高等數學課程教學大綱AdvancedMathematics A 課程代碼：03100A01, 03100A02 課程性質：公共基礎理論課(必修)適用專業：各工科專業（創新班） 總學分數：11 總學時數：176 修訂年月：2015年12月編寫年月：2013年7月 執 筆：許君臣、王振友、李鋒課程簡介(中文)：高等數學是一門工科各專業必修的公共基礎理論課。主要講授分析學基礎、一元函數微分學、一元函數積分學、常微分方程、空間解析與向量代數、多元函數微分學、多元函數積分學、無窮級數等方面內容。為后序課程的學習奠定必要的數學基礎。課程簡介(英文)：Advanced mathematics is a compulsory public basic theory course for all majors of science and engineering. It mainly concerns basic analysis, calculus of unary functions, ordinary differential equations, spatial analysis and vector algebra, calculus of multivariate functions, infinite series, etc. Also it lays the necessary mathematical foundation for the study of subsequent courses.一、課程目的通過對本課程的學習，要使學生掌握相應的基本概念、基本理論和基本運算技能，逐步培養學生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力，注意培養學生具有比較熟練的運算能力和綜合運用所學知識去分析和解決問題的能力，為后序課程的學習奠定必要的數學基礎，提供了必備的數學工具。二、課程教學內容及學時分配（總176學時 理論176學時）(一) 教學內容1函數、極限、連續函數：映射及函數的概念，函數的表示法，函數的特性，復合函數、反函數、分段函數和隱函數的概念，基本初等函數的性質及圖形。初等函數。簡單應用問題函數關系的建立。極限：數列極限的定義，收斂數列的性質；函數極限的定義，函數的左右極限，函數極限的性質，無窮小與無窮大的概念及其關系；極限的四則運算法則，兩個極限存在準則（夾逼準則和單調有界準則），兩個重要極限，無窮小的比較。函數的連續性：函數連續的定義，間斷點及其分類，初等函數的連續性，閉區間上連續函數的性質（有界性、最值性、零點定理和介值定理）。2一元函數微分學導數與微分：導數的定義，導數的幾何意義及物理意義，函數的可導性與連續性的關系；平面曲線的切線和法線，導數的四則運算法則，復合函數求導法則，基本初等函數的導數公式；高階導數的概念，初等函數的一、二階導數的求法，隱函數和參數式所確定的函數的一、二階導數的求法；微分的定義，微分的運算法則（含微分形式的不變性），微分的應用。中值定理與導數的應用：費馬定理，羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式；洛必達法則；用導數判定函數的單調性，函數極值概念及其求法，簡單的最大值最小值應用問題，用導數判定函數曲線的凹凸性與拐點，漸近線，函數作圖；弧微分，曲率的定義及其計算，曲率圓及曲率半徑。3一元函數積分學不定積分：原函數與不定積分的定義，不定積分的性質，基本積分公式，換元積分法，分部積分法，有理函數、三角函數有理式及簡單無理函數的積分。定積分及其應用：定積分的定義及其性質，積分上限的函數及其導數，牛頓萊布尼茨公式，定積分的換元法和分部積分法；廣義積分的概念；定積分在幾何學中的應用（面積、旋轉體體積、平行截面面積為已知的立體的體積、平面曲線的弧長）；定積分在物理中的應用（變力沿直線作功、水壓力、引力）。4常微分方程微分方程的基本概念：微分方程的定義、階、解、通解、初始條件、特解、初值問題、積分曲線。一階微分方程：可分離變量微分方程，齊次方程，一階線性微分方程，伯努利方程，。可降階的高階微分方程： 型，型，型。高階線性微分方程：高階線性微分方程解的性質及解的結構定理，二階常系數齊次線性微分方程，二階常系數非齊次線性微分方程（，）。用微分方程解簡單的幾何及物理問題。5. 向量代數與空間解析幾何向量代數：空間直角坐標系，向量概念，向量的線性運算，向量的坐標，向量的數量積，向量的向量積，兩向量的夾角，兩向量平行與垂直的條件。單位向量，方向數與方向余弦平面與直線：平面的方程（點法式、一般式、截距式），直線的方程（參數式、對稱式、一般式），夾角（平面與平面、平面與直線、直線與直線），平行與垂直的條件（平面與平面、平面與直線、直線與直線）。