3 2 2 整數值 隨機數 randomnumbers 的產生 1 了解隨機數的意義 2 會用模擬方法 包括計算器產生隨機數進行模擬 估計概率 3 理解用模擬方法估計概率的實質 1 本節課的重點是用隨機數估計概率 2 本節課的難點是了解隨機數的意義及理解用模擬方法估計概率的實質 1 隨機數的產生 1 標號 把n個 相同的小球分別標上1 2 3 n 2 攪拌 放入一個袋中 把它們 3 摸取 從中摸出 這個球上的數就稱為從1n之間的隨機整數 簡稱隨機數 充分攪拌 一個 大小 形狀 2 偽隨機數的產生 1 規則 依照確定算法 2 特點 具有周期性 周期很長 3 性質 它們具有類似 的性質 計算機或計算器產生的隨機數并不是真正的隨機數 我們稱為 隨機數 偽隨機數 3 利用計算器產生隨機數的操作方法用計算器的隨機函數randi a b 或計算機的隨機函數randbetween a b 可以產生從整數a到整數b的取整數值的隨機數 例如 用計算器產生1到25之間的取整數值的隨機數 方法如下 4 利用計算機產生隨機數的操作程序每個具有統計功能的軟件都有隨機函數 以excel軟件為例 打開excel軟件 執行下面的步驟 1 選定a1格 鍵入 randbetween 0 1 按enter鍵 則在此格中的數是隨機產生的0或1 2 選定a1格 按ctrl c快捷鍵 然后選定要隨機產生0 1的格 比如a2至a100 按ctrl v快捷鍵 則在a2至a100的數均為隨機產生的0或1 這樣相當于做了100次隨機試驗 3 選定c1格 鍵入頻數函數 frequency a1 a100 0 5 按enter鍵 則此格中的數是統計a1至a100中 比0 5小的數的個數 即0出現的頻數 4 選定d1格 鍵入 1 c1 100 按enter鍵 在此格中的數是這100次試驗中出現1的頻率 1 用隨機模擬方法估計概率時 其準確程度決定于什么 提示 準確程度決定于產生的隨機數的個數 2 用計算機模擬試驗來代替大量的重復試驗有什么優點 提示 用頻率估計概率時 需做大量的重復試驗 費時費力 并且有些試驗具有破壞性 有些試驗無法真正進行 因此利用計算機進行隨機模擬試驗就成為一種很重要的替代方法 它可以在短時間內多次重復地來做試驗 不需要對試驗進行具體操作 可以廣泛應用到各個領域 3 一個小組有6位同學 選1位小組長 用隨機模擬方法估計甲被選中的概率 給出下列步驟 統計甲的編號出現的個數m 將6名同學編號1 2 3 4 5 6 利用計算機或計算器產生1到6之間的整數隨機數 統計個數為n 則甲被選中的概率近似為其正確步驟順序為 寫出序號 解析 正確步驟順序為 答案 應用模擬試驗估計概率的突破方法用整數隨機數模擬試驗估計概率時 要確定隨機數的范圍和用哪些數代表不同的試驗結果 我們可以從以下三方面考慮 1 當試驗的基本事件等可能時 基本事件總數即為產生隨機數的范圍 每個隨機數字代表一個基本事件 2 研究等可能事件的概率時 用按比例分配的方法確定表示各個結果的數字個數及總個數 3 當每次試驗結果需要n個隨機數表示時 要把n個隨機數作為一組來處理 此時一定要注意每組中的隨機數字能否重復 隨機數的產生方法 技法點撥 1 隨機數產生的方法及比較 2 產生隨機數需要注意的兩個問題 1 利用抽簽法時 所設計的試驗要切實保證任何一個數被抽到的可能性是相等的 這是試驗成功的基礎 關鍵詞 等可能 2 利用計算器或計算機產生隨機數時 由于不同型號的計算器產生隨機數的方法可能會有所不同 故需特別注意操作步驟與順序的正確性 具體操作需嚴格參照其說明書 關鍵詞 步驟與順序 典例訓練 1 用隨機模擬的方法估計概率時 其準確程度決定于 a 產生的隨機數的大小 b 產生的隨機數的個數 c 隨機數對應的結果 d 產生隨機數的方法2 用隨機模擬方法拋擲一枚均勻的硬幣100次 產生計算機統計這100次試驗中 出現正面朝上 隨機數 解析 1 選b 用隨機模擬的方法估計概率時 產生的隨機數越多 準確程度越高 故選b 2 利用計算機統計頻數和頻率 用excel演示 1 選定c1格 鍵入頻數函數 frequency a1 a100 0 5 按enter鍵 則此格中的數是統計a1至a100中比0 5小的數的個數 即0出現的頻數 也就是反面朝上的頻數 2 選定d1格 鍵入 1 c1 100 按enter鍵 在此格中的數是這100次試驗中出現1的頻率 即正面朝上的頻率 思考 用計算機或計算器產生隨機數時的注意點是什么 提示 利用計算機或計算器產生隨機數時一是要按照操作程序和步驟進行 否則產生的隨機數不具有隨機性 從而影響估計概率值的準確性 變式訓練 某校高一年級共20個班 1200名學生 期中考試時如何把學生分配到40個考場上去 解析 要把1200人分到40個考場 每個考場30人 可用計算機完成 1 按班級 學號順序把學生檔案輸入計算機 2 用隨機函數按順序給每個學生一個隨機數 每人都不相同 3 