題：年齡問題的主要特點

6、是兩人的年齡差不變，而倍數差卻發生變化。常用的計算公式是：成倍時小的年齡大小年齡之差（倍數1）幾年前的年齡小的現年成倍數時小的年齡幾年后的年齡成倍時小的年齡小的現在年齡例父親今年54歲，兒子今年12歲。幾年后父親的年齡是兒子年齡的4倍？（5412）（41） 423 14（歲）兒子幾年后的年齡14122（年）2年后答：2年后父親的年齡是兒子的4倍。例2、父親今年的年齡是54歲，兒子今年有12歲。幾年前父親的年齡是兒子年齡的7倍？（5412）（71）4267（歲）兒子幾年前年齡1275（年）5年前答：5年前父親的年齡是兒子的7倍。例3、王剛父母今年的年齡和是148歲，父親年齡的3倍與母親年齡的差比

7、年齡和多4歲。王剛父母親今年的年齡各是多少歲？（14824）（31）300475（歲）父親的年齡1487573（歲）或：（1482）2 1502 75（歲） 75273（歲）答：王剛的父親今年75歲，母親今年73歲。七雞兔問題：已知雞兔的總只數和總足數，求雞兔各有多少只的一類應用題，叫做雞兔問題，也叫“龜鶴問題”、“置換問題”。一般先假設都是雞（或兔），然后以兔（或雞）置換雞（或兔）。常用的基本公式有：（總足數雞足數總只數）每只雞兔足數的差兔數 兔子只數=(總腿數總頭數2) 2 雞的只數=(總頭數4總腿數) 2（兔足數總只數總足數）每只雞兔足數的差雞數例：雞兔同籠共有24只。有64條腿。求籠中

8、的雞和兔各有多少只？（64224）（42） （6448）（42）16 2 8（只）兔的只數 24816（只）雞的只數 答：籠中的兔有8只，雞有16只。八牛吃草問題（船漏水問題）：若干頭牛在一片有限范圍內的草地上吃草。牛一邊吃草，草地上一邊長草。當增加（或減少）牛的數量時，這片草地上的草經過多少時間就剛好吃完呢？例1、一片草地，可供15頭牛吃10天，而供25頭牛吃，可吃5天。如果青草每天生長速度一樣，那么這片草地若供10頭牛吃，可以吃幾天？分析：一般把1頭牛每天的吃草量看作每份數，那么15頭牛吃10天，其中就有草地上原有的草，加上這片草地10天長出草，以下類推其中可以發現25頭牛5天的吃草量比1

9、5頭牛10天的吃草量要少。原因是因為其一，用的時間少；其二，對應的長出來的草也少。這個差就是這片草地5天長出來的草。每天長出來的草可供5頭牛吃一天。如此當供10牛吃時，拿出5頭牛專門吃每天長出來的草，余下的牛吃草地上原有的草。（1510255）（105）（150125）（105） 255 5（頭）可供5頭牛吃一天。150105 15050 100（頭）草地上原有草供100頭牛吃一天100（105） 1005 20（天）答：若供10頭牛吃，可以吃20天。例2、一口井勻速往上涌水，用4部抽水機100分鐘可以抽干；若用6部同樣的抽水機則50分鐘可以抽干。現在用7部同樣的抽水機，多少分鐘可以抽干這口井

10、里的水？（1004506）（10050）（400300）（10050）10050 24001002 400200200200（72）2005 40（分）答：用7部同樣的抽水機，40分鐘可以抽干這口井里的水。九公約數、公倍數問題：運用最大公約數或最小公倍數解答應用題，叫做公約數、公倍數問題。例1：一塊長方體木料，長25米，寬175米，厚075米。如果把這塊木料鋸成同樣大小的正方體木塊，不準有剩余，而且每塊的體積盡可能的大，那么，正方體木塊的棱長是多少？共鋸了多少塊？分析：25250厘米 175175厘米07575厘米其中250、175、75的最大公約數是25，所以正方體的棱長是25CM（2502

