南京市20202020學年度第一學期期末調研測試卷高二數學（理科） 2020.01注意事項：1本試卷共4頁，包括填空題（第1題第14題）、解答題（第15題第20題）兩部分本試卷滿分為100分，考試時間為100分鐘2答題前，請務必將自己的姓名、學校、班級、學號寫在答卷紙的密封線內試題的答案寫在答卷紙上對應題目的答案空格內考試結束后，交回答卷紙參考公式：V錐體Sh (S表示底面面積，h表示錐體的高)一、填空題：本大題共14小題，每小題3分，共42分請把答案填寫在答卷紙相應位置上1復數 (i為虛數單位)在復平面內對應的點位于第 象限2已知p：xR，x2x1，則p為 3在平面直角坐標系中，準線方程為y4的拋物線標準的方程為 4若“x1”是“xa”的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是 5若圓x2y24與圓x2(y3)2r2 (r0)外切，則實數r的值為 6若復數z滿足(zi)(2i)117i(i為虛數單位)，則|z| 7函數y2sinxx，x0，的單調遞減區間為 8直線ykx3與圓(x3)2(y2)24相交于M，N兩點，若MN2，則實數k的值是 9 已知動點M到A(4，0)的距離等于它到直線x1的距離的2倍，則動點M的軌跡方程為 10觀察下列等式：()，()，()，()，可推測當n3，nN*時， 11已知橢圓1與雙曲線y21有共同焦點F1，F2，點P是兩曲線的一個交點，則PF1PF2為 12在直角三角形ABC中，C為直角，兩直角邊長分別為a，b，求其外接圓半徑時，可采取如下方法：將三角形ABC補成以其兩直角邊為鄰邊的矩形，則矩形的對角線為三角形外接圓的直徑，可得三角形外接圓半徑為；按此方法，在三棱錐SABC中，三條側棱兩兩互相垂直，且長度分別為a，b，c，通過類比可得三棱錐SABC外接球的半徑為 13已知曲線yx2 (x0)在點P處切線恰好與圓C：x2(y1)21相切，則點P的坐標為 14若函數f(x)在定義域D內某區間I上是增函數，且在I上是減函數，則稱yf(x)在I 上是“弱增函數”已知函數h(x)x2(b1)xb在(0，1上是“弱增函數”，則實數b的值為 二、解答題：本大題共6小題，共計58分請在答題紙指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本題滿分8分）已知命題p：任意xR，x21a，命題q：方程1表示雙曲線（1）若命題p為真命題，求實數a的取值范圍；（2）若 “p且q”為真命題，求實數a的取值范圍16（本題滿分8分）已知以點P為圓心的圓經過點A(1，4)，B(3，6)，線段AB的垂直平分線與圓P交于點C，D，且CD4（1）求直線CD的方程；（2）求圓P的方程17（本題滿分10分）如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD平面ABCD，SDAD3，E為線段SD上的一點ABCDES（第17題）（1）求證：ACBE；（2）若DE1，求直線SC與平面ACE所成角的正弦值18（本題滿分10分）如圖，在邊長為2 （單位：m）的正方形鐵皮的四周切去四個全等的等腰三角形，再把它的四個角沿著虛線折起，做成一個正四棱錐的模型設切去的等腰三角形的高為x m（1）求正四棱錐的體積V(x)；（2）當x為何值時，正四棱錐的體積V(x)取得最大值？xx（第18題）h19（本題滿分10分）如圖，已知橢圓1(ab0)的右焦點為F（c，0），下頂點為A(0，b)，直線AF與橢圓的右準線交于點B，與橢圓的另一個交點為點C，若F恰好為線段AB的中點FABCxy（第19題）O（1）求橢圓的離心率；（2）若FC，求橢圓的方程20（本題滿分12分）設函數f(x)lnxax，aR（1）當x1時，函數f(x)取得極值，求a的值；（2）當a0時，求函數f(x)在區間1，2的最大值；（3）當a1時，關于x的方程2mf(x)x2（m0）有唯一實數解，求實數m的值20202020學年度第一學期期末調研測試卷高二數學（理）參考答案及評分標準 2020.01說明：1本解答給出的解法供參考如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則2對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后續部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分3解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數4只給整數分數，填空題不給中間分數一、填空題（本大題共14小題，每小題3分，共42分）1四 2$xR，x2x1 3x216y 4（，1）51 65 7(，)開閉區間均可 80或93x2y212 10() 115 1213(，6) 