2 1數列 2 1 1數列 1 如果f x x2 1 x 1 2 3 4 5 則f x 的值域為 2 將前5個正整數的倒數排成一列 3 函數f x 2x 1 x 1 2 3 4 5 的圖象上共有個點 它們是 0 3 8 15 24 5 1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 1 數列及其有關概念 1 數列 按照一定排列起來的一列數叫做數列 2 項 數列中的叫做這個數列的項 第1項通常也叫做 若是有窮數列 最后一項也叫做 2 數列的表示數列的一般形式可以寫成a1 a2 a3 an 簡記為 這里n是 次序 每一個數 首項 末項 正整數 3 數列的通項公式如果數列的第n項an與之間的關系可以用一個函數式an f n 來表示 那么這個公式叫做這個數列的通項公式 4 數列與函數的關系 1 數列與函數的內在聯系從映射 函數的觀點看 數列可以看作是一個定義域為的函數an f n 即當自變量按照從小到大的順序依次取值時 所對應的一列函數值 其圖象是一些孤立的點 n 正整數集n 或它的有限子集 相應曲線上橫坐標為正整數的 2 數列的表示方法 5 數列的分類 1 按項的個數分類 圖象法 列表法 通項公式法 有限 無限 2 按項的變化趨勢分類 大于 小于 都相等 1 所有的數列都有通項公式嗎 提示 不是 數列的通項公式實際就是相應函數的解析式 并不是所有的數列都有通項公式 就像并不是所有的函數都能用解析式表示一樣 2 an 與an表示的意義相同嗎 提示 an 與an是不同的兩種表示 an 表示數列a1 a2 an 是數列的一種簡記形式 而an只表示數列 an 的第n項 an與 an 是 個體 與 整體 的從屬關系 其中 有窮數列是 無窮數列是 遞增數列是 遞減數列是 常數列是 擺動數列是 周期數列是 思路點撥 依據相應概念進行判斷 是擺動數列 是無窮數列 也是周期數列 最小正周期為4 是常數列 是有窮數列 答案 數列分類是按不同的標準定義的 判斷時要理解清題意 緊扣概念 解析 5 是有窮數列 1 2 3 4 6 是無窮數列 2 是遞增數列 1 4 是遞減數列 6 是擺動數列 3 5 是常數列 1 由通項公式求指定項根據數列的通項公式 分別寫出其前4項與第10項 思路點撥 解答 1 時注意利用余弦函數的周期性 解答 2 應先化簡通項公式再求項 由通項公式求項就是求n取指定值時的函數值 如果通項公式較復雜 應先化簡再求值 解析 1 an f n 2n 1 a1 f 1 21 1 3 a2 f 2 22 1 5 a3 f 3 23 1 9 a4 f 4 24 1 17 的前4項依次為3 5 9 17 2 由數列的前幾項求通項公式 思路點撥 分析各項與對應序號間的關系 通過歸納 猜想得到一個合適的表達式 解答本題在尋找規律時用到以下幾種思路 先統一項的結構 如都化成分數 根式等 分析這一結構中變化的部分與不變的部分 探索變化部分的規律與對應序號間的函數解析式 對于符號交替出現的情況 可先觀察其絕對值 再以 1 n處理符號 對于周期出現的數列 可考慮拆成幾個簡單數列和的形式 或者利用周期函數 如三角函數等 已知函數f x 2x 2 x 數列 an 滿足f log2an 2n 1 求數列 an 的通項公式 2 證明數列 an 是遞減數列 思路點撥 首先建立關于an的一元二次方程求解an 再證明an an 1即可證明數列 an 是遞減數列 1 數列概念的理解 1 數列是按一定 次序 排列的一列數 一個數列不僅與組成數列的 數 有關 而且與這些數的排列順序有關 因此 如果組成數列的數相同而排列次序不同 那么它們就是不同的數列 2 數列與數集的區別與聯系 數列與數集都是具有某種共同屬性的數的全體 數列中的數是有序的 數集中的元素是無序的 同一個數在數列中可重復出現 而數集中的元素是互異的 2 數列的通項公式 1 由數列的前幾項歸納其通項公式 據所給數列的前幾項求其通項公式時 需仔細觀察分析 抓住以下幾方面的特征 分式中分子 分母的特征 相鄰項的變化特征 拆項后的特征 各項符號特征和絕對值特征等 并對此進行歸納 聯想 3 基本數