11、5）（17525）（7525） 1073 210（塊）答：正方體的棱長是25厘米，共鋸了210塊。例2、兩嚙合齒輪，一個有24個齒，另一個有40個齒，求某一對齒從第一次接觸到第二次接觸，每個齒輪至少要轉多少周？分析：因為24和40的最小公倍數是120，也就是兩個齒輪都轉120個齒時，第一次接觸的一對齒，剛好第二次接觸。 120245（周） 120403（周）答：每個齒輪分別要轉5周、3周。十分數應用題：指用分數計算來解答的應用題，叫做分數應用題，也叫分數問題。分數應用題一般分為三類：1求一個數是另一個數的幾分之幾。2求一個數的幾分之幾是多少。3已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數。其中每一類別

12、又分為二種，其一：一般分數應用題；其二：較復雜的分數應用題。例1：育才小學有學生1000人，其中三好學生250人。三好學生占全校學生的幾分之幾？例2：一堆煤有180噸，運走了3/5 。運走了多少噸？例3：某農機廠去年生產農機1800臺，今年計劃比去年增加1/3 。今年計劃生產多少臺？1800（11/3 ）18004/32400（臺）答：今年計劃生產2400臺。例4：修一條長2400米的公路，第一天修完全長的1/3 ，第二天修完余下的1/4 。還剩下多少米？2400（11/3 ）（11/4 ）24002/3 3/41200（米）答：還剩下1200米。例5：一個學校有三好學生168人，占全校學生人

13、數的4/7 。全校有學生多少人？例6：甲庫存糧120噸，比乙庫的存糧少1/3 。乙庫存糧多少噸？120（1-1/3） 1203/2 180（噸）答：乙庫存糧180噸。例7：一堆煤，第一次運走全部的1/2 ，第二次運走全部的1/3 ，第二次比第一次少運8噸。這堆煤原有多少噸？8（ 1/21/3 ） 81/6 48（噸）答：這堆煤原有48噸。十一工程問題：它是分數應用題的一個特例。是已知工作量、工作時間和工作效率，三個量中的兩個求第三個量的問題。解答工程問題時，一般要把全部工程看作“1”，然后根據下面的數量關系進行解答：工作效率工作時間工作量 工作量工作時間工作效率 工作量工作效率工作時間?例1：

14、一項工程，甲隊單獨做需要18天，乙隊單獨做需要24天。如果兩隊合作8天后，余下的工程由甲隊單獨做，還要幾天完成？例2：一個水池，裝有甲、乙兩個進水管，一個出水管。單開甲管2小時可以注滿；單開乙管3小時可以注滿；單開出水管6小時可以放完。現在三管在池空時齊開，多少小時可以把水池注滿？百分數應用題：這類應用題與分數應用題的解答方式大致相同，僅求“率”時，表達方式不同，意義不同。十二、過橋問題，從車頭上橋，到車尾離開橋，求所用的時間。路程=橋長+列車長度。十三、流水問題，求船在流水中航行的時間。船速+水速=順流速度，船速-水速=逆流速度。十四、線上植樹問題，求植樹的株數。在封閉的線上植樹。路長=株距

15、株數 株距=路長株數 株數=路長株距。在不封閉的線上植樹，兩端都植樹。路長=株距（株數-1） 株距=路長（株數-1） 株數=路長株距+1。十五、面上植樹問題，求植樹的株數。當長方形土地的長、寬分別能被株距、行距整除時。行距株距=每株植物的占地面積，土地面積每株植物的占地面積=株數。當長方形土地的長、寬不能被株距、行距整除時。可以按線上植樹問題解題。十六、盈虧問題，求分配的人數。剩余物品的個數差分配方法的個數差=分配的人數。 十七、時鐘問題，求時針和分針重合、成直線或直角的時間。兩針重合時間=兩針間隔格數11/12。兩針成直線時間=（兩針間隔格數30）11/12。兩針成直角時間=（兩針間隔格數1

16、5或45）11/12。十八、時間差問題，計算幾月幾日到幾月幾日的時間差。先計算首月和尾月，再計算中間幾個月。十九、預測星期幾問題，已知今天是星期幾，計算經過多少天是星期幾。用經過的天數除以7，求出剩余的天數，再計算是星期幾。1、求平均數應用題解題方法：讀題，找出總數量；找出總份數；平均數=總數量總份數 總數量=平均數總份數 總份數=總數量平均數2、分數（百分數）應用題解題方法（三步走）：讀題，找準題里單位“ 1”的量；確定單位“1”是已知，還是未知。單位“1”已知，用乘法：單位“1”的量分率=分率對應量；單位“1”未知，用除法或方程：分率對應量（已知數）對應分率=單位“1”的量比單位“1”多就

