圓中的分類討論湖北省黃石市下陸中學宋毓彬由于圓中的點、線在圓中的位置分布可能有多種情況，經常會導致其答案的不唯一性。如：點與圓的位置關系，點可能在圓內，也可能在圓外；兩條弦的位置關系，可能在某一條直徑的同側，也可能在直徑的異側；圓與圓相切，可能外切，也可能內切，等等。因此，求解圓的有關問題時，要注意分類討論思想。一、點與圓的位置關系不唯一性例1.若所在O所在平面內一點P到O上的點的最大距離為a，最小距離為b（ab），則此圓的半徑為（ ）。（A） （B） （C）或 （D）a+b或ab分析：P可能在圓內，也可能在圓外。 圖11 圖12P在圓內時。如圖11。連接O、P所在的直線交O于A、B。則PA=a，PB=b 直徑AB=PA+PB=a+b，半徑OA=OB=AB=（a+b）P在圓外時。如圖12。此時直徑AB=PAPB=ab，半徑OA=OB=AB=（ab）由可知，應選（C）。二、弦與弦的位置關系不唯一性例2.O的半徑為5cm，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，則AB與CD之間的距離是（ ）。（A）7cm （B）8cm （C）7cm或1cm （D1cm分析：弦AB與CD可能在圓心的同側，也可能在圓心的異側。圖21 圖22弦AB與CD在圓心的同側。如圖21。過O作弦AB的垂線，交AB于M，交CD于N。連接OB，OD。ABCD，OMAB，ONCD由垂徑定理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm在RtBMO中，OM=4cm，同理ON=3cmMN= OMON=43=1 cm弦AB與CD在圓心的異側。如圖22。此時，MN=OM+ON=4+3=7cm 故選（C）。例3如圖，已知AB是O的直徑，AC是O的弦，AB=2，AC=，在圖中畫出弦AD，使AD等于1，并求出CAD的度數。分析：弦AC與弦AD可能在直徑AB的同側，可能在直徑AB的異側。弦AC與弦AD在直徑AB的同側。如圖31。連OC、OD。由OC=OD=AB=1，AC=OC+OD=AC AOC=90，CAO=ACO=45又OA=OD=AD，DAO=60DAC=DAOCAO=15弦AC與弦AD在直徑AB的異側。此時，DAC=DAO+CAO=115三、點在直徑上的位置不唯一性例4已知O的直徑AB=10cm，弦CDAB于點于點M。若OM：OA=3：5，則弦AC的長為多少？分析：垂足M可能在半徑OA上，也可能在半徑OB上。M在半徑OA上。如圖41。連接OC。OC=OA=AB=5cm， 又OM：OA=3：5，OM=3cm AB是直徑，弦CDAB 在RtOMC中， MC=4cm又AM=OAOM=2cm在RtAMC中，AC=2（cm）M在半徑OB上。如圖42.此時，AM=OA+OM=8cmAC=4（cm）四、弦所對圓周角的不唯一性例5圓的一條弦長等于它的半徑，那么這條弦所對的圓周角為（ ）。30或60（B）60（C）150（D）30或150（A） （B） 分析：弦（不是直徑）所對的弧有兩條，一條優弧，一條劣弧，因此，一條弦所對的圓周角也有兩個，并且這兩個圓周角互補。如圖5。劣弧所對的角為ACB，優弧所對的角為ADB。由AB=0A=OB，AOB=60ACB=AOB=30ADB=（360AOB）=（36060）=150 故選（D）五、圓與圓的位置關系不唯一性例6如果兩圓相切，兩圓的圓心距為8cm，圓A的半徑為3cm，則圓B的半徑是（ ）。5cm （B）11cm （C）3cm （D）11cm或5cm（A） （B） 分析：圓與圓相切，可能是內切，也可能是外切。 兩圓外切。如圖61。AB=8+3=11cm兩圓內切。如圖62。AB=83=5cm 故選（D）六、相交圓圓心與公共弦的位置關系不唯一性例7已知相交兩圓的半徑分別為5cm和4cm，公共弦長6cm，則這兩個圓的圓心距為 。分析：兩圓圓心可能在公共弦的同側，也可能在公共弦的異側。圓心在公共弦的異側。如圖71。連接OA，OA。由圓的對稱性，O O垂直平分公共弦AB。 AD=A