點到平面和點到直線的距離。曲面與空間曲線：曲面方程的概念，球面方程，以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面，母線平行于坐標軸的柱面方程；空間曲線的參數方程和一般方程，空間曲線與曲面在坐標面上的投影。常用的二次曲面的方程及其圖形。6 多元函數微分學多元函數：多元函數的概念，二元函數的幾何表示，二元函數的極限與連續性，有界閉區域上連續函數的性質。偏導數與全微分：多元函數的偏導數的定義及其計算法，高階偏導數的概念及復合函數二階偏導數的求法；全微分的定義，全微分存在的必要條件和充分條件，多元復合函數的求偏導法則，隱函數的求偏導公式；方向導數和梯度。偏導數的應用：空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線，多元函數的極值及其求法，最大值、最小值問題及其簡單應用，條件極值，拉格朗日乘數法。7多元函數積分學二重積分：二重積分的概念、性質及計算（直角坐標、極坐標）。三重積分：三重積分的概念、性質與計算（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）。重積分的應用：在幾何中的應用（曲面面積、立體體積）；物理中的應用（質心、轉動慣量、引力）。曲線積分：兩類曲線積分的定義與性質，兩類曲線積分的計算法；兩類曲線積分的聯系，曲線積分的應用；格林公式，平面曲線積分與路徑無關的條件；二元函數的全微分求積。曲面積分：兩類曲面積分的定義與性質，兩類曲面積分的計算法；兩類曲面積分的關系；高斯公式、通量與散度；斯托克斯公式、環流量與旋度。曲線及曲面積分的應用。8無窮級數常數項級數：無窮級數及其收斂與發散的定義，收斂級數的和的概念、無窮級數的基本性質，級數收斂的必要條件，幾何級數和級數的斂散性；正項級數的比較、比值及根值審斂法，交錯級數的萊布尼茲定理，絕對收斂與條件收斂的概念及其關系。冪級數：函數項級數的收斂與和函數的概念，冪級數的概念，阿貝爾定理，較簡單的冪級數的收斂域的求法，冪級數在其收斂區間內的基本性質，求冪級數的和函數；函數展開成冪級數。傅里葉級數：三角級數概念，狄利克雷充分條件，函數展開為傅里葉級數，奇偶函數的傅里葉級數，函數展開為正弦或余弦級數，定義在，區間上函數的傅里葉級數；一般周期函數的傅里葉級數。(二) 學時分配本課程的教學時數為176學時，分上、下兩學期，各學期的教學內容及課時分配如下表：（課內外學時比例均為1:2）序號課程內容學時數分配小計總學時數理論學時實訓學時習題課上機學時高等數學A（1）1函數、極限、連續16142162導數與微分14104143中值定理與導數應用16142164不定積分1082105定積分及其應用16124166微分方程1614216合 計88721688高等數學A（2）1向量代數與空間解析16142162多元函數微分學20164203重積分16124164曲線積分與曲面積分20164205無窮級數1614216合 計88721688總 、課程教學的基本要求高等數學A(1)1、函數、極限、連續、（1）理解函數的概念，了解函數的性質（有界性、單調性、奇偶性、周期性）。（2）理解復合函數和反函數的概念。（3）會建立簡單實際問題中的函數關系式。（4）理解極限的概念，了解極限的定義，掌握極限四則運算法則及復合函數極限運算法則。（5）了解極限的性質，掌握函數與子序列極限之間的關系。（6）理解極限存在的夾逼準則，會用兩個重要極限求極限。（7）理解無窮小、無窮大、以及無窮小的階的概念及性質。會用等價無窮小求極限。（8）理解函數連續的概念，了解間斷點的概念，并會判別間斷點的類型。（9）了解初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質(最大最小值定理、零點定理、介值定理)。2、一元函數微分學（1）理解導數和微分的概念、導數的幾何意義及物理意義，理解函數的可導性與連續性之間的關系。會用導數表達一些實際問題量的變化率。（2）熟練掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法，掌握基本初等函數的導數公式，了解反函數的求導法則。 （3）了解高階導數的概念。掌握初等函數一階、二階導數的求法。（4）會求隱函數和參數式所確定的函數的一階、二階導數，會求一些簡單實際問題的相關變化率問題。（5）了解微分的四則運算法則和一階微分形式不變性。（6）理解羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。會應用中值定理證明簡單的等式或不等式。