17、用單位“1”的量+多的或（1），比單位“1”少就用單位“1”的量-少的或（1）。3、工程問題解題方法：讀題，根據所求問題找出需要完成的工作量和各自的工作效率；（注意要對應：求誰的時間就去找他需要完成的工作量和他的工作效率）；工作時間=工作總量工作效率 工作總量=工作效率工作時間 工作效率=工作總量工作時間4、相遇問題解題方法：讀題，從問題入手；總路程=速度和相遇時間 相遇時間=總路程速度和 速度和=總路程相遇時間 。5、按比例分配應用題解題方法：讀題，找出總數量（各部分的總和）；根據各部分的比找出總份數；用總數量乘以各部分占總數的分率。6、幾何形體應用題解題方法：讀題，看清是什么形體；分析，是

18、計算它的什么；該怎樣計算（相關計算公式）；注意單位。7、列方程解應用題解題方法：根據題意，找出未知數并用表示；分析題里數量之間的相等關系（找出等量關系）列方程；解方程；檢驗，寫出答案。8、用比例知識解應用題解題方法：讀題，找準題里一定的量；判斷題里的比例關系（是成正還是反比例）；列比例（成正比例，比值相等；成反比例，乘積相等）。解比例。9、一般應用題（通用）解題方法：弄清題意，找出已知條件和所求問題；分析題里數量之間的關系，確定先算什么、再算什么、最后算什么；確定每一步該怎樣算；列出算式，算出得數。分數應用題,先要弄清兩個概念：帶單位的分數和不帶單位的分數。帶單位的分數，如3/4噸，叫數量，與

19、我們以前學過的“3噸”、“0.3噸”表示的意義一樣，都是表示一個物體的具體的數量。只不過在這里用分數的形式表示出來而已。 不帶單位的分數，如3/4，叫分率，它表示一個數的幾分之幾。 由于這兩種分數表示意義不同，出現在應用題中，它們的分析思路、解題過程也不同。請仔細看下面的對比例子：例1（1）一根鐵絲長5米，用去了2/5米，還剩下多少米？（2）一根鐵絲長5米，用去了2/5，還剩下多少米？解析：（1）剩下的=總長-用去的= 5 2/5=4又3/5米（2）用去的： 5 2/5=2米；剩下 5-2=3米 例2（1）一根鐵絲，用去了2/5米，還剩下3米，這根鐵絲多長？（2）一根鐵絲，用去了2/5，還剩下

20、3米，這根鐵絲多長？ 解析：（1）總長=用去的+剩下的=2/5 +3 =3又2/5米 （2） 3（1 2/5）=3 3/5= 5米 由此可見，大家在做分數應用題時，一定要看清楚題中的分數是哪類分數。 一、 題中沒有不帶單位的分數。 解題思路：這類分數應用題與三、四、五年級學習的應用題，在解題思路和解題方法上是一樣的，只不過題中的數量不是整數、也不是小數，而是分數。當在做這類分數應用題出現障礙時，可把題中的分數換成整數來看 例一輛汽車1/3小時行駛20千米，照這樣的速度，3/4小時能行駛多少千米？ 解析：這是一道簡單的行程問題，從“一輛汽車1/3小時行駛20千米”這句話，我們可以求出速度，速度=

21、路程時間=20 1/3 =60（千米/小時）；題目求的是“3/4小時能行駛多少千米”，求路程=速度時間=60 3/4 =45千米二、題中有不帶單位的分數（即題中有分率） 解題思路：四步法第一步：確定單位“1”找單位“1”的方法：找到題中不帶單位的分數的那句話，“誰”的幾分之幾，那個“誰”就是單位“1”；如果這句話中含有“比”字，“比”后面的那個量就是單位“1”。例如：全長的1/3，“全長”就是單位“1”；第一天比第二天多生產2/7，含有“比”字，“比”后面的量是第二天，那么，“第二天”就是單位 “1”第二步：確定乘除法 (1) 題中直接或間接告訴單位“1”的或可直接算出單位“1”的，用乘法（2

