第一部分考點研究 第19課時直角三角形與勾股定理 第四單元三角形 考點特訓營 直角三角形與勾股定理 勾股定理及其逆定理 性質 判定 勾股定理 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 如果用a b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊 那么 勾股定理逆定理 如果三角形的三邊長分別為a b c且a2 b2 c2 那么這個三角形是直角三角形 概念 有一個角是直角的三角形叫做直角三角形 a2 b2 c2 1 兩銳角之和等于 2 斜邊上的中線等于斜邊的 3 角所對的直角邊等于斜邊的一半4 勾股定理 若直角三角形的兩直角邊分別為a b 斜邊為c 則有 5 在直角三角形中 如果一條直角邊等于斜邊的一半 那么這條直角邊所對的銳角等于 90 一半 30 a2 b2 c2 30 1 有一個角為90 的三角形是直角三角形2 勾股定理逆定理 若a2 b2 c2 則以a b c為邊的三角形是直角三角形3 一條邊的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形4 有兩個角互余的三角形是直角三角形面積計算公式 s ch 其中a b為兩條直角邊 c為斜邊 h為斜邊上的高 ab 重難點突破 一直角三角形的相關計算例1如圖 rt abc中 ac bc ad平分 bac交bc于點d de ad交ab于點e m為ae的中點 連接md 若bd 2 cd 1 則md的長為 例1題圖 解析 如解圖 過點d作df ab于點f ad平分 bac交bc于點d cd 1 ac bc fd cd 1 在rt bdf中 fd 1 bd 2 b 30 1 2 30 在rt afd中 ad 2fd 2 在rt aed中 ae md ae 例1題解圖 練習1如圖 在 abc中 ab bc 4 ao bo p是射線co上的一個動點 aoc 60 則當 pab為直角三角形時 ap的長為 練習1題圖 解析 情況一 當 apb 90 時 如解圖 ao bo po bo aoc 60 bop 60 bop為等邊三角形 ab bc 4 ap ab sin60 4 情況二 當 abp 90 時 如解圖 aoc bop 60 bpo 30 bp 在rt abp中 ap 情況三 如解圖 ao bo apb 90 po ao aoc 60 aop為等邊三角形 ap ao 2 故答案為 或或2 練習1題解圖 練習2如圖 在rt abc中 b 90 ab 4 bc 3 ac的垂直平分線de分別交ab ac于d e兩點 則cd的長為 練習2題圖 解析 de是ac的垂直平分線 cd ad ab bd ad bd cd 設cd x 則bd 4 x 在rt bcd中 cd2 bc2 bd2 即x2 32 4 x 2 解得x 二 勾股定理的應用例2如圖 以直角三角形a b c為邊 向外分別作等邊三角形 半圓 等腰直角三角形和正方形 上述四種情況的面積關系滿足s1 s2 s3的圖形個數有 a 1個b 2個c 3個d 4個 例2題圖 解析 圖 中 s1 a2 s2 b2 s3 c2 a2 s1 b2 s2 c2 s3 a2 b2 c2 s1 s2 s3 即s1 s2 s3 圖 中 s1 2 s2 2 s3 2 a2 s1 b2 s2 c2 s3 a2 b2 c2 s1 s2 s3 即s1 s2 s3 圖 中 設斜邊長為a的等腰直角三角形的直角邊為x 則x a 同理可得 另外兩個三角形的直角邊分別為b和c s1 a a s2 b b s3 c c a2 4s1 b2 4s2 c2 4s3 a2 b2 c2 4s1 4s2 4s3 即s1 s2 s3 圖 中 s1 a2 s2 b2 s3 c2 a2 b2 c2 s1 s2 s3 故選d 練習3如圖 正方形abcd的邊長為2 其面積標記為s1 以cd為斜邊作等腰直角三角形 以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形 其面積標記為s2 按照此規律繼續下去 則s2018的值為 a 2015b 2016c 2015d 2016 練習3題圖 解析 根據面積公式可得s1