1、線性代數,主講,第一章 行列式,內容提要 1 二階與三階行列式 2 n 階行列式的定義 3 行列式的性質 4 行列式按行（列）展開 5 克萊姆法則,行列式的概念,行列式的性質及計算,線性方程組的求解,行列式是線性代數的一種工具！ 學習行列式主要就是要能計算行列式的值,6 典型例題,1 二階與三階行列式,我們從最簡單的二元線性方程組出發，探 求其求解公式，并設法化簡此公式,一、二元線性方程組與二階行列式,二元線性方程組,由消元法，得,當 時，該方程組有唯一解,其求解公式為,二元線性方程組,我們引進新的符號來表示“四個數分成兩對相乘再相減,記號,數表,表達式 稱為由該 數表所確定的二階行列式，即,

2、其中， 稱為元素,i 為行標，表明元素位于第i 行； j 為列標，表明元素位于第j 列,二階行列式的計算,主對角線,副對角線,即：主對角線上兩元素之積次對角線上兩元素之積,對角線法則,二元線性方程組,若令,方程組的系數行列式,則上述二元線性方程組的解可表示為,二、三階行列式,定義1.1 設有9個數排成3行3列的數表,引進記號,稱為三階行列式,主對角線,次對角線,三階行列式的計算,對角線法則,注意：對角線法則只適用于二階與三階行列式,實線上的三個元素的乘積冠正號， 虛線上的三個元素的乘積冠負號,例2 計算行列式,解,按對角線法則，有,方程左端,解,由 得,例3 求解方程,2 n 階行列式的定義,

3、從觀察二階、三階行列式的特征入手，引出n階行列式的定義,問題 把 n 個不同的元素排成一列，共有多少種不同的 排法,定義 把 n 個不同的元素排成一列，叫做這 n 個元素的全排列. n 個不同元素的所有排列的總個數，通常用Pn 表示,顯然,即n 個不同的元素一共有n! 種不同的排法,一、全排列及其逆序數,所有6種不同的排法中，只有一種排法（123）中的數字是按從小到大的自然順序排列的，而其他排列中都有大的數排在小的數之前. 因此大部分的排列都不是“順序”，而是“逆序,3個不同的元素一共有3! =6種不同的排法,123，132，213，231，312，321,對于n 個不同的元素，可規定各元素之

4、間的標準次序. n 個不同的自然數，規定從小到大為標準次序,定義 當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時， 就稱這兩個元素組成一個逆序. 排列中所有逆序的 總數稱為此排列的逆序數,排列 的逆序數通常記為,奇排列：逆序數為奇數的排列,偶排列：逆序數為偶數的排列,例,排列 32514,計算排列的逆序數的方法,設 是 1, 2, , n 這n 個自然數的任一排列. 先看有多少個比 大的數排在 前面，記為 ； 再看有多少個比 大的數排在 前面，記為 ; 最后看有多少個比 大的數排在 前面，記為,解,例1,計算,二、對換,定義,在排列中，將任意兩個元素對調，其余的元素不動，這種作出新排列的手續叫做對換,

5、將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換,定理2.1一個排列中的任意兩個元素對換，改變奇偶性,對于對換這個簡單的概念，最重要的只需要明確對換的作用,三、n階行列式的定義,規律： 三階行列式共有6項，即3!項 每一項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積 每一項的符號是：把每一項寫成 ， 是1、2、3的某個排列，當 是偶排列時，對應的項取正號；當 是奇排列時，對應的項取負號,所以，三階行列式可以寫成,其中 表示對1、2、3的所有排列求和,二階行列式有類似規律.下面將行列式推廣到一般的情形,n 階行列式共有 n! 項 每一項都是位于不同行不同列的 n 個元素的乘積 每一項的符號：當這一項中行標是按自然序排列

6、，如果這一項的列標是偶排列時，取正號；列標是奇排列時，取負號,簡記作 ， 其中 為行列式D的(i, j)元,定義2.1 n階行列式,練習1,寫出四階行列式中含有因子 的項,解,和,練習2：試判斷 和,是否都是六階行列式中的項,是六階行列式中的項,不是六階行列式中的項,解,1) 對角行列式,2,例2,計算行列式,3) 上三角形行列式 （主對角線下側元素都為0,4) 下三角形行列式 （主對角線上側元素都為0,例3 用行列式的定義計算,解,定理2.2 n 階行列式也可定義為,定理2.3 n 階行列式也可定義為,三、n階行列式定義的其他形式,思考題,已知 ，求 的系數,故 的系數為1,解,含 的項有兩

7、項，即,對應于,3 行列式的性質,提供了計算行列式的一種方法：利用行列式的性質恒等變形化為三角形行列式,一、行列式的性質,行列式 稱為行列式 的轉置行列式,若記 ，則,記,性質1 行列式與它的轉置行列式相等,即,性質1 行列式與它的轉置行列式相等,證明,根據行列式的定義，有,若記 ，則,行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立,性質2 交換行列式的兩行（列）,行列式變號,驗證,于是,推論1 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零,證明,互換相同的兩行，有 ，所以,備注：交換第 行（列）和第 行（列），記作,性質3 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以