22、）題中單位“1”是未知的，用除法 第三步：列式（1）如果是乘法：單位“1” 分率 分率指的是誰，求出來的就是誰 (2) 如果是除法：帶單位的數量不帶單位的分率=單位“1”。帶單位的數量一定要與不帶單位的分率相對應，才能除，所謂相對應的意思，就是說，帶單位的數量和不帶單位的分率所指的是同一事物，在線段圖上，是指同一段。注意：這一步是最難最容易出錯的地方，很容易犯這樣的錯誤：拿到數字亂除或看到這么多數字，不知道哪個除以哪個，除完以后也不知道求出來的是誰，一定要從思維上把握準。分數應用題最難、變化最多的地方也就是在這。 第四步：檢查 檢查上一步列式算出來的結果是不是題目最后要求的，還有沒有步驟。 下

23、面是乘除法的對比例子，例1（1）某車間加工一批零件，共240個，已經加工了5/8，還多少個零件沒有加工？ (2)某車間加工一批零件，已經加工了5/8，正好是240個，這批零件共多少個？ 解析： （1）第一步：確定單位“1”：5/8是指總共的5/8，所以總共的零件個數是單位“1” 第二步：確定乘除法：題目告訴了零件的總個數是240個，知道單位“1”的，用乘法 第三步：列式：單位“1”分率 240 5/8 =150（個）， 第四步：檢查：由于分率5/8是已經加工的，所以150個是指已經加工了的零件個數，而題目求的是還有多少個零件沒加工，還應有一步驟，沒加工的=總共的 -已加工的=240-150=9

24、0個 240 5/8=150 240-150=90（2）第一步：確定單位“1”：分率5/8是指總數的5/8，所以，總共的零件個數是單位“1” 第二步：確定乘除法：題目求的就是總零件個數，單位“1”是未知的，用除法 第三步：列式：帶單位的數量分率。題中帶單位的數量只有一個：240個，它是已經加工了的個數，而分率5/8也是指已加工的，兩者同指一個事物，可以相除。240 5/8 =384 第四步：檢查：由于帶單位的數量分率=單位“1”，384就是總零件的個數，這正是題目最后要求的，所以做完了。 240 5/8 =384 例2（1）某校去年有88個班，今年的班級數比去年增加3/8，今年多少個班級？ (

25、2) 某校去年有88個班，比今年的班級數增加了3/8，今年多少個班級？ 解析： (1) 在有分率3/8這句話中有“比”字，“比”后面的量是去年的班級數，它就是單位“1”，而題目告訴了去年的班級數，知道單位“1”用乘法，單位 “1”分率。去年是單位“1”今年比去年多3/8，所以今年的分率是1+ 3/8 =11/8，所以求出來的就是今年的班級數。 88（1+ 3/8）=88 11/8 =121（個） (2) 單位“1”是今年的班級數，用除法，88分率，由于88是指去年的班級數，除以的分率也應是表示去年班級數的分率。3/8是指去年比今年多的分率，今年的班級數是單位“1”，那么去年的班級數應是1+ 3

26、/8；這時可以除了 88（1+ 3/8）=單位“1”，即今年的班級數 88（1+ 3/8）=88 11/8 =88 8/11 =64（個） 例3一部長篇小說分上、下兩冊，上冊頁數的4/5等于下冊頁數的2/3，上冊有295頁，下冊有多少頁？ 解析：題中有兩個不帶單位的分率：4/5 和 2/3 ，分別找出它們的單位“1”，上冊頁數的4/5，說明上冊頁數是單位“1”，是295頁，用乘法，295 4/5=236（頁），求出來的是上冊4/5的頁數； 下冊頁數的2/3，說明它的單位“1”是下冊的頁數，而下冊的頁數是題目求的，是未知的，所以用除法。由于下冊的2/3就是236，所以只能用236去除，而不是29

27、5去除。 295 4/5 =236（頁） 236 2/3 =354（頁） 用“四步法”這種解題思維，可以解決簡單的分數應用題，但對于復雜的分數應用題，我們還需要借助一定的方法。下面就介紹在復雜分數應用題中一些常見的解題方法 （一）畫圖法：通過畫線段圖來找出哪個帶單位的數量與哪 個不帶單位的分率是對應的。例：一桶油，第一次用去1/5，第二次比第一次多用去20千克，還剩下16千克，這桶油有多少千克？ 解析：按“四步法”，我們可以找出單位“1”是這桶油，是未知的，用除法。題目中有兩個帶單位的量：20千克和16千克，如果列式應該至少有四種可能：20，16，（20+16），（20-16），倒底是哪種或是