141說明：填空題的嚴格按照評分標準，沒有中間分，第8題少解或有錯解不得分，第9題可以不化為答案的形式，但僅列式不化簡不給分二、解答題（本大題共6小題，共58分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15（本題滿分8分）解（1）記f(x)x21，xR，則f(x)的最小值為1， 2分因為命題p為真命題，所以af(x)min1，即a的取值范圍為(，1 4分（2）因為q為真命題，所以a20，解得a2 6分因為“p且q”為真命題，所以即a的取值范圍為(2，18分說明：第(1)問，得出命題p為真命題的等價條件a1，給4分，沒過程不扣分，第(2)問分兩步給，得到a2給2分，得到x(2，1給2分，少一步扣2分16（本題滿分8分）解 （1）因為直線AB的斜率k1，AB中點坐標為M(2，5)， 2分所以直線CD方程為y5(x2)，即xy70 4分（2）設圓心P(a，b)，則由P在CD上得，ab70 又直徑CD4，所以PA2，即(a1)2(b4)24 6分由解得或所以圓心P(1，6)或P(3，4)所以圓P的方程為(x1)2(y6)24或(x3)2(y4)24 10分說明：本題滿分應為8分，最后10分改為8分，第(2)問若少一解扣2分改為扣1分，其他按評分標準給分，17（本題滿分10分）解 （1）因為四棱錐SABCD的底面為正方形，SD平面ABCD，所以SD，DC，DA兩兩互相垂直，xzABCDESy以，為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則各點的坐標為D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，S(0，0，3)，2分設E(0，0，t) (0t3)，則(3，3，0)，(3，3，t)所以3(3)3(3)0t0，所以，即ACBE； 5分（2）因為DE1，所以t1，所以(0，3，3)，(3，3，0)，(3，0，1)設平面ACE的法向量n(x，y，z)，直線SC與平面ACE所成角為，所以n0，n0，即3x3y0，3xz0，解得xy，z3x取x1，則n(1，1，3)， 8分所以n0131(3)36，|n|，|3，則sin|cos，n|所以直線SC與平面ACE所成角的正弦值為 10分說明：第(1)問：建系設坐標給2分，若沒有指出SD，DC，DA兩兩互相垂直，不扣分；寫對，的坐標各給1分；第(2)問：分兩步給分，求出法向量給3分，求出角的正弦給2分，若把它當成余弦扣1分18（本題滿分10分）ANO解 （1）設正四棱錐的底面中心為O，一側棱為AN則由于切去的是等腰三角形，所以AN，NO1x，2分在直角三角形AON中，AO，4分所以V(x)2(1x)2(1x)2，（0x1) 6分（不寫0x1扣1分）（2）V (x)(2x2)(x1)， 8分令V (x)0，得x1(舍去)，x當x(0，)時，V (x)0，所以V(x)為增函數；當x(，1)時，V (x)0，所以V(x)為減函數所以函數V(x)在x時取得極大值，此時為V(x)最大值答：當x為m時，正四棱錐的體積V(x)取得最大值 10分說明：按評分標準給分，不寫函數的定義域扣1分，沒有答扣1分19（本題滿分10分）解 （1）因為B在右準線上，且F恰好為線段AB的中點，所以2c， 2分即，所以橢圓的離心率e 4分（2）由(1)知ac，bc，所以直線AB的方程為yxc，設C(x0，x0c)，因為點C在橢圓上，所以1， 6分即x2(x0c)22c2，解得x00(舍去)，x0c所以C為(c，c)， 8分因為FC，由兩點距離公式可得(cc)2(c)2，解得c22，所以a2，b，所以此橢圓的方程為1 10分說明：第(1)問4分，第(2)問也可用下列方法：由幾何方法得出點C的坐標為(c，) 6分因為點C在橢圓上得1，得出c 8分所以a2，b，所以此橢圓的方程為1 10分20（本題滿分12分）（1）f(x)的定義域為（0，），所以f (x)a 2分因為當x1時，函數f(x)取得極值， 所以f (1)1a0，所以a1經檢驗，a1符合題意（不檢驗不扣分） 4分（2）f (x)a，x0令f (x)0得x因為x(0，)時，f (x)0，x(，)時，f (x)0，所以f(x)在(0，)遞增，在(，)遞減， 5分當01，即a1時，f(x)在(1，2)上遞減，所以x1時，f(x)取最大值f(1)a；當12，即a1時，f(x)在(1，)上遞增，在( ，2)上遞減，所以x時，f(x)取最大值f()lna1；當2，即0a時，f(x)在(1，2)上遞增，所以x2時，f(x)取最大值f(2)ln22a綜上，當0a時，f(x)最大值為ln22a；當a1時，f(x)最大值為lna1；當a1時，f(x)最大值為a 8分（每種情形1分）（3）因為方程2mf(x)x2有唯一實數解，所以x22mlnx2mx0有唯一實數解，設g(x)x22mlnx2mx，則g (x)，令g (x)0，x2mxm0因為m0，x0，所以x10（舍去），x2，當x(0，x2)時，g (x)0，g(x)在（0，x2）上單調遞減，當x(x2，)時，g (x)0，g(x)在（x2，）單調遞增，當xx2時，g(x)取最小值g(x2) 10分則即所以2mlnx2m