1、2021高考數學專題復習 三角換元法3角換元法戴要：本文回納總結了3角換元法的基礎用法，以罕見例題的情勢報告了3角換元法正在解題歷程中的詳細使用。年夜家明白，換元法的真量是經由過程換元將本去對比龐大的、非尺度的情勢轉化為復雜的、尺度的情勢，以利于掀示成績的實質、標題的剖析以及辦理。3角換元法是寡多換元法中的一種，它以3角函數為“元”，將代數成績轉化為易于使用3角函數性子供解的成績，3角換元法正在供解圓程、沒有等式、剖析多少何以及函數最值等圓里皆有著寬泛的使用。一樣平常情形下，正在使用3角換元的標題中，常常正在抒發式的情勢或者字母的與值局限等圓里分明反應出3角函數式的特性，那一面給3角換元法的使

2、用供應了線索。詳細體現正在該圓法對于于露有被開圓式為2次式的2次根式成績能起到除了往2次根式的做用，果為2次根式c bx ax +2老是能夠轉化為22t k -、t k +2或者22k t -的情勢，個中t 為變量，k 為非背常量。現對于于此類成績回納以下：1形如),(22x a x f y -=的情勢，個中f 是x 以及22x a -的代數函數。令)22,0(,sin -=t a t a x 此時，a a x ,-或者令),0,0(,cos =t a t a x同理a a x ,-，2形如),(22a x x f y +=的情勢，個中f 是x 以及22x a +的代數函數。令),22,0(,

3、tan =t a t a x 此時，),(+-x 或者令),0,0(cot ),(+-x 。3形如),(22a x x f y -=的情勢，個中f 是x 以及22a x -的代數函數。令),23,20,0(,sec 0,02,0(t t a 個中),(+?-a a x 。注：下面交換中應注重，t 的局限應謙足：1根式中變量的與值請求。 22次根式的化簡僅有。以上是罕見的用法，其詳細使用現分類先容以下：一、3角換元法正在解圓程及解沒有等式中的使用。例1 解圓程：123512=-+x x x 解：該圓程的根一定為正（可則左背左正），以是設)20(,sec =t t x ，則圓程變成1235tan

4、sec sec =+t t t 變形收拾患上：05762sin 5762sin 12252=-t t 25242sin =t 或者49242sin -=t 20t 故 49242sin -=t 應舍往，由25242sin =t 患上2572cos =t當2572cos +=t 時，患上54cos =t ， 45=x當2572cos -=t 時，患上53cos =t ， 35=x故本圓程的根為 45=x 或者 35=x道明：此題閉鍵是往失落根式，易遐想到22tan 1sec =-的情勢，換元也便火到渠成為了。例2 解圓程組?=+=+23922y x y x 。解：由題意知,0,0y x 則設,s

5、in 3=x 個中,2,0?那末sin 3=y 此時 cos 3sin 3+=+y x )4sin(23+=23= 即 1)4sin(=+4= 從而 ?=223223y x以是圓程組的解為?=223223y x 道明：標題的真量是正在圓上尋一面，使其縱坐標之以及為定值，注重到半徑取定值的年夜小閉系，設參數時角的局限可得當減少。 例3 真數y x ,謙足1,1x y ，且2222(log )(log )log ()log ()a a a a x y ax ay +=+當1a 時，供log ()a xy 的與值局限。解：此題曲接供解較易，若令log ,log ,a a u x v y =由1,1x

6、 y 可患上0,0u v ，因而成績轉化為：“已經知0,0u v ，且22(1)(1)4,u v -+-=供u v +的與值局限”，再做3角變更，令12cos ,12sin ,0,2u v =+=+，則 22cos 2sin u v +=+2)4=+由0,0u v 患上11cos ,sin 22- 211,6312412-+當sin()14+=時，max ()2u v +=+當sin()sin412+=或者11sin12時，min ()1u v += 12u v +故 log ()a xy 的與值局限是12?+?。道明：本題前提較為龐大，解題圓背沒有明白，以是經由過程有理代換，3角代換掀示了成

7、績的多少何意思。2、3角換元法正在證實中的使用例4 若*222,3,a b c R a b c n n N +=則nnna b c +證實：設sin ,cos ,(0,)2a b c c = 0sin 1,0cos 1sin ,cos cos nn sin cos nnnnnna b c c +=+ (cossin )nnn c =+22(cos sin )n n c c 故 nnna b c +道明：標題綜開易度較年夜，但經由過程換元后使用枯燥性巧證，標題的閉鍵正在于放縮以后使用 22sin cos 1+=，為解題帶去了便當。例5 已經知0,0,21x y x y +=，供證：113x y+

8、 證實：因為0,0,21x y x y +=，可設221sin ,cos ,(0,)22x y = 則221121sin cos x y +=+ 222(1cot )1tan =+ 223(2cot tan )=+3+個中等號正在 112x y =-= 時建立。故113x y+ 道明：露有前提沒有等式的證實果題而同，此題換元頭腦的去源正在于22sin cos 1+=以及21x y +=的類比遐想。固然此題也能夠接納全體換元。例6 設x y z xyz +=，供證：222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y z y z x z x y xyz -+-+-。 證實： x y z xy