28、還有別的，最關鍵的要找到對應的分率。1/5只是第一次的，第二次的分率呢？剩下的分率呢？由題可知，第二次比第一次多用去20千克，那么第二次肯定也用了1/5，還比1/5多20千克，所以，第二次用去了總數的1/5還多20千克。由于我們從圖上根本找不出20千克這段的分率，所以也找不出剩下16千克所對應的分率，不能用20或16去除哪個分率。從圖中我們很容易能找出（20+16）千克這段的分率是3/5，相對應，可以除了。相除的結果就是單位“1”，即這桶油重量（很報歉，博文中顯示不了WORD文檔編輯出來的圖，所以圖自己畫一畫，對照這里的解析） （20+16）（1- 1/5 1/5）=36 3/5 =60 （千

29、克） 小結：由這題我們可以知道，對于一些圖復雜的分數應用題，特別是讓你無從下手時，正確的思路會引導你從哪開始思考，接著往下怎么走，直到最后。這也是我們一直強調學習數學要重視思維的原因。在比較復雜的分數應用題中，除了畫圖法外，還有以下幾種解題方法 （一）對應法 對應法的核心思維是：不僅數字可以列豎式進行加減，算式也可以列豎式加減 例：學校安排一批學生到圖書館借書，如果男生增加1/5，人數將達到52人，如果女生減少1/5，人數是42人。這批學生原有多少人？ 解析：根據題意，我們可以找出下面兩個數量關系式： 男生人數+1/5的男生人數+女生人數 = 52 男生人數+女生人數-1/5的女生人數 = 4

30、2 這兩個式子對應相減（豎式相減），得： 1/5的男生人數+1/5的女生人數 = 10（二）轉化法 當題中出現多個單位“1”時，我們可以把不同的單位“1”轉化成統一的單位“1” 例：小明、小英、小麗和小華四人愛好集郵，小明的郵票數是小英的1/2，小英的郵票數是小麗的1/3，小麗的郵票數是小華的1/4，已知四人共集郵132 張，小明集郵多少張？ 解析：按照“四步法”，題中有三個不帶單位的分率，它們的單位“1”分別是小英、小麗和小華；肯定用除法；題中只有一個帶單位的數量：132張，列式一定是用132去除；132是指四人集郵總數，應除以四人的分率總和，題目最關鍵就是要把四人的分率表示出來，由于存在不

31、同的單位“1”，首先必須把不同的單位“1”統一成一個單位“1”。有正確的思路，才知道該做什么。把題中三個單位“1”，統一轉化成以小華的集郵數做單位“1”。小華是單位“1”，根據“小麗的郵票數是小華的1/4”，小麗就是1/4；根據“小英的郵票數是小麗的1/3”，小英就是：1/3 1/4= 1/12；根據“小明的郵票數是小英的1/2”，小明就是：1/2 1/12=1/24，現在四人的分率都表示出來了，可以除了。 132（1+ 1/4 + 1/12 + 1/24） =132 11/8 =96（張） 算出來的是單位“1”：小華的郵票張數，小明的張數是：96 1/24=4（張）思考：為什么要挑小華的郵票

32、張數做統一的單位“1”，可不可以把三個單位“1”都統一成小英的郵票總數或小麗的郵票總數？去試試！（三）假設法 例：某修路隊三天修完一條路，第一天修了全長的1/3多150米，第二天修了全長的2/5少100米，第三天修了1950米，這條路全長多少？解析：按“四步法”，單位“1” 是全長，用除法，題中帶單位的數量有三個：150米、100米和1950米，到底用哪個去除，關鍵是要找到它們對應的分率。除了畫圖法，我們還可以通過假設法來找相對應的分率。假設第一天只修了全長的1/3，沒有多修 150米；假設第二天修了全長的2/5，沒有少修100米，那么，三天要修完全長，第三天必須要修（1950+150-100

33、）=2000米。很容易求出第三天的分率：1- 1/3 2/5 = 4/15 2000 4/15 =7500米，就是單位“1”全長（四）把分數看成比的方法 分數可以轉化成比，把比當份數，也是一種好的解題方法 例 學校田徑隊有35人，其中女生人數是男生人數的3/4，女生人數是多少？ 解析： “女生人數是男生人數的3/4”轉化成比，就是：女生人數和男生人數之比是3：4，女生人數是3份，男生人數是4份，總共7份，總共35人，每份就是 357=5人，那么，女生人數就是53=15人（五）抓住不變量的方法 一些較復雜的分數應用題中，會出現許多數量前后發生變化的。這時的解題思維是：在這些變化中抓住不變的量，將

