1、直線的方向向量與平面的法向量【問題導思】圖 3 211如圖 3 2 1，直線 l m，在直線 l 上取兩點A、B，在直線 m上取兩點 C、D，向量AB與 CD有怎樣的關系？【提示】ABCD.2如圖直線l 平面 ，直線 l m，在直線 m上取向量 n，則向量 n 與平面 有怎樣的關系？【提示】n .直線的方向向量是指和這條直線平行或共線的非零向量，一條直線的方向向量有無數個直線 l ，取直線 l 的方向向量a，則向量 a 叫做平面 的法向量 .空間中平行關系的向量表示設兩條不重合的直線l ，m的方向向量分別為a ( a1，b1，c1) ，b ( a2，b2，c2 ) ，線線平行則 l m? a

2、b? ( a1， b1， c1) k( a2， b2， c2)設l的方向向量為a( 1， 1，1) ，的法向量為( 2，2，2) ，則la b cu a bc線面平行? a u0? a1a2 b1b2 c1c2 0設，的法向量分別為u( 1， 1，1) ，(a2， 2，2) ，則?ua b cvb c面面平行v? ( a1， b1，c1 ) k( a2， b2，c2)求平面的法向量圖 3 221已知 ABCD是直角梯形， ABC90，SA平面 ABCD，SA AB BC 1，AD 2，試建立適當的坐標系(1) 求平面 ABCD與平面 SAB的一個法向量(2) 求平面 SCD的一個法向量【自主解

3、答】以點 A為原點， AD、AB、 AS所在的直線分別為x 軸、 y 軸、 z 軸，建立1如圖所示的坐標系，則A(0,0,0)， B(0,1,0)， C(1,1,0)，D( 2， 0,0) ， S(0,0,1)(1) SA平面 ABCD， AS (0,0,1)是平面 ABCD的一個法向量 ADAB， ADSA， AD平面 SAB， 1 AD ( ， 0,0) 是平面 SAB的一個法向量21(2) 在平面 SCD中， DC ( 2， 1,0)，SC (1,1，1)設平面 SCD的法向量是 n ( x， y， z) ，則 n DC， n SC.1 x 2y所以 nDC 0得方程組2x y 0z y

4、，nSC 0，x y z0.令 y 1 得 x 2， z 1， n (2 ， 1,1)1若一個幾何體中存在線面垂直關系，則平面的垂線的方向向量即為平面的法向量2一般情況下，使用待定系數法求平面的法向量，步驟如下：(1) 設出平面的法向量為n ( x， y，z) (2) 找出 ( 求出 ) 平面內的兩個不共線的向量a ( a1， b1，c1) ， b ( a2，b2， c2) (3) 根據法向量的定義建立關于x，y， z 的方程組na 0，n b 0.(4) 解方程組，取其中的一個解，即得法向量n a 0，3在利用上述步驟求解平面的法向量時，方程組有無數多個解， 只需給n b 0x， y， z

5、中的一個變量賦于一個值，即可確定平面的一個法向量；賦的值不同，所求平面的法向量就不同，但它們是共線向量正方體1111中，、F分別為棱1 1、 1 1 的中點，在如圖3 2 3 所示的ABCD A B CDEAD AB空間直角坐標系中，求：圖 3 23(1) 平面 BDD1B1 的一個法向量(2) 平面 BDEF的一個法向量【解】設正方體ABCD A B CD 的棱長為2，則 D(0,0,0)， B(2,2,0)， A(2,0,0)，1111C(0,2,0)，E(1,0,2)(1) 連，因為平面11，所以 ( 2,2,0)為平面1 1 的一個法向量ACACBDDBACBDDB(2) DB (2,

