3 1 3導(dǎo)數(shù)的幾何意義 平均變化率 函數(shù)y f x 的定義域?yàn)閐 x1 x2 d f x 從x1到x2平均變化率為 割線的斜率 以平均速度代替瞬時(shí)速度 然后通過(guò)取極限 從瞬時(shí)速度的近似值過(guò)渡到瞬時(shí)速度的精確值 我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度 從函數(shù)y f x 在x x0處的瞬時(shí)變化率是 以平均速度代替瞬時(shí)速度 然后通過(guò)取極限 從瞬時(shí)速度的近似值過(guò)渡到瞬時(shí)速度的精確值 我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度 從函數(shù)y f x 在x x0處的瞬時(shí)變化率是 由導(dǎo)數(shù)的意義可知 求函數(shù)y f x 在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是 注意 這里的增量不是一般意義上的增量 它可正也可負(fù) 自變量的增量 x的形式是多樣的 但不論 x選擇哪種形式 y也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式 回顧 p q 割線 切線 t 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 我們發(fā)現(xiàn) 當(dāng)點(diǎn)q沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)p即 x 0時(shí) 割線pq如果有一個(gè)極限位置pt 則我們把直線pt稱為曲線在點(diǎn)p處的切線 設(shè)切線的傾斜角為 那么當(dāng) x 0時(shí) 割線pq的斜率 稱為曲線在點(diǎn)p處的切線的斜率 即 這個(gè)概念 提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法 切線斜率的本質(zhì) 函數(shù)在x x0處的導(dǎo)數(shù) 要注意 曲線在某點(diǎn)處的切線 1 與該點(diǎn)的位置有關(guān) 2 要根據(jù)割線是否有極限位置來(lái)判斷與求解 如有極限 則在此點(diǎn)有切線 且切線是唯一的 如不存在 則在此點(diǎn)處無(wú)切線 3 曲線的切線 并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn) 可以有多個(gè) 甚至可以無(wú)窮多個(gè) 因此 切線方程為y 2 2 x 1 即y 2x 求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟 求出p點(diǎn)的坐標(biāo) 利用切線斜率的定義求出切線的斜率 利用點(diǎn)斜式求切線方程 練習(xí) 如圖已知曲線 求 1 點(diǎn)p處的切線的斜率 2 點(diǎn)p處的切線方程 即點(diǎn)p處的切線的斜率等于4 2 在點(diǎn)p處的切線方程是y 8 3 4 x 2 即12x 3y 16 0 在不致發(fā)生混淆時(shí) 導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù) 函數(shù)導(dǎo)函數(shù) 由函數(shù)f x 在x x0處求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到 當(dāng)時(shí) f x0 是一個(gè)確定的數(shù) 那么 當(dāng)x變化時(shí) 便是x的一個(gè)函數(shù) 我們叫它為f x 的導(dǎo)函數(shù) 即 如何求函數(shù)y f x 的導(dǎo)數(shù) 看一個(gè)例子 下面把前面知識(shí)小結(jié) a 導(dǎo)數(shù)是從眾多實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的具有相同的數(shù)學(xué)表達(dá)式的一個(gè)重要概念 要從它的幾何意義和物理意義了認(rèn)識(shí)這一概念的實(shí)質(zhì) 學(xué)會(huì)用事物在全過(guò)程中的發(fā)展變化規(guī)律來(lái)確定它在某一時(shí)刻的狀態(tài) b 要切實(shí)掌握求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟 1 求函數(shù)的增量 2 求平均變化率 3 取極限 得導(dǎo)數(shù) 3 函數(shù)f x 在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在x x0處的函數(shù)值 即 這也是求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一 小結(jié) 2 函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的 就是函數(shù)f x 的導(dǎo)函數(shù) 1 函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限 它是一個(gè)常數(shù) 不是變數(shù) c 弄清 函數(shù)f x 在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 之間的區(qū)別與聯(lián)系 1 求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率 得到曲線在點(diǎn) x0 f x0 的切線的斜率 2 根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程 即 d 求切線方程的步驟 小結(jié) 無(wú)限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)概念 用導(dǎo)