34、不變的量作為標準，有目的地轉化數量關系。來找到解題的線索。不變的量可能是某一部分量不變，也可以是和、差不變，視題目具體情況而定 例1 某車間的女工人數是男工人數的1/2，若調走21個男工，那么男工人數是女工人數的1/2，這個車間的女工人數是多少？ 解析：按“四步法”，題中單位“1”有兩個：男工人數和女工人數，但男工人數前后發生了變化，“抓住不變量”，由題意可知，女工人數不變，把它作為單位“1”，把“女工人數是男工人數的1/2”轉化成“男工人數是女工人數的2 倍”，這時兩個單位“1”統一了，可以除了。21是指調走的男生，必須找出調走男工人數的分率。原來男工人數的分率是2，現在是1/2，說明調走了

35、（2- 1/2 ）=3/2， 21 3/2=14（人），就是單位“1”女工的人數 例2甲乙兩個糧倉，原來甲存糧噸數是乙的5/7，如果從乙倉調6噸到甲倉，甲倉糧的噸數是乙倉的4/5，原來甲乙兩倉各有糧多少噸？ 解析 ：按“四步法”，乙倉是單位“1”，肯定用除法。但乙倉存糧前后發生了變化，“抓住不變量”，兩個倉的存糧總和不變，把它當作單位“1”，題中的條件都轉化成以總存糧為單位“1”。 “原來甲存糧噸數是乙的5/7”，說明原來乙是7份，甲是5份，總共是12份，甲占5/12，乙占7/12；“甲倉糧的噸數是乙倉的4/5”說明調走了后，甲是4份，乙是5份，總共9份，甲占4/9，乙占5/9。題中帶單位的數

36、量是6噸，是指乙調走的噸數，乙調走的分率是（7/12 5/9）= 1/36 相對應，可以除了。6 1/36 =216噸， 就是單位“1”總的存糧，那么，原來甲倉：216 5/12 = 90噸，乙倉存糧：216 7/12 =126噸 例3有兩根蠟燭，一根長8厘米，另一根長6厘米。把兩根都燃燒掉同樣長的部分后，短的一根剩下的長度是長的一根剩下長度的3/5，每段燃燒掉了多少厘米？ 解析：依“四步法”，單位“1”是長的一根剩下的長度，用除法。由題意可知。這兩根蠟燭長度的差沒有發生變化。燃燒前與燃燒后兩根蠟燭都是相差8-6=2厘米。現在最關鍵的是要找出2厘米所對應的分率，也就是兩根蠟燭燃燒后相差的分率。

37、“短的一根剩下的長度是長的一根剩下長度的3/5”，長的一根剩下的長度為單位“1”，那么短的一根剩下的長度就是3/5，相差1- 3/5= 2/5，現在可以除了2 2/5=5厘米，就是單位“1”長的一根剩下的長度，說明燃燒掉了8-5=3厘米 （六）還原法 在三、四、五年級奧數中，都有專門的章節介紹還原法，它最核心的思維是倒推思維 例：3只猴子吃籃子的桃子，第一只猴子吃了1/3，第二只猴子吃了剩下的1/3，第三只猴子吃了第二只猴子剩下的1/4，最后籃子里剩下6只桃子。問原來有多少只桃子？ 解析：從最后剩下的6只桃子，進行倒推 6只桃子占第二只猴子吃剩下后桃子數的1- 1/4=3/4，6 3/4 =8

38、只，就是第二只猴子吃剩下的桃子數；8只桃子占第一只猴子吃剩下桃子數的1- 1/3= 2/3，8 2/3=12只，就是第一只猴子吃剩下的桃子數；12只桃子占籃子桃子數的1- 1/3=2/3，12 2/3 =18，就是原有桃子數了（七）方程法 在解任何應用題時，方程都是一種不能忽視的備用方法 例 某校有學生465人，其中女生的2/3比男生4/5少20人，男生有多少人？解析；設男生為x人，女生就有（465-x）人 從“女生的2/3比男生4/5少20人”找題中的數量關系式：女生 2/3+20=男生 4/5列方程 2/3 （465-x）+20= 4/5 x 解得x=225較復雜的分數應用題，題型廣博，變