（7）會用洛必達(LHospital)法則求未定式的極限。（8）理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求極值的方法。會求解較簡單的最大值和最小值的應用問題。（9）會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求拐點，會描繪函數的圖形(包括水平和鉛直漸進線)。（10）了解有向弧與弧微分的概念。了解曲率和曲率半徑的概念并會計算曲率和曲率半徑。（11）了解求方程近似解的二分法和切線法的思想。3、一元函數積分學（1）理解原函數與不定積分的概念及性質，掌握不定積分的基本公式、換元法和分步積分法。會求簡單的有理函數及三角函數有理式的積分。（2）理解定積分的概念及性質，了解函數可積的充分條件。（3）理解變上限的積分作為其上限的函數及其求導定理，掌握牛頓(Newton)萊布尼茲(Leibniz)公式。（4）掌握定積分的換元法和分步積分法。（5）了解兩類廣義積分的概念及廣義積分的換元法和分步積分法。（6）掌握用定積分表達一些幾何量與物理量(如面積、體積、弧長、功、引力等)的方法。（7）了解定積分的近似計算法(矩形法、梯形法、拋物線法)。4、常微分方程（1）了解微分方程、解、階、通解、初始條件和特解等概念。（2）掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法。會解齊次方程和伯努利(Bernoulli)方程，了解用變量代換求解方程的思想。（3）會用降階法解下列方程：，和。（4）理解線性微分方程解的結構，了解常數變易法。（5）掌握二階常系數齊次線性方程的解法，會求自由項形如和的常系數非齊次線性方程的特解。（6）會用微分方程解一些簡單的幾何問題和物理問題。高等數學A(2)5、向量代數與空間解析幾何（1）理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示，掌握向量的運算(線性運算、數量積、向量積、混合積)，掌握兩個向量垂直、平行的條件。（2）掌握單位向量、方向余弦、向量的坐標表達式以及用坐標表達式進行向量運算的方法。（3）掌握平面的方程和直線的方程及其求法，會利用平面、直線的相互關系解決有關問題。（4）理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，了解以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。（5）理解解空間曲線的參數方程和一般方程，了解曲面的交線在坐標平面上的投影。6、多元函數微分學（1）理解多元函數的概念。（2）了解二元函數的極限與連續性的概念，以及有界閉區域上連續函數的性質。（3）理解偏導數和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解一階全微分形式的不變性。（4）了解方向導數與梯度的概念，掌握求方向導數與梯度的計算方法。（5）掌握復合函數一階偏導數的求法，會求復合函數的二階偏導數。（6）會求隱函數(包括由兩個方程組成的方程組確定的隱函數)的偏導數。（7）了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面與法線，并會求它們的方程。（8）理解多元函數極值與條件極值的概念，會求多元函數的極值。了解求條件極值的拉格朗日乘數法，會求解一些較簡單的最大值和最小值的應用問題。了解最小二乘法。（9）了解二元函數的泰勒公式。（10）了解向量函數與矢端曲線的概念，了解向量函數的導向量與微分的概念。7、多元函數積分學（1）理解二重積分、三重積分的概念及性質。（2）掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標)，會計算簡單的三重積分(直角坐標、柱面坐標、球面坐標)。了解重積分的換元法。（3）理解兩類曲線積分的概念、性質及相互間關系，掌握兩類曲線積分的計算方法。（4）掌握格林(Green)公式及平面曲線積分與路徑無關的條件。會解全微分方程，能觀察出最簡單的積分因子。（5）理解兩類曲面積分的概念、性質及相互間的關系，會計算兩類曲面積分。（6）掌握高斯公式，了解斯托克斯(Stokes)公式。（7）了解數量場、向量場及向量微分算子 的概念，了解散度、旋度的概念及其計算公式，了解通量與散度之間的關系以及環流量與旋度之間的關系。（8）會用重積分和曲線積分以及曲面積分求一些幾何量與物理量(如體積、曲面面積、弧長、質量、重心、轉動慣量、引力、功、通量等)。8、無窮級數（1）理解無窮級數收斂、發散以及和函數的概念，熟悉無窮級數基本性質