1、中考數學壓軸題及答案（1） 1. 如圖：拋物線經過A （-3, 0）、B （0, 4）、C （4, 0）三點. （1）求拋物線的解析式. （2）己知AD = AB （D在線段AC上），有一動點P從點A沿線段AC以每秒1 個單位長度的速度移動；同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動， 經過t秒的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使MQ+MC的值最 小？若存在，請求出點M的坐標：若不存在，請說明理由。 （注：拋物線y =血2+加+ 0的對稱軸為 解：設拋物線的解析式為y = ax2+bx + c （“HO）, 9a 3/? +

2、 4 = 0 解得 b = - 3 依題意得：c=4且彳, 16a + 4b + 4 = 0 所以 所求的拋物線的解析式為y = -x2 + Lx + 4 （2）連接 DQ,在 RtAAOB 中，AB = jAO1+BO2 =a/32 +42 =5 所以 AD 二 AB=5, AC=AD+CD=3+4 = 7, CD = AC - AD = 7 - 5 = 2 因為BD垂直平分PQ,所以PD=QD, PQ丄BD,所以ZPDB=ZQDB 因為 AD二AB,所以ZABD二ZADB. ZABD二ZQDB,所以 DQAB 所以 ZCQD=ZCBAo ZCDQ=ZCAB,所以 ZCDQs A CAB D

3、Q CD AB CA 所以 AP=AD - DP 二 AD - DQ=5 10 = 25 TT 所以t的值是一 7 (3) 答對稱軸上存在一點M,使MQ+MC的值最小 理由：因為拋物線的對稱軸為% = - = -所以A (-3, 0) , C (4, 0)兩點關于 2a 2 直線x =-對稱連接AQ交直線x = - 丁點M,則MQ+MC的值最小過點Q作QE丄x 2 2 軸，丁E,所以ZQED二ZBOA=90 DQAB, Z BAO=ZQDE, ADQE s 12 ABO即坐=Z =竺所以 QE=-, DE=-,所以 0E = BO AB AO 45377 OD + DE=2+- = ,所以 Q

4、 (,-) 設直線AQ的解析式為y = kx + m伙HO) 20,8 77 -3k + m = 0 由此得 1 41 24 m = 41 7777 1 x = 2 824 V = x + 4141 824 所以直線AQ的解析式為y = x + 聯立 0)的圖象的頂點為D點, 與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為(3, 0), OB = OC , tanZAC0=- 3 (1) 求這個二次函數的表達式. (2) 經過C、D兩點的直線，與天軸交于點E,在該拋物線上是否存在這樣的點F, 使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標：若 不

5、存在，請說明理由. （3）如圖10,若點G （2, y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上 一動點，當點P運動到什么位置時，AAPG的面積最大？求出此時P點的坐標和 APG的最大面積. (1) 由已知得：C (0, -3) , A (一 1, 0)1分 a-b+c=O 將A、B、C三點的坐標代入得9d + 3b + c = O2分 c = 3 a = 1 解得：* b = 23 c = 3 分 所以這個二次函數的表達式為：y = x2-2x-33分 （2）存在，F點的坐標為（2, -3）4分 理由：易得D （1, -4）,所以直線CD的解析式為：y = x 3 E點的坐標為（一3,

6、 0）4 分 由 A、C、E、F 四點的坐標得：AE = CF = 2, AE/7CF 以A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形 存在點F,坐標為（2, -3）5 分 （3）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q, 易得G （2, -3）,直線AG為y = -兀一1 設 P (x, x2 2x 3 ),則 Q (- x1) 9 PQ= x2 + x + 2 . SSAPG = mpg + S、GPQ =(7 - + -V + 2) X 3 分 當x =-時，AAPG的面積最大 2 此時P點的坐標為(丄,-匕,Sa%的最大值為殳. 10 (24 )皿8 分 3. 如圖,已知拋物線與x軸交于A (-

7、1, 0)、B (3, 0)兩點，與y軸交于點C (0, 3) o (1) 求拋物線的解析式； 設拋物線的頂點為D,在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得APDC是等 腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標;若不存在，請說明理由； 若點M是拋物線上一點，以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M 的坐標。 拋物線與y軸交丁點C (0, 3), 設拋物線解析式為y = av2 +加:+ 3(“ H 0)1分 根據題意, b = 2. a /? + 3 = 0, 9a + 3h + 3 = 0, 拋物線的解析式為y =+ 2x + 3 存在。3分 由),=-F+2x + 3得，

