第十一節函數模型及其應用1了解指數函數、對數函數以及冪函數的增長特征，知道直線上升、指數增長、對數增長等不同函數類型增長的含義2了解函數模型如指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等在社會生活中普遍使用的函數模型的廣泛應用知識梳理1幾類函數模型及其增長差異1幾類函數模型函數模型函數解析式一次函數模型FXAXBA，B為常數，A0二次函數模型FXAX2BXCA，B，C為常數，A0指數函數模型FXBAXCA，B，C為常數，A0且A1，B0對數函數模型FXBLOGAXCA，B，C為常數，A0且A1，B0冪函數模型FXAXNBA，B為常數，A02三種增長型函數之間增長速度的比較YAXA1YLOGAXA1YXNN0在0，上的單調性單調_函數單調_函數單調_函數圖象的變化隨X值增大，圖象與_軸接近平行隨X值增大，圖象與X軸接近_隨N值變化而不同2解函數應用問題的步驟1審題弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型；2建模將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；3求模求解數學模型，得出數學結論；4還原將數學問題還原為實際問題以上過程用框圖表示如下12遞增遞增遞增或遞減Y平行基礎自測1FXX2，GX2X，HXLOG2X，當X4，時，對三個函數的增長速度進行比較，下列選項中正確的是AFXGXHXBGXFXHXCGXHXFXDFXHXGX解析根據三種函數模型的增長速度可知，選項B正確答案B2在一次數學試驗中，運用圖形計算器采集到如下一組數據X20100102030Y0240511202398802則X，Y的函數關系與下列哪類函數最接近其中A，B為待定系數AYABXBYABXCYAX2BDYABX解析由表格數據逐個驗證知，模擬函數為YABX故選B答案B3某工廠生產某種產品固定成本為2000萬元，并且每生產一單位產品，成本增加10萬元又知總收入K是單位產品數Q的函數，KQ40QQ2，則總利潤LQ的最大值120是_萬元解析LQ40QQ2200010QQ30022500LQMAX2500120120答案25004某種動物繁殖數量Y只與時間X年的關系為YALOG2X1，設這種動物第1年有100只，到第7年它們的繁殖數量為_只解析當X1，Y100時，由YALOG2X1得A100，所以Y100LOG2X1，當X7時，Y300答案3001提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度V單位千米/小時是車流密度X單位輛/千米的函數，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明當20X200時，車流速度V是車流密度X的一次函數1當0X200時，求函數VX的表達式2當車流密度X為多大時，車流量單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位輛/小時FXXVX可以達到最大并求出最大值精確到1輛/小時解析1由題意，當0X20時，VX60；當20X200時，設VXAXB，再由已知得ERROR解得ERROR故函數VX的表達式為VXERROR2依題意并由1可得FXERROR當0X20時，FX為增函數，故當X20時，其最大值為60201200；當20X200時，FXX200X2，當且僅當X200X，1313X200X2100003即X100時，等號成立所以，當X100時，FX在區間20,200上取得最大值100003綜上所述，當X100時，FX在區間0,200上取得最大值3333，即當車流密100003度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時2請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60CM的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F在AB上是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AEFBXCM1若廣告商要求包裝盒的側面積S單位CM2最大，試問X應取何值2若廠商要求包裝盒的容積V單位CM3最大，試問X應取何值并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值解析1根據題意有S6024X2602X2240X8X28X1521800010，所以315X5832，解得XX千米3當行程為3千米時，平均每千米為元，比較三種計費方程知，當行程為10千米113時，費用最省，即行程10千米時下車，重新上車計費，故當行程為28千米時，兩次分別行程10千米時下車，重新上車計費，其費用為2X721X521729元2X徐州調研據環保部門測定，某處的污染指數與附近污染源的強度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例系數為KK0現已知相距18KM的A，B兩家化工廠污染源的污