單自由度振動系統,單自由度定義,只有一個自由度的振動系統，稱為單自由度振動系統，簡稱單自由度系統。自由度：指完整描述一個振動系統時間特性所需的最少的獨立坐標數，在理論力學中用廣義坐標數。,幾種單自由度系統的示例,2-1無阻尼自由振動,自由振動：系統在初始激勵下，或外加激勵消失后的一種振動形態。系統的無阻尼振動是對實際問題的理論抽象，是一種理想條件，實際的系統都有阻尼。如果現實世界沒有阻止運動能力的話，整個世界將處于無休止的振動中。,振動系統微分方程步驟,以系統的靜平衡位置為坐標原點，以水平向右為軸正向，建立如圖所示的坐標系設在某一瞬時t,質量沿坐標方向有一位移x，畫出質量此時的隔離體受力圖。,圖形,建立系統的微分方程,根據牛頓第二定律（Newtonsecondlaw）建立系統的微分方程。,方程化簡,對于無阻尼自由振動，我們有因此，原方程改寫為：,確定微分方程的初始條件,在t=0時，初始位移為，初始速度為則方程的初始條件為：,和,完整形式,單自由度無阻尼自由振動的運動微分方程為：,改寫,令，則上式可以寫為,求解系統微分方程,上節得到的為質量m的位移x隨時間t變化的二階、常系數、齊次常微分方程。根據微分方程的理論，可知該微分方程組的通解為：,積分常數的確定,這里的A，是任意常數，由微分方程的初始條件，即運動的初始條件確定對通解兩端求導,代入初始條件,當時，從而得到,三角公式推導,根據三角函數公式令：,幅值和相角的確定,由前面推導,初始條件和相角取值的關系,結論1,單自由度無阻尼自由振動為簡諧振動位移可以表示為時間的簡諧函數（正弦或余弦）,結論2響應滿足疊加原理,系統在初始位移單獨作用下的自由振動，此時，系統在初始速度單獨作用下的自由振動，此時，,系統總響應,振動系統總的響應=上述兩部分響應之和疊加性是線性系統的重要特征,數字特征,振幅，振動物體離開靜平衡位置的最大位移圓頻率振動周期，旋轉矢量轉動一周（），振動物體的位移值也就重復一次，振動周期：振動重復一次所需要的時間間隔振動頻率，單位時間內完成的振動的次數,固有特性,可見，上述三個量都由振動系統的參數確定，而與初始條件無關，是系統的固有特性，因而又稱作：固有圓頻率、固有周期和固有頻率系統的初始條件只決定振動的振幅和初相位,系統參數對振動特性的影響,振系的質量越大，彈簧越軟，則固有頻率越低，周期越長；質量越小，彈簧越硬，則固有頻率越高，周期越短，這個結論對復雜的振動系統也同樣的適用,分析彈簧懸掛物體的垂直振動,以振子的平衡位置為坐標原點，建立如圖所示的坐標系，彈簧的自有長度為，當物體從平衡位置離開時，彈簧的伸長為，則物體的隔離體受力如圖所示：,簡圖,微分方程和求解,可以寫出系統的微分方程由于所以，上式得化簡結果仍然是：,結果,因此，系統的固有頻率仍然是：由代入上式：得到：,結論,由彈簧的靜變形可以計算出系統的固有頻率在寫微分方程的時候，可以以物體的靜平衡位置為坐標原點，而不必考慮物體重力造成的彈簧靜變形,作業1,如圖所示單擺，擺線長為，求其微分方程和固有頻率,如圖所示的物理擺，懸掛點和質心的距離為S，對O點轉動慣量為J，求其微分方程和固有頻率,能量法原理,在阻尼可以略去不計的條件下，振動系統自由振動時的機械能（動能+勢能）保持常值。對上式兩端求導，可得,自由振動系統性質,對一個振動系統，如在動能最大時，取勢能為零，則在動能為零時，勢能取最大值。,常見物體的動能計算,質點或平動剛體定軸轉動的剛體平面運動的剛體,常見物體的勢能計算,拉伸彈簧扭轉彈簧剛體的重力勢能,K為抗扭彈簧系數,勢能參考點的選取,勢能是一個參考值，和其具體值的大小和參考點選取有關在使用時，要注意，勢能基準值的選取，應使振動系統在動能最大時，勢能為零。,例一,如圖的系統，使其偏轉角后放手，求系統的微分方程和固有頻率,例一解,選取圓盤的扭轉角為廣義坐標，箭頭方向為正向，平衡位置為轉角零點，建立如圖所示的廣義坐標系統的動能系統的勢能,由系統機械能守恒,得：由于是方程的平凡解，兩邊除，并令：方程化簡為：,例二（兼作業2）,系統如圖，桿和彈簧的質量不計，在靜平衡時水平，求其系統的微分方程和固有頻率（提示：取靜平衡位置為坐標原點，可不考慮重力勢能，當偏角很小時，彈簧的伸長，圓球的位移和速度可以表示為：）,能量法的優點,從上面的分析可以看出，用機械能守恒求解比較方便，而且比較規范，對照大家以前的學過的Lagrange方程，大家可以看出，實際就是無約束系統Lagrange方程在保守力場下的形式。,等值質量,在前面的討論中，都假定了彈性元件的質量遠遠小于振動系統的集中質量，因而可以簡化為一個集中質量。上文所討論的例子的彈簧也都是有一個螺旋或扭轉彈簧的例子。下面看幾個稍微復雜的例子，并說明等值質量的意義。,例三,如右圖，彈簧在靜平衡位置長度為，單位長度的質量為，求系統的固有頻率。,基本假設,假設系統的變形是線性的，即當彈簧下段的位移為的時候，在距離彈簧上端的截面振幅為，假定系統的速度分布也滿足線性要求（在端點處顯然成立）設質量塊的位移為，速度為，,彈簧的動能,則在距離上端點距離為，長度為的長度微元的動能為：則整個彈簧的動能：,總動能,質量塊的動能：總動能：,系統微分方程,系統的勢能：由：微分方程：固有頻率：,等值質量,稱為本系統彈性元件的等值質量,例四,如圖所示，懸臂梁的線密度為，端點處有集中質量，求系統的固有頻率。,桿剛度的確定,由材料力學可知，在靜載荷作用下，懸臂梁的撓度為：,假設,截面處的撓度為假定在自由振動中，各點的位移和速度仍然按照此比例。,系統的動能,梁的動能：質量塊的動能：系統總動能：,系統的方程,系統的勢能：根據：系統微分方程：固有頻率：,結論,可見，懸臂梁的質量對振動系統的固有頻率的影響相當于在自由端加上梁的等值質量，此值稍小于全梁質量的思考：梁自重造成梁端部的位移，會不會影響本題的精度。,等值剛度,彈簧的并聯若使剛度為，的兩根彈簧的下端都伸長，所需要的力所以，并聯彈簧的等值剛度