隨機變量的數(shù)學(xué)期望(均值),它體現(xiàn)了隨機變量取值的平均水平,是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征.,但是在很多場合,僅僅知道平均值是不夠的.,2隨機變量的方差,例如,某零件的真實長度為a,現(xiàn)在用甲、乙兩臺儀器各測量10次,并將測量結(jié)果X用坐標上的點表示如圖：,問:哪臺儀器的測量效果好一些？,因為乙儀器的測量結(jié)果更集中在均值附近.,為此需要引進另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機變量在其中心(即均值)附近取值的離散程度(或集中程度).這個數(shù)字特征就是:方差.,再如:考察某車床加工軸承的質(zhì)量時,若最關(guān)鍵的指標為長度,則不但要注意軸承的平均長度,同時還要考慮軸承長度與平均長度的偏離程度(即加工的精度);等等.,我們該用怎樣的量去度量這種偏離程度呢?,XE(X)?,EXE(X)?,E|XE(X)|?,EXE(X)2,一、方差(variance)的定義,隨機變量X的平方偏差XE(X)2的均值,或Var(X),叫做X的方差.,而,叫做X的標準差或均方差.,方差刻劃了隨機變量取值的離散程度:,若X的取值比較集中,則方差較小；,若X的取值比較分散,則方差較大.,可以算出:,兩人命中環(huán)數(shù)的平均水平相同,從中看不出兩人射擊技術(shù)的高低;,但,說明甲的命中環(huán)數(shù)比乙的更集中,即甲的射擊技術(shù)比乙的穩(wěn)定.,二.方差的簡化計算公式,即:方差等于平方的期望減期望的平方.,證明:,而,解:,由歸一性得,故,解得b=0,a=2,E(X)=2/3,或b=2,a=2,E(X)=1/3.,解:,三.常見分布的期望與方差,(3),則,(2),則,(1),則,(4),則,(5),則,四.方差的性質(zhì),(1)對任意常數(shù)k與c有:D(kX+c)=k2D(X).,(2)設(shè)X與Y相互獨立,則,進一步,若X1,Xn相互獨立,則對任意常數(shù)c1,cn有:,D(X+Y)=D(X)+D(Y),D(XY)=D(X)+D(Y).,D(c1X1+cnXn)=c12D(X1)+cn2D(Xn).,(3)D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)C,即PX=C=1.,解:,X表示n重伯努利試驗中“成功”的次數(shù),p為每次試驗成功的概率,則XB(n,p);,引入,1,若第i次試驗成功,0,若第i次試驗失敗.,i=1,2,n,則X1,X2,Xn相互獨立,且,而Xi的分布律為,故E(Xi)=p,E(Xi2)=p,D(Xi)=E(Xi2)E(Xi)2=pq,從而,解:,五.隨機變量的標準化,設(shè)X具有,為X的標準化隨機變量.,則叫,六.切比雪夫(Chebyshev)不等式,對X,若E(X),D(X)都存在,則對,或,(1)方差確實能衡量隨機變量取值的離散程度.,(2)該不等式能在X的分布未知的情況下對,的概率的下限作一估計,若記,則,等等.,一、協(xié)方差,隨機變量X和Y的協(xié)方差,前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差,對于多維隨機變量，反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中,最重要的就是協(xié)方差和相關(guān)系數(shù).,3協(xié)方差(Covariance)和相關(guān)系數(shù),1.定義:,(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X),(2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常數(shù),(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y),2.簡單性質(zhì):,3.協(xié)方差的簡化計算公式:,Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y),可見，若X與Y獨立,則Cov(X,Y)=0.,4.隨機變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系,D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y),二、相關(guān)系數(shù),1.定義:,設(shè)D(X)0,D(Y)0,稱,為隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù).,2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):,存在常數(shù)a,b使,即X和Y以概率1線性相關(guān).,可見相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的程度.,的值越接近于1,Y與X的線性相關(guān)程度越高;,的值越接近于0,Y與X的線性相關(guān)程度越弱;,注意:,若X與Y獨立,則Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0,但由X與Y不相關(guān),不一定能推出X與Y獨立.,而對下述情形,獨立與不相關(guān)等價:,若(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則,從而X與Y不相關(guān);,例:設(shè)X在(1/2,1/2)內(nèi)服從均勻分布,而Y=cosX,試考察X與Y的相關(guān)性及獨立性?,解:,而Y與X有嚴格的函數(shù)關(guān)系,因此,Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0,故X和Y不相關(guān).,即X和Y不獨立.,一、矩,為X的k階原點矩,可見:X的期望是X的1階原點矩;,在隨機變量的數(shù)字特征中,更一般的是矩.,4矩、協(xié)方差矩陣,為X的k階中心矩,為X和Y的k+l階混合原點矩,為X和Y的k+l階混合中心矩.,X的方差是X的2階中心矩;,X和Y的協(xié)方差是X和Y的2階混合中心矩.,二、協(xié)方差矩陣,對n維隨機變量(X1,X2,Xn),稱矩陣,為(X1,X2,Xn)的協(xié)方差矩陣.,因?qū)λ衖,j成立cij=cji,記,i,j=1,2,n,故CT=C,C為對稱矩陣.,引入(X1,X2,Xn)的協(xié)方差矩陣,可更好地處理多維隨機變量.,比如,我們可從二維正態(tài)隨機變量的概率密度推廣出n維正態(tài)隨機變量的概率密度:,設(shè)n維隨機變量(X1,X2,Xn)的概率密度為,則稱X服從n維正態(tài)分布.,f(x1,x2,xn),