6、2,0)，DE (1,0,2)設平面的一個法向量為n (，z) BDEFxy2x 2y 0y xnDB 01 x 2z 0，nDE 0，z2x.令 x2 得 y 2， z 1. n (2 ， 2,1)即為平面BDEF的一個法向量.長方體ABCD A1B1C1D1 中，E、F 分別是面對角線B1D1，A1B 上的點， 且D1E 2EB1，BF 2FA1. 求證：EF AC1.【自主解答】如圖所示，分別以DA，DC， DD1所在的直線為x 軸、 y軸、 z軸建立空間直角坐標系，設DA a， DCb， DD1 c，則得下列各點的坐標：A( a, 0,0)， C1(0 ，b，c) ，22b2E( 3a

7、， 3b， c) ， F( a，3， 3c) a b c FE ( ， ， ) ， AC1 ( a， b，c) ， 3 3 3 1 FE 3AC1.又 FE與 AC1不共線，直線 EF AC1.利用向量法證明線線平行的方法與步驟：圖 3 24如圖 3 2 4 所示，在正方體ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分別為 DD1和 BB1 的中點 求證：四邊形 AEC1F 是平行四邊形【證明】以點D為坐標原點，分別以，1為正交基底建立空間直角坐標系，DA DC DD不妨設正方體的棱長為1，則 A(1,0,0)， E(0,0111，2) ， C(0,1,1)， F(1,1 ， 2) ，111 1 A

8、E( 1,0，2) ，FC( 1，0，2) ，EC (0,1，2) ，AF (0,1，2) ， AE FC，EC1111AF， AEFC1， EC1 AF，又 F? AE， F? EC1， AE FC1， EC1AF，四邊形 AEC1F 是平行四邊形 .利用空間向量證明線面平行圖 3 25如圖 3 2 5，在正三棱柱ABC A1B1C1 中， D 是 AC 的中點，求證：AB1平面DBC1.【自主解答】以 A 為坐標原點建立空間直角坐標系設正三棱柱的底面邊長為a( a0) ，側棱長為b( b0) ，3a3aa則 A(0,0,0) ， B( 2 a，2， 0) ， B1( 2 a， 2，b) ，

9、 C1(0 ，a， b) ， D(0 ， 2， 0) ，3 a3 AB1 (2 a，2， b) ， BD ( 2 a, 0,0) ，aDC1 (0，2， b) 設平面 DBC1的一個法向量為n ( x， y， z) ，3x 0，n BDax0，則2a y.az2bn DC12y 0，不妨令y 2，則 (0,2， )bnba由于 AB1 n abab 0，因此 AB1 n.又 AB1? 平面 DBC1， AB1平面 DBC1.利用空間向量證明線面平行一般有三種方法：方法一： 證明直線的方向向量與平面內任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內的一組基底表示方法二： 證明直線的方向向量與平面內某一向量

10、共線，轉化為線線平行，利用線面平行判定定理得證方法三： 先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明方向向量與平面的法向量垂直在長方體 ABCD A1B1C1D1 中，AA1 2AB 2BC，E，F，E1 分別是棱 AA1，BB1，A1B1 的中點求證： CE平面 C1E1F.【證明】以 D為原點，以DA， DC，DD1 所在的直線分別為x， y，z 軸，建立空間直角坐標系，如圖設 BC 1，則 C(0,1,0)，E(1,0,1)1， F(1,1,1)11， C(0,1,2)，E(1，2， 2) 設平面1 1 的法向量為n (，) ，CE Fxyz11 (1， 1，0)，1 ( 1,0,1)，

11、CE2FC11nC E 0， 0，nFC11即 x2y，取 n (1,2,1) xz， CE (1 ， 1,1)， n CE1 2 1 0， CEn，且 CE? 平面 C1E1F. 平面1 1 .CECEF向量法證明空間平行關系圖 3 26(12 分) 如圖 32 6，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形， EF AB，EF FB， AB 2EF， BFC90， BF FC， H為 BC的中點求證： FH平面 EDB.【思路點撥】先通過推理證明FH平面 ABCD，建立空間直角坐標系，再設證明 HF、BE、BD共面【規范解答】四邊形 ABCD是正方形， ABBC，又 EF AB， EF