8、D點坐標為(1, 4),對稱軸為x = lo 4分 若以CD為底邊，則PD = PC,設P點坐標為(xy),根據勾股定理, 得x2+(3_y)，=(牙_1)+(4_y)2,艮卩 y=4x。 5 分 乂 P 點(x,y)在拋物線上，：.4-x = -x2 +2x + 3,即x2-3x + 1=O6 分 解得兀=注色，應舍去 .兀=玄色。7分 2 2 2 .y = 4 兀=仝，即點P坐標為(出丄,匕竺|。$分 2 2 2 若以CD為一腰，因為點P在對稱軸右側的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與點 C關于直線x=l對稱，此時點P坐標為(2, 3) o 符合條件的點P坐標為(沁丄,江空|或(2, 3)

9、。9分 I 22 由B (3, 0) , C (0, 3) , D (1, 4),根據勾股定理， 得 CB=3妊CD=,BD=2 （2）求此拋物線的表達式； （3）求AABC的面積； 2 丸N-2 o j廠 r x 一2 （4）若點E是線段43上的一個動點（與點4、點B不重合），過點E作 EF/AC交BC于點F,連接C&設AE的長為m CEF的面積為S,求S與 加之間的函數關系式，并寫出自變量加的取值范圍； （5）在（4）的基礎上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大 值，并求出此時點E的坐標，判斷此時ABCE的形狀；若不存在，請說明理山. 解：（1）解方程 X2 10 x4-16 =

10、 0 得 x嚴2、*2=8 點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OBVOC 點B的坐標為（2, 0）,點C的坐標為（0, 8） 乂拋物線y=局+加的對稱軸是直線兀=一2 由拋物線的對稱性可得點A的坐標為(一6, 0) A、B、C 三點的坐標分別是 A (-6, 0)、B (2, 0)、C (0, 8) (2) I點、C (0, 8)在拋物線y=dH+bx+c的圖象上 c=8,將A (-6, 0)、B (2, 0)代入表達式y=dF+bx+8,得 j0=36“ 一 6b+8 lo=4“+2b+8 所求拋物線的表達式為)，=一 |x2-|a-+8 (3) 53=8, OC=S *Smbc

11、 =,8x8=32 (4) 依題意，AE=mf 則 BE=8m, PA = 6, OC=8,.AC= 10 ：EF/AC HBEFs BAC .EF_BE EF S-m.40_5加 ACABK|70_ 8EF4 4 過點 F 作 FG丄AB,垂足為 G,則 sinZFEG=sinZCAB=T S = SBCE SBFE = 2 （8 /?7）x8 （8？） （8 7） 2（8?）（8 8+am） =2（8/J）m=2+4 自變量加的取值范圍是0加8 (5) 存在.理由： S=-yfr+4m=- (加一4) 2+8且一*0, 當加=4時，S有最大值,S最大值=8 加=4,點E的坐標為(-2, 0

12、) BCE為等腰三角形. 5.己知拋物線y = -ax2 +2ax+b與x軸的一個交點為A(-l,0),與y軸的正半軸交于點C. 直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點B的坐標： 當點C在以AB為直徑的OP上時，求拋物線的解析式： 坐標平面內是否存在點M,使得以點M和中拋物線上的三點A、B、C為頂點 的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標：若不存在，請說明理由. 解：對稱軸是直線：x = L點B的坐標是(3,0). 說明：每寫對1個給1分，“直線”兩字沒寫不扣分. (2)如圖,連接PC, V點A、B的坐標分別是A(-l,0)、B(3,0), AB=4.PC詁侶卜4 = 2

13、在 RtAPOC 中，VOP=PA-OA = 2-1 = 1. OC = yiPC2-PO2 =松-卩=、 Ab= Vl 3 分 當 x = -1, y =0 時，-a-2a + y/3 =0, d = 4分 廠_迪*+竺屈分 33 存在6分 理由：如圖，連接AC、BC.設點M的坐標為M(x,y). 當以AC或BC為對角線時，點M在x軸上方，此時CMAB,且CM=AB. 由知，AB=4,|x| =4, y = OC = VJ . x = 4.點M的坐標為旳(4,巧)或(7,).9分 說明：少求一個點的坐標扣1分. 當以AB為對角線時，點M在x軸下方. 過 M 作 MN丄AB 于 N,則ZMNB = ZA0C=90o. T四邊形AMBC是平行四邊形，AAC = MB,