染強度分別為A，B，它們連線上任意一點C處的污染指數Y等于兩化工廠對該處的污染指數之和設ACXKM1試將Y表示為X的函數；2若A1，且當X6時，Y取得最小值，試求B的值解析1設點C處受A污染源污染程度為，點C處受B污染源污染程度為，KAX2KB18X2其中K為比例系數，且K0從而點C處受污染程度為YKAX2KB18X22因為A1，所以Y，YK，令Y0，得X，又此時KX2KB18X22X32B18X31813BX6，解得B8，經驗證符合題意所以，污染源B的污染強度B的值為8第十三節導數在研究函數中的應用一1了解函數單調性和導數的關系；能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間，對多項式函數一般不超過三次2了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值，對多項式函數一般不超過三次；會求閉區間上函數的最大值、最小值，對多項式函數一般不超過三次知識梳理一、函數的導數與函數的單調性的關系1函數單調性的充分條件設函數YFX在某個區間內有導數，如果在這個區間內Y0，那么函數YFX在這個區間內為_；如果在這個區間內Y0，則FX在相應區間內為增函數；若FX1時，FX0，FXXEX為增函數，所以X1為FX的極小值點故選D答案D2X北京卷已知函數FXX2XSINXCOSX1若曲線YFX在點A，FA處與直線YB相切，求A與B的值；2若曲線YFX與直線YB有兩個不同交點，求B的取值范圍解析1由FXX2XSINXCOSX，得FXX2COSX，因為YFX在點A，FA處與直線YB相切所以FAA2COSA0且BFA，則A0，BF012令FX0，得X0所以當X0時，FX0，FX在0，遞增當X1時曲線YFX與直線YB有且僅有兩個不同交點所以B的取值范圍是1，1已知函數FXERROR1判斷函數FX的奇偶性；2求FX的單調區間；3若關于X的方程FXK恰有三個不同的根，求實數K的取值范圍解析1當X0時，X0，FXXLNX，FXXLNX，FXFX，FX是奇函數2當X0時，FXXLNX，FXLNXXLNX1，1X令FX0，得X，1E當X時，FX是增函數，1E，又FX是奇函數，當X時，FX是減函數，1E，0X時，FX是增函數，1EFX的單調遞減區間為，單調遞增區間為，1E，00，1E，1E1E，3考查FX的圖象變化，由2知，當X時，FX由0遞減到F，0，1E1E1E當X時，FX由F遞增到，1E，1E當X時，FX由遞增到F，1E1E1E當X時，FX由F遞減到0，1E，01E方程FXK恰有三個不同的根，FX的圖象與YK的圖象應有3個不同的交點，0X時，FX取得極小值，又2222F0，且X時，FX0在X時取得最小值所以當X時，函數有最2222小值答案24X南寧聯考已知函數FXX33AXA在0,1內有最小值，則A的取值范圍是_解析FX3X23A3X2A，顯然A0，FX3XX，由已知條件AA01，解得0A1A答案0,11XX卷設A0，B0，A若2A2A2B3B，則ABB若2A2A2B3B，則ABD若2A2A2B3B，則A2B2B構造函數FX2X2X，則FX2XLN220恒成立，故有函數FX2X2X在0，上單調遞增，即AB成立其余選項用同樣方法排除故選A答案A2XX卷設函數FXX1EXKX2其中KR1當K1時，求函數FX的單調區間；2當K時，求函數FX在0，K上的最大值M12，1解析1當K1時，FXX1EXX2，FXEXX1EX2XXEX2XXEX2，令FX0，得X10，X2LN2，當X變化時，FX，FX的變化如下表X，000，LN2LN2LN2，FX00FX極大值極小值上表可知，函數FX的遞減區間為0，LN2，遞增區間為，0，LN2，2FXEXX1EX2KXXEX2KXXEX2K，令FX0，得X10，X2LN2K，令GKLN2KK，則GK10，所以GK在上遞增，1K1KK12，1所以GKLN21LN2LNE0，從而LN2KK，所以LN2K0，K所以當X0，LN2K時，FX0；當XLN2K，時，FX0；所以MMAXF0，FKMAX1，K1EKK3；令HKK1EKK31，則HKKEK3K令KEK3K，則KEK3E30，所以K在上遞減，而1E30，12，112E32所以存在X0使得X00，且當K時，K0，當KX0,1時，K12，112，X00，所以K在上單調遞增，在X0,1上單調遞減12，X0因為H0，H10，所以HK0在上恒成立，當且僅當K1時1212E7812，1取得“”綜上，函數FX在0，K上的最大值MK1EKK31XX金山一中等三校考前測試函數Y在區間0,1上XLNXA是減函數B是增函數C有極小值D有極大值解析FX，X0,1和X1，E時，FX0在區間X0,1，FX是減函數，XE時有極小值FEE故選A答案A2X東莞二模已知函數FXAX22XLNX1若FX無極值點，但其導函數FX有零點，求A的值；2若FX有兩個極值點，求A的取值范圍，并證明FX的極小值小于32解析1首先，X0時，FX2AX2，1X2AX22X1XFX有零點而FX無極值點，表明該零點左右FX同號，故A0，且2AX22X10的0由此可得A122由題意，2AX22X10有兩個不同的正根，故0，A0解得0A；12設2AX22X10的兩根為X1，