39、化多端。在教學中，我們應適當地教給學生一些解題方法，以拓寬思路，提高解題能力。一、從確定對應入手找出解題方法分數應用題中有一個“量率對應”的明顯特點，對一個單位“1”來說，每個分率都對應著一個具體的數量，而每一個具體的數量，也同樣對應著一個分率，因此，正確地確定“量率對應”是解題的關鍵。我們要引導學生學會和掌握“明確對應，找準對應分率”的解題方法。例：小冬看一本故事書，第一天看了總頁數的1/6，第二天看了總頁數的1/3，還剩78頁沒有看，這本故事書共有多少頁？把這本故事書的總頁數看作單位“1”，要求這本故事書共有多少頁，就要求出剩下的78頁的對應分率。根據已知條件，第一、二天看了總頁數的（1/

40、61/3），還剩下78頁的對應分率是（11/61/3），求這本故事書共有多少頁，就是已知單位“1”的（11/61/3）是78頁，求單位“1”。于是列式為：78（11/61/3）156（頁）二、通過統一標準量找出解題方法在一道分數應用題中，如果出現了幾個分率，而且這些分率的標準量不同，量的性質相異，在解題時，必須以題中的某一個量為標準量，將其余量的對應分率統一到這個標準量上來，才可列式解答。例：果園里有蘋果樹和梨樹共420棵，蘋果樹棵數的1/3等于梨樹的4/9，問這兩種果樹各有多少棵？題中的1/3是以蘋果樹為標準量，4/9是以梨樹為標準量，解題時必須統一成一個標準量。若以蘋果樹為單位“1”，則有

41、11/3梨樹4/9，那么梨樹就相當于單位“1”的1/34/9，兩種果樹的總棵數就相當于單位“1”的（11/34/9），于是列式為：420（11/34/9）240（棵）蘋果樹240（1/34/9）180（棵）梨樹也可以把梨樹看作單位“1”，或把兩種果樹的總棵數，或者相差棵數看作單位“1”。三、通過假設推算找出解題方法有些分數應用題，如果按題中所給條件直接去思考，就難以找到解題方法，如果在解題時先假設一個主觀上所需要的條件，然后按照題目里的數量關系推算，所得的結果則發生與題目條件不同的矛盾，再進行適當的調整，即可找到正確的答案。例：紅花村修一條水渠，第一周修了全長的2/5多10米，第二周修了全長的

42、1/4少5米，還剩下282米沒有修。這條水渠長多少米？假設第一周修的恰好是全長的2/5，這樣第一、二周修后剩下的282米中就要增加10米；假設第二周修的恰好是全長的1/4，這樣第一、二周修后剩下的282米中又要減少5米，于是條件變為“第一周修了全長的2/5，第二周修了全長的1/4，還剩下（282105）米沒有修。把這條水渠全長看作單位“1”，那么（282105）米的對應分率就是（12/51/4）。于是列式為：（282105）（12/51/4）8201（米）四、通過逆推找出解題方法有些分數應用題，如果按從始至終的先后順序去分析，很難達到解決問題的目的，甚至陷入絕境。不妨“反過來想一想”進行逆推，

43、便容易打開思路，順利解題。例：有一個油桶里的油，第一次倒出1/3后加入20千克，第二次倒出這時油的1/6多5千克，這時桶里剩下油95千克。問原來桶里有油多少千克？從最后條件出發思考：955100（千克），即為現存油的5/6，故現在桶里有油1005/6120，再從第一個條件思考，12020100（千克），即為原存油的2/3，因此，原來桶里有油1002/3150（千克）。綜合算式：（955）（11/6）20（11/3）150（千克）五、借助線段圖找出解題方法分數應用題的數量關系比較抽象、隱蔽，如果根據題意畫出線段圖，可使抽象變具體，隱蔽明朗化，從而借助線段圖揭示的數量關系可直觀地找出解題方法，甚至