使用計算機的排序功能按隨機數從小到大排列 可得到1200名學生的考試號0001 0002 1200 然后0001 0030為第一考場 0031 0060為第二考場 依次類推 用隨機模擬法估計概率 技法點撥 1 隨機模擬估計概率的三個步驟 1 建立模擬概型 2 進行模擬試驗 可用計算機或計算器進行 3 統計試驗結果 2 應用隨機模擬法估計概率的試驗設計 1 應用條件對于滿足 有限性 但不滿足 等可能性 的概率問題我們都可采用隨機模擬方法 2 試驗設計根據具體題目的含義 設計產生隨機數的個數 并賦予這些隨機數相應的含義 然后應用抽簽法或用計算器 計算機產生隨機數 數出所有隨機數中代表所求概率的事件的隨機數的個數m m與所有隨機數n的比值就是所求概率的近似值 3 試驗局限用模擬試驗來求概率的方法所得結果是不精確的 且每次模擬試驗最終得到的概率值不一定是相同的 典例訓練 1 已知某運動員每次投籃命中的概率低于40 現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率 先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數 指定1 2 3 4表示命中 5 6 7 8 9 0表示不命中 再以每三個隨機數為一組 代表三次投籃的結果 經隨機模擬產生了20組隨機數 907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據此估計 該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為 a 0 35 b 0 25 c 0 20 d 0 15 2 通過模擬試驗 產生了20組隨機數 68303013705574307740442278842604334609526807970657745725657659299768607191386754如果恰有三個數在1 2 3 4 5 6中 則表示恰有三次擊中目標 問四次射擊中恰有三次擊中目標的概率約為 3 種植某種樹苗 成活率為0 9 現采用隨機模擬的方法估計該樹苗種植5棵恰好4棵成活的概率 先由計算機產生0到9之間取整數值的隨機數 指定1至9的數字代表成活 0代表不成活 再以每5個隨機數為一組代表5次種植的結果 經隨機模擬產生30組隨機數 698016609777124229617423531516297472494557558652587413023224374454434433315271202178258555610174524144134922017036283005949765617334783166243034401117據此估計 該樹苗種植5棵恰好4棵成活的概率為 解析 1 選b 由題意知模擬三次投籃的結果 經隨機模擬產生了如下20組隨機數 在20組隨機數中表示三次投籃恰有兩次命中的有191 271 932 812 393 共5組隨機數 所求概率為故選b 2 因為表示三次擊中目標分別是3013 2604 5725 6576 6754 共5個數 隨機總數為20個 因此所求的概率為答案 3 由題意知模擬5次種植的結果 經隨機模擬產生了30組隨機數 在30組隨機數中表示種植5棵恰好4棵成活的有 69801 66097 74130 27120 61017 92201 70362 30334 01117 共9組隨機數 所求概率為答案 0 30 互動探究 在題3中 若樹苗成活的概率是0 8 則5棵樹苗至少有4棵成活的概率是多少 解析 利用計算器或計算機可以產生0到9之間取整數值的隨機數 我們用0和1代表不成活 2到9的數字代表成活 這樣可以體現成活率是0 8 因為是種植5棵 所以每5個隨機數作為一組 例如 產生20組隨機數 2306537052890213443577321336740145612346227890245899274226541843590378392021743763021673102016512328這就相當于做了20次試驗 在這些數組中 如果至多有一個是0或1的數組表示至少有4棵成活 共有15組 于是我們得到種植5棵樹苗至少有4棵成活的概率近似為15 20 75 思考 解答此類題目的難點是什么 提示 解答此類題目的難點是試驗設計 即怎樣用隨機數表示概率問題 變式訓練 假定某運動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40 現采用隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率 先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數 指定1 2 3 4表示命中靶心 5 6 7 8 9 0表示未命中靶心 再以每兩個隨機數為一組 代表兩次的結果 經隨機模擬產生了20組隨機數 