共41頁 1 第三十七講直線的傾斜角 斜率及直線方程 共41頁 2 回歸課本1 直線的傾斜角在直角坐標系中 對于與x軸相交的直線 以x軸為基準 x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做直線的傾斜角 當直線與x軸平行或重合時 規定它的傾斜角為0 因此 傾斜角的范圍是 0 180 共41頁 3 2 直線的斜率直線傾斜角 的正切值叫做這條直線的斜率 即斜率k tan 90 設兩點p1 x1 y1 p2 x2 y2 x1 x2 則過這兩點的斜率注意 因為當 90 時 tan 不存在 所以此時直線不存在斜率 即與x軸垂直的直線沒有斜率 在坐標關系上 表現為該直線上任意兩點橫坐標相同 但任何直線都有傾斜角 且傾斜角范圍為 0 180 共41頁 4 3 直線方程的形式 1 點斜式 方程的形式為y y1 k x x1 不能用點斜式表示的直線為與x軸垂直的直線 2 兩點式 方程的形式為不能用兩點式表示的直線為與坐標軸垂直的直線 共41頁 5 3 斜截式 方程的形式為y kx b 不能用斜截式表示的直線為與x軸垂直的直線 4 截距式 方程的形式為不能用截距式表示的直線為與坐標軸平行或經過原點的直線 共41頁 6 5 一般式 方程的形式為ax by c 0 a b不同時為0 它是關于x y的二元一次方程 注意 以上幾種直線方程的形式 每一種方程形式都有其各自成立的條件和適用范圍 我們用待定系數法求出方程的形式 還要注意驗證不滿足該方程形式的直線是否符合題意 若滿足題意 還應再加上該直線 共41頁 7 考點陪練 答案 d 共41頁 8 共41頁 9 3 設直線ax by c 0的傾斜角為 且sin cos 0 則a b滿足 a a b 1b a b 1c a b 0d a b 0解析 0 180 又sin cos 0 tan 1 即 a b 0 答案 d 共41頁 10 4 設直線l與x軸的交點是p 且傾斜角為 若將此直線繞點p按時針方向旋轉45 得到直線的傾斜角為 45 則 a 0 180 b 0 135 c 0 135 d 0 135 解析 注意直線傾斜角的取值范圍 直線l與x軸相交 其傾斜角不能為0 由得0 135 答案 d 共41頁 11 5 過點p 1 2 且在兩坐標軸上截距相等的直線的條數是 a 1條b 2條c 3條d 4條解析 注意有直線過原點時截距相等為0和不過原點時傾斜角為135 兩種情況 答案 b 共41頁 12 類型一直線的傾斜角和斜率解題準備 直線的斜率與傾斜角的關系設直線l的傾斜角為 斜率為k 1 0 0 當 90 時 k不存在 當90 180 時 k 0 共41頁 13 3 當0 90 時 k隨著 的增大而增大且k 0 當90 180 時 k隨著 的增大而增大且k 0 但不能說直線的傾斜角 越大 斜率k也越大 4 直線的斜率與傾斜角的關系如圖所示 共41頁 14 共41頁 15 類型二求直線的方程解題準備 1 對直線問題 要特別注意斜率不存在的情況 2 求直線方程常用方法 待定系數法 待定系數法就是根據所求的具體直線設出方程 然后按照它們滿足的條件求出參數 共41頁 16 典例2 求適合下列條件的直線的方程 1 在y軸上的截距為 5 傾斜角的正弦值是 2 經過點p 3 2 且在兩坐標軸上的截距相等 3 經過點a 1 3 傾斜角等于直線y 3x的傾斜角的2倍 共41頁 17 共41頁 18 共41頁 19 共41頁 20 共41頁 21 反思感悟 在求直線方程時 應先選擇適當的直線方程的形式 并注意各種形式的適用條件 用斜截式及點斜式時 直線的斜率必須存在 而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線 截距式不能表示與坐標軸垂直或經過原點的直線 故在解題時 若采用截距式 應注意分類討論 判斷截距是否為零 若采用點斜式 應先考慮斜率不存在的情況 共41頁 22 類型三求與直線方程有關的最值問題解題準備 在研究最值問題時 可以從幾何圖形入手 找到最值時的情形 也可以從代數角度考慮 構建目標函數 進而轉化為研究函數的最值問題 這種方法常常隨變量的選擇不同而運算的繁簡程度不同 解題時要注意選擇 共41頁 23 典例3 如圖 過點p 2 1 作直線l 分別交x y正半軸于a b兩點 1 當 aob的面積最小時 求直線l的方程 2 當 pa pb 取最小值時 求直線l的方程 共41頁 24 共41頁 25 共41頁 26 反思感悟 1 求直線方程的基本方法包括利用條件直接求直線的基本量和利用待定系數求直線的基本量 2 本題第 1 小題還存在一個一般規律 已知直線l過點p a b 其中a 0 b 0 則當且僅當直線l的斜率為時 直線l與x軸 y軸的正半軸圍成的 abo的面積s取得最小值2ab 共41頁 27 錯源一忽視了直線斜率的變化隨傾斜角變化的關系以及直線傾斜角為90 時直線無斜率而致錯 共41頁 28 共41頁 29 剖析 在直線l的允許活動范圍內 l的傾斜角連續變化時 直線斜率的變化并不一定連續 當直線l垂直于x軸 即直線l的傾斜角為90 時 直線l的斜率不存在 出錯的原因是忽視了直線斜率的變化與傾斜角變化的關系 忽視直線傾斜角為90 時直線無斜率 共41頁 30 共41頁 31 評析 當直線的傾斜角 0 90 時 隨著 的增大 直線的斜率k為非負值且逐漸變大 當直線傾斜角 90 180 時 隨著 的增大 直線的斜率k為負值且逐漸變大 共41頁 32 錯源二混淆 截距 與 距離 或忽視截距為零 典例2 求過定點p 2 1 且與坐標軸圍成的三角形的面積為4的直線方程 共41頁 33 共41頁 34 剖析 錯解誤將直線在x軸和y軸上的截距作為距離使用 共41頁 35 評析 截距不是距離 直線的橫 縱 截距是指直線與橫 縱 軸交點的橫 縱 坐標 因為截距是一個點的橫或縱坐標 所以截距可正 可負 也可以為零 如果不說明橫或縱截距 只說截距通常是指縱截距 當題目中出現 截距相等 截距的絕對值相等 截距互為相反數 在一坐標軸上的截距是另一坐標軸上的截距的m倍 m 0 等條件時 若采用截距式求直線方程 都要考慮 零截距 的情況 共41頁 36 技法一巧用斜率求函數最值 共41頁 37 共41頁 38 共41頁 39 技法二巧用斜率證三點共線我們知道 如果三點a b c在同一條直線上 那么直線ab的斜率與直線bc的斜率相等 利用這一特征 我們可以借助直線的斜率證明三點共線 如典例2的解法一即是 共41頁 40