44、有的題還可找到簡捷的解法。例：甲乙兩人共存人民幣若干元，其中甲占3/5，若乙給甲60元后，則乙余下的錢占總數的1/4，甲乙兩人各存人民幣多少元？根據題意畫線段圖：附圖圖從線段圖上一目了然，60元的對應分率是（13/51/4），于是可求出甲乙兩人共存人民幣多少元，進而可求出甲乙兩人各存人民幣多少元。60（13/51/4）3200（元）甲乙兩人共存32003/51920（元）甲3200（13/5）1280（元）乙或320019201280（元）六、抓住不變量找出解題方法對于標準量不統一的分數應用題，如果我們能從題中找到一個不變量，就以不變量為突破口，便能夠很快找到解題方法。例：一個車間有工人360

45、人，其中女工占3/5，后來又招進一批女工，這時女工人數占全車間工人總人數的5/8，又招進女工多少人？從題中可知，女工人數起了變化，引起全車間工人總人數起了變化，但是男工人數始終沒有增減，因此，抓住男工人數沒有變化這個不變量來分析。當全車間工人為360人時，女工占3/5，則男工占13/52/5，為3602/5144（人）。又招進一批女工后，女工人數占這時全車間工人總人數的5/8，則男工人數占這時全車間工人總人數的15/83/8，因此，這時全車間有工人1443/83849（人）。原來全車間有工人360人，現在增加到384人，增加的原因是由于招進了一批女工，故又招進女工38436024（人）。綜合算

46、式：360（13/5）（15/8）36024（人）七、通過轉變換條件找出解題方法有些分數應用題，可以通過改變看問題的角度，將題中某些已知數量轉換成與之有關聯的另一個數量，使之成為一個較為熟悉的簡單的問題，從而找到解題的新方法。例：有兩缸金魚，如果從第一缸取出15尾放入第二缸，這時第二缸內的金魚正好是第一缸的5/7，已知第二缸內原有金魚35尾，第一缸內原有金魚多少尾？這道題可以轉化為熟悉的“歸一”問題。題中的5/7根據分數的意義，表示把這時第一缸內的金魚尾數平均分成7份，這時第二缸內金魚的尾數占其中的5份，這5份共351550（尾），則每份是50510（尾），因此，這時第一缸內有金魚10770（

47、尾），那么第一缸內原有金魚701585（尾）。綜合算式：（3515）571585（尾）八、列表對應比較找出解題方法有些分數應用題，可以通過列表對應比較已知條件，研究其對應數量間的變化規律，從而可找到解題方法。例：某車間舉辦技術革新培訓班，如果抽去全車間男工人數的1/3和女工人數的1/4后共有90人參加，如果抽去全車間男工人數的1/4和女工人數的1/3后共有85人參加。問這個車間有男工多少人？列表對應比較分析：附圖圖如果都抽去男工人數和女工人數的1/3，那么由（5）式又得：男工人數的1/3女工人數的1/33001/3（男工人數女工人數）1/33001/3100（人）（6）將（6）式與（2）式比較

48、，男工人數的1/3比1/4多1008515（人），這15人就相當于全車間男工人數的（1/31/4），則這個車間有男工15（1/31/4）180（人）以上幾種解較復雜分數應用題的方法，并非是絕對孤立的，因此，在教學中，我們要引導學生靈活運用，以形成自己的解題技能技巧。例21 下圖中圓O的面積和長方形OABC的面積相等。已知圓O的周長是9.42厘米，那么長方形OABC的周長是多少厘米？分析與解 題中告訴我們，圓O的面積和長方形OABC的面積相等。我們知道，圓的面積等于rr，而圖中圓O的半徑恰好是長方形的寬，因此長方形OABC的長正好是r，即圓O的周長的一半。而長方形的周長等于2個長與2個寬的和，也就是圓O的周長與直徑的和。長方形OABC的周長是：9.42+9.423.14=9.42+3=12.42（厘米）答：長方形OABC的周長是12.42厘米。例24 在面積是40平方厘米的正方形中，有一個最大的圓（如圖3）。這個圓的面積是多少平方厘米？分析與解 要求圓的面積，就要先求出圓的半徑。題中告訴我們，正方形的面積是40平方厘米，正方形的邊長的一半，也就是圖中圓的半徑。對小學生來講，從正方形的面積求正方形的邊長，還不會直接計算。可以這樣思考：把正方形平均分成4份（如圖4）。每個小正方形的面積是404=10平方厘米。小正方形的邊長恰好是圓的半徑，因此圓的半徑的平方恰好是1