9328124585696834312573930275564887301135 據此估計 該運動員兩次擲鏢恰有一次正中靶心的概率為 a 0 50 b 0 45 c 0 40 d 0 35 解析 選a 由題意知模擬兩次投擲飛鏢的結果 經隨機模擬產生了20組隨機數 在20組隨機數中表示兩次投擲飛鏢恰有一次命中的有 93284525739302483035 共10組隨機數 所求概率為 用隨機模擬法估計較復雜事件的概率 技法點撥 較復雜模擬試驗的設計及產生隨機數的方法 1 解決此類問題的第一個關鍵是設計試驗 首先需要全面理解題意 在理解題意的基礎上 根據題目的本身特點來設計試驗 應把設計試驗的重點放在確定哪個或哪些數字代表哪些試驗結果上 并確保符合題意與題目要求 關鍵詞 試驗結果 2 在試驗方案正確的前提下 要使模擬試驗所得的估計概率值與實際概率值更接近 則需使試驗次數盡可能的多 隨機數的產生更切合實際 關鍵詞 試驗次數盡可能多 3 用計算器或計算機產生隨機數的方法有兩種 利用帶有prb功能的計算器產生隨機數 利用計算機軟件產生隨機數 例如用excel軟件產生隨機數 對上述兩種方法 我們需嚴格按照其操作步驟與順序來進行 典例訓練 1 甲 乙兩個棋手下棋 甲獲勝的概率是二人和棋的概率是乙獲勝的概率是若甲乙兩人連下三局 則甲連勝三局的概率大約是 2 一個袋中有7個大小 形狀相同的小球 6個白球 1個紅球 現任取1個 若為紅球就停止 若為白球就放回 攪拌均勻后再接著取 試設計一個模擬試驗計算恰好第三次摸到紅球的概率 解題指南 1 設計試驗時 要產生0 5的隨機數 把不同的試驗結果用不同的數字來表示 即可估算其概率 2 可設計1 7取整數值的隨機數 通過隨機數來估計概率 解析 1 利用計算器或計算機可以產生0到5之間取整數值的隨機數 我們用0 1和2代表棋手甲獲勝 3和4代表二人和棋 5代表棋手乙獲勝 這樣可以體現甲獲勝的概率是二人和棋的概率是乙獲勝的概率是因為是連下三局 所以每3個隨機數作為一組 例如 產生30組隨機數 239345347489349217032123034348365652113887391037329654071981053218229219037376 這就相當于做了30次試驗 在這些數組中 如果數組中的三個數都是0 1或2 則甲連勝三局 共有4組 于是我們得到甲連勝三局的概率近似為答案 0 13 2 用1 2 3 4 5 6表示白球 7表示紅球 利用計算器或計算機產生1到7之間取整數值的隨機數 因為要求恰好第三次摸到紅球的概率 所以每三個隨機數作為一組 例如 產生20組隨機數 666743671464571561156567732375716116614445117573552274114622 就相當于做了20次試驗 在這組數中 前兩個數字不是7 第三個數字恰好是7 就表示第一次 第二次摸的是白球 第三次恰好是紅球 它們分別是567和117共兩組 因此恰好第三次摸到紅球的概率約為 易錯誤區 隨機模擬的易錯點 典例 天氣預報說 在今后的三天中 每一天下雨的概率均為40 用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率 可利用計算機產生0到9之間的整數值的隨機數 如果我們用1 2 3 4表示下雨 用5 6 7 8 9 0表示不下雨 順次產生的隨機數如下 907966191925271932812458569683631257393027556488730113137989 則這三天中恰有兩天下雨的概率約為 a b c d 解題指導 解析 選b 由題意知模擬三天中恰有兩天下雨的結果 經隨機模擬產生了20組隨機數 在20組隨機數中表示三天中恰有兩天下雨的有 191 271 932 812 631 393 137 共7組隨機數 所求概率為 閱卷人點撥 通過閱卷后分析 對解答本題的常見錯誤及解題啟示總結如下 即時訓練 已知某射擊運動員每次擊中目標的概率都是0 8 現采用隨機模擬的方法估計該運動員射擊4次 至少擊中3次的概率 先由計算器算出0到9之間取整數值的隨機數 指定0 1表示沒有擊中目標 2 3 4 5 6 7 8 9表示擊中目標 因為射擊4次 故以每4個隨機數為一組 代表射擊4次的結果 經隨機模擬產生了20組隨機數 57270293714098570347437386369647141746980371623326168045601136619597742467104281據此估計 該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為 a 0 85 b 0 8192 c 0 8 d 0 75 解析 選d 該射擊運動員射擊4次至少擊中3次 考慮該事件的對立事件 故看這20組數據中含有0和1的個數多少 含有2個或2個以上的有5組數 故所求概率為選d 1 從甲 乙 丙三人中任