12、BC.又 EF FB， EF平面 BFC. EFFH， AB FH.2 分又 BF FC， H為 BC的中點， FHBC. FH平面 ABC.4 分以H為坐標原點， 為軸正方向， 為z軸正方向HB xHF建立如圖所示的空間直角坐標系設 BH 1，則 (1,0,0)， ( 1， 2,0)， (0 ， 1,1)， (0,0,1).6分BDEF， HF (0,0,1)，BE ( 1， 1,1) ， BD ( 2， 2，0)設 HF BE BD ( 1， 1,1) ( 2， 2,0) ( 2， 2， )8 分 (0,0,1) ( 2， 2， ) ， 2 0 11，解得 1 2， 1分 HFBEBD10

13、2 向量 HF， BE， BD共面又 HF不在平面 EDB內， HF平面 EDB.12 分【思維啟迪】 1. 建立空間直角坐標系， 通常需要找出三線兩兩垂直或至少找到線面垂直的條件2證明時，要注意空間線面關系與向量關系的聯系與區別，注意所運用定理的條件要找全1利用向量解決立體幾何問題的“三步曲”：(1) 建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；(2) 進行向量運算，研究點、直線、平面之間的關系( 距離和夾角等 ) ；(3) 根據運算結果的幾何意義來解釋相關問題2證明線面平行問題，可以利用直線的方向向量和平面的法向量之間的關系；也可以

14、轉化為線線平行，利用向量共線來證明1若 A( 1,0,1)， B(1,4,7)在直線 l 上，則直線 l 的一個方向向量為 ()A (1,2,3)B (1,3,2)C (2,1,3)D (3,2,1)【解析】AB (2,4,6) 2(1,2,3)【答案】A2下列各組向量中不平行的是()A a (1,2 ， 2) ， b ( 2， 4,4)B c (1,0,0)，d ( 3,0,0)C e (2,3,0)，f (0,0,0)D g ( 2,3,5)， h (16,24,40)【解析】 ( 2， 4,4) 2(1,2 ， 2) 2，a ，同理：c， .babde f【答案】D3設平面 內兩向量 a

15、(1,2,1)，b ( 1,1,2)，則下列向量中是平面 的法向量的是()A ( 1， 2,5)B( 1,1 ， 1)C (1,1,1)D (1 ， 1， 1)【解析】平面 的法向量應當與 a、 b 都垂直，可以檢驗知B 選項適合【答案】B4根據下列各條件，判斷相應的直線與直線、平面與平面、直線與平面的位置關系：(1)直線 l 1， l 2 的方向向量分別是a (1 ， 3， 1) ， b (8,2,2)；(2)平面 ， 的法向量分別是u(1,3,0) ，v ( 3， 9， 0)；(3)直線 l的方向向量，平面 的法向量分別是 a(1 ， 4，3) ， u (2,0,3) 【解】(1) a b

16、18 ( 3) 2 ( 1) 2 0， l 1 l 2.(2) v ( 3， 9,0) 3(1,3,0) 3 ， .(3) a、 u 不共線， l 不與 平行，也不在 內又 a u 70， l 與 不垂直故 l 與 斜交 .一、選擇題1(2013 吉林高二檢測 ) l1的方向向量為v(1,2,3)，l2的方向向量 v ( ，4,6)，12若 l 1 l 2，則 ()A 1B 2C 3D 4【解析】 l l ， v v，則124， 2.1212【答案】B2(2013 青島高二檢測AB與平面 CDE的位置關系是 () 若 AB CDCE，則直線A相交B平行C在平面內D平行或在平面內【解析】CDE的位置關系是平 ABCD CE， AB、CD、 CE共面，則 AB與平面行或在平面內【答案】D3已知平面內有一個點(2 ， 1,2) ，的一個法向量為n (3,1,2) ，則下列點PA中，在平面 內的是 ()3A (1 ， 1,1)B (1,3 ， 2)33C (1 ， 3， 2)D( 1,3 ， 2)【解析】對于， ( 1,41， )，BAP2則n (3,1,2)( 1,