8、提到行列式符號的外面,驗證,我們以三階行列式為例. 記,根據三階行列式的對角線法則，有,備注：第 行（列）提出公因子 ，記作,推論2 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個倍數 ，等于用數 乘以此行列式,備注：第 行（列）乘以 ，記作,驗證,我們以4階行列式為例,性質4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零,性質5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數之和, 例如,則,驗證,我們以三階行列式為例,性質6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數然后加到另一列(行)對應的元素上去，行列式不變,則,驗證,我們以三階行列式為例. 記,備注：以數 乘第 行（列）加到第 行（列）

9、上，記作,例,二、應用舉例,計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為 上三角形行列式，從而算得行列式的值,例2 計算 階行列式,解,將第 列都加到第一列得,例3 略,例4 設,證明,證明,對 作運算 ，把 化為下三角形行列式,設為,對 作運算 ，把 化為下三角形行列式,設為,對 D 的前 k 行作運算 ，再對后 n 列作運算 ， 把 D 化為下三角形行列式,故,行列式中行與列具有同等的地位, 凡是對行成立的性質對列也同樣成立,計算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值,三、小結,行列式的6個性質,4 行列式按行(列)展開,對角線法則只適用于

10、二階與三階行列式. 本節主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式,一、引言,結論 三階行列式可以用二階行列式表示,思考題 任意一個行列式是否都可以用較低階的行列式表示,例如,把 稱為元素 的代數余子式,在n 階行列式中，把元素 所在的第 行和第 列劃后，留下來的n1階行列式叫做元素 的余子式，記作,引理 一個n 階行列式，如果其中第 行所有元素除 外都為零，那么這行列式等于 與它的代數余子式的乘積，即,例如,二、行列式按行（列）展開法則,定理4.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即,同理可得,例1,證明 用數學歸納法,例3 證明范德蒙德(Vandermonde

11、)行列式,所以n=2時(1)式成立,假設(1)對于n1階范德蒙行列式成立，從第n行開始，后行 減去前行的 倍,按照第1列展開，并提出每列的公因子 ，就有,n1階范德蒙德行列式,推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即,分析 我們以3階行列式為例,把第1行的元素換成第2行的對應元素，則,定理4.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即,推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即,綜上所述，有,同理可得,例 計算行列式,解,例 設 , 的 元的余子式和 代數余子式依次記作 和 ，求,

12、分析 利用,及,解,5 克萊姆法則,二元線性方程組,若令,方程組的系數行列式,則上述二元線性方程組的解可表示為,一、克萊姆法則,如果線性方程組,的系數行列式不等于零，即,定理5.1,其中 是把系數行列式 中第 列的元素用方程組右端的常數項代替后所得到的 階行列式，即,那么線性方程組(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成,定理中包含著三個結論,方程組有解； 解是唯一的； 解可以由公式(2)給出,該定理所討論的只是系數行列式不為零、未知量的個數與方程的個數相等的方程組，至于一般情形，將在第四章中一并討論,例 解線性方程組,解,線性方程組,常數項全為零的線性方程組稱為齊次線性方程組，否則稱為非齊次線

13、性方程組,齊次線性方程組總是有解的，因為(0,0, 0)就是一個解，稱為零解. 因此，齊次線性方程組一定有零解，但不一定有非零解,齊次線性方程組的相關定理,定理5.2 如果齊次線性方程組的系數行列式 ，則齊次 線性方程組只有零解，沒有非零解,定理5.2 如果齊次線性方程組有非零解,則它的系數行列式必為零,備注 這兩個結論說明系數行列式等于零是齊次線性方程組有非零解的必要條件. 在第三章還將證明這個條件也是充分的. 即： 齊次線性方程組有非零解 系數行列式等于零,例2：問 取何值時，齊次方程組,有非零解,解,如果齊次方程組有非零解，則必有,所以 時齊次方程組有非零解,思考題,當線性方程組的系數行

14、列式為零時，能否用克拉默法則解方程組？為什么？此時方程組的解為何,答：當線性方程組的系數行列式為零時，不能用克拉默法 則解方程組，因為此時方程組的解為無解或有無窮多解,1. 用克拉默法則解線性方程組的兩個條件,1)方程個數等于未知量個數,2)系數行列式不等于零,2. 克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解 和已知的系數以及常數項之間的關系它主要適用于 理論推導,三、小結,本章說明與要求: 行列式的理論是人們從解線性方程組的需要中建立和發展起來的，它在線性代數以及其他數學分支上都有著廣泛的應用在本章里我們主要討論下面幾個問題： (1) 行列式的定義； (2) 行列式的基本性質及計算方法； (3) 利用行列式求解線性方程組(克萊姆法則) 本章的重點是行列式的計算，要求在理解n階行列式的概念，掌握行列式性質的基礎上，熟練正確地計算三階、