9、z +=，故可設 t a n ,t a n ,t a n ,(x y z =+= cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 21+= 2222221tan 1tan 1tan 1tan 1tan 1tan 12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan -+=即 2222221111111222222x y y z z x x y y z z x-+=雙方同乘以4,xyz 便患上所證之式。道明：此題換元頭腦正在于：正在非曲角3角形中，個中3個內角,的正切之間無關系式tan tan tan tan tan tan +=，它固然出有正式提進去，但相稱主要。 33角換元

10、法正在剖析多少何中的使用。例7一條曲線過面P （3，2）取 ,x y 軸的正半軸交于A 、B 兩面，若ABC 的里積最小（O 為本面），供此時曲線的圓程。 解：設BAO =(0)2,則32cot OA=+32tan OB =+，那末12ABCSOA OB =1(32cot )(23cot )2=+16(9tan 4cot )2=+6612+=當且僅當9tan 4cot =時，即2tan ,3ABCS =與最小值12。 2tan()tan 3AB k =-=-=-故 曲線圓程為23120x y +-=。道明：此題已經知曲線上的面坐標，供其圓程，正在于供出其歪率，即tan 。果此3角頭腦由此而死，

11、換元也逆理成章。例7 正在橢圓2244x y x +=上供面(,)P x y 使22d x y =-與最小。 解：設(22cos ,sin ),P +則 22d x y =-22(22cos )sin=+-25cos 8cos 3=+2415cos 55?=+- ?當4cos 5=-時，面P 坐標為23(,)55或者23(,)55-時，min 15d =-。 當cos 1=時，面P 坐標為(4,0)時，max 16d =。道明：此題若曲接供解隱患上死硬，并且很繁，遐想橢圓的參數圓程，使用3角函數性子去解便復雜了很多。例8。已經知面P 正在圓A ：221(2)4x y +-=上活動，Q 面正在橢

12、圓2244x y +=上活動，供 PQ 的最年夜值及此時P 、Q 面的坐標。解：正在橢圓就任與一面記為Q ，毗連QA （A 為圓心）并延伸交圓于P ，正在圓A 上與同于面P 的任一面P ，易知11PQ PA AQ PA AQ PQ =+=+ 因而成績轉化為供定面(0,2)A 到橢圓上動面Q 的最年夜值成績，設(2cos ,sin )Q 則)0,2，2224cos (sin 2)AQ =+-23s i n 4s i n 8=-+ 22283(s i n )33=-+當2sin 3=-時，1326PQ =最年夜。此時，cos 3=，Q 面的坐標為（2)3-。 上面供此時P 面的坐標 AQ k =曲

13、線AQ 圓程為2,y x -=取已經知圓A 圓程聯坐易供出P 面的坐標為(。 道明：此題同例8同樣，使用參數圓程躲避了年夜量龐大運算。 43角換元法正在供函數最值中的使用例10供函數y =的值域。解：所給函數可化為2y x +令 2210sin (0)2x +=，則 y )?=+ 個中1cos 2?=， 以是6?=， 果此1sin sin()12?=+，y 。道明：此標題有兩個根式，仄圓往根號需兩次，很繁，而接納換元法往根號使患上標題變患上復雜易做。例11已經知0,0,1a b a b +=，供(,)f a b = 解：設22112sin ,2cos ,(0,)222a b +=+=，則 (,

14、)f a b = )4=+ 02s i n ()124道明：標題中1a b +=取往根號表示了3角換元法以及使用22sin cos1+=去解題。 例12供函數1()3f x x =-+)4,+上的最小值。 解：令2sec ()32x =，則()2tan 3sec f x =-1sin 32cos -=此時()f x 的最小值即回結為供1sin 3cos -正在 ,32?上的最小值，易知 cos 正在此區間上為加函數，而sin 為刪函數。故正在3=時，1sin 3cos -23。 min 4()3f x =。道明：往根號接納3角換元。 例13供函數()f x =正在)1,+上的最年夜值。 解：令

15、1tan ,(arctan 2)2x +=，則()f x =2221tan 1tan =+= 4arctan 242f x =道明：此題一樣式為往根號而換元，但正在標題的處置中則隱示了對于3角學問的天真使用，沒有唯一全能公式，并且用到2倍角公式，3角函數有界性等學問，果此需子細不雅察而后用代換。例14設0,0x y 的最年夜值。解： 222+= sin cos ,(0)2=以是sin cos =+sin()4=+當4=時，等號建立，此時（即x y =）有max = 道明：此題捉住標題布局的內涵特征，機關曲角3角形，設元朝換。經由過程下面的例題能夠瞧出，3角換元法的利用是有必定局限的，它只合用于具備某些特征的款式