172 實際問題與反比例函數教案 172實際問題與反比例函數教學目標1知識與技能學會把實際問題轉化為數學問題，進一步理解反比例函數關系式的構造，掌握用反比例函數的方法解決實際問題2過程與方法感受實際問題的探索方法，培養化歸的數學思想和分析問題的能力3情感、態度與價值觀體驗函數思想在解決實際問題中的應用，養成用數學的良好習慣教學重點難點重點用反比例函數解決實際問題難點構建反比例函數的數學模型課時安排2課時教與學互動設計第1課時（一）創設情境，導入新課一位司機駕駛汽車從甲地去乙地，他以80千米時的平均速度用6?小時到達目的地 （1）當他按原路勻速反回時，汽車的速度v與時間t有怎樣的函數關系？ （2）若該司機必須在4個小時內回到甲地，則返程的速度不能低于多少？（二）合作交流，解讀探究探究 （1）原路返回，說明路程不變，則806=480千米，因而速度v和時間t滿足vt=480或v=480的反比例函數關系式t （2）若要在4小時內回到甲地（原路），則速度顯然不能低于480=120（千米/時）4歸納常見的與實際相關的反比例 （1）面積一定時，矩形的長與寬成反比例； （2）面積一定時，三角形的一邊長與這邊上的高成反比例； （3）體積一定時，柱（錐）體的底面積與高成反比例； （4）工作總量一定時，工作效率與工作時間成反比例； （5）總價一定時，單價與商品的件數成反比例； （6）溶質一定時，溶液的濃度與質量成反比例（三）應用遷移，鞏固提高例1近視眼鏡的度數y（度）與焦距x（m）成反比例，已知400?度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25m （1）試求眼鏡度數y與鏡片焦距x之間的函數關系式； （2）求1000度近視眼鏡鏡片的焦距【分析】把實際問題轉化為求反比例函數的解析式的問題k k，把x=0.25，y=400代入，得400=，x0.25100所以，k=4000.25=100，即所求的函數關系式為y=x解 （1）設y=-1- （2）當y=1000時，1000=100，解得=0.1mx3例2如圖所示是某一蓄水池每小時的排水量V（m/h）與排完水池中的水所用的時間t（h）之間的函數關系圖象 （1）請你根據圖象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量； （2）寫出此函數的解析式； （3）若要6h排完水池中的水，那么每小時的排水量應該是多少？3 （4）如果每小時排水量是5000m，那么水池中的水將要多少小時排完？【分析】當蓄水總量一定時，每小時的排水量與排水所用時間成反比例解 （1）因為當蓄水總量一定時，每小時的排水量與排水所用時間成反比例，?所以3根據圖象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量為400012=48000（m） （2）因為此函數為反比例函數，所以解析式為V= （3）若要6h排完水池中的水，那么每小時的排水量為V=48000；t480003=8000（m）；63 （4）如果每小時排水量是5000m，那么要排完水池中的水所需時間為t=480003=8000（m）6備選例題（xx年中考四川）制作一種產品，需先將材料加熱到達60后，再進行操作設該材料溫度為y（），從加熱開始計算的時間為x（分鐘）據了解，設該材料加熱時，溫度y與時間x完成一次函數關系；停止加熱進行操作時，溫度y與時間x?成反比例關系（如圖所示）已知該材料在操作加工前的溫度為15，加熱5?分鐘后溫度達到60 （1）分別求出將材料加熱和停止加熱進行操作時，y與x的函數關系式； （2）根據工藝要求，當材料的溫度低于15時，須停止操作，那么從開始加熱到停止操作，共經歷了多少時間？【答案】 （1）將材料加熱時的關系式為y=9x+15（0x5），?停止加熱進行操作時的關系式為y=300（x5）； （2）20分鐘x（四）總結反思，拓展升華-2-1學會把實際問題轉化為數學問題，?充分體現數學知識實際生活又服務于實際生活這一原理2能用函數的觀點分析、解決實際問題，?讓實際問題中的量的關系在數學模型中相互聯系，并得到解決（五）課堂跟蹤反饋夯實基礎1A、B兩城市相距720千米，一列火車從A城去B城 （1）火車的速度v（千米/時）和行駛的時間t（時）之間的函數關系是v=720t （2）若到達目的地后，按原路勻速原回，并要求在3小時內回到A城，則返回的速度不能低于240千米/小時2有一面積為60的梯形，其上底長是下底長的的函數關系是y=1，若下底長為x，高為y，則y與x390x3（xx年中考長沙）已知矩形的面積為10，則它的長y與寬x之間的關系用圖象大致可表示為（A）4下列各問題中，兩個變量之間的關系不是反比例函數的是（C）A小明完成100m賽跑時，時間t（s）與他跑步的平均速度v（m/s）之間的關系2B菱形的面積為48cm，它的兩條對角線的長為y（cm）與x（cm）的關系C一個玻璃容器的體積為30L時，所盛液體的質量m與所盛液體的體積V之間的關系D壓力為600N時，壓強p與受力面積S之間的關系提升能力5面積為2的ABC，一邊長為x，這邊上的高為y，則y與x?的變化規律用圖象表示大致是（C）開放探究6為了預防流行性感冒，某學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒已知，?藥物燃燒-3-時，室內每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例，?藥物燃燒后，y與x成反比例（如圖所示）現測得藥物8分鐘燃畢，此室內空氣中每立方米的含藥量為6毫克，請你根據題中所提供的信息，解答下列問題 （1）藥物燃燒時y關于x的函數關系式為y=0 （2）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時學生方可進教室，那么從消毒開始，至少需要經過30分鐘后，學生才能回到教室； （3）研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續時間不低于10?分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？【答案】有效，因為燃燒時第4分鐘含藥量開始高于3毫克，當到第16分鐘含藥量開始低于3毫克，這樣含藥量不低于3毫克的時間共有16-4=12分鐘，故有效第2課時（一）創設情境，導入新課公元前3世紀，古希臘科學家阿基米德發現了著名的“杠桿定律”若兩物體與支點的距離反比于其重量，則杠桿平衡也可這樣描述阻力阻力臂動力動力臂為此，他留下一句名言給我一個支點，我可以撬動地球！（二）合作交流，解讀探究問題小偉想用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂不變，?分別是1200N和0.5m （1）動力F和動力臂L有怎樣的函數關系？當動力臂為1.5m時，?撬動石頭至少要多大的力？ （2）若想使動力F不超過第 （1）題中所用力的一半，則動力臂至少要加長多少？600600，當L=1.5時，F=400l1.51600 （2）由 （1）及題意，當F=400=200時，L=3（m），2200【分析】 （1）由杠桿定律有FL=12000.5，即F=要加長3-1.5=1.5（m）思考你能由此題，利用反比例函數知識解釋為什么使用撬棍時，?動力臂越長越省力？聯想物理課本上的電學知識告訴我們用電器的輸出功率P（瓦）兩端的電壓U（伏）、u2用電器的電阻R（歐姆）有這樣的關系PR=u，也可寫為P=R2-4-（三）應用遷移，鞏固提高例1在某一電路中，電源電壓U保持不變，電流I（A）與電阻R（）之間的函數關系如圖所示 （1）寫出I與R之間的函數解析式； （2）結合圖象回答當電路中的電流不超過12A時，電路中電阻R?的取值范圍是什么？【分析】由物理學知識我們知道當電壓一定時，電流強度與電阻成反比例關系解 （1）設，根據題目條件知，當I=6時，R=6，所以，所以K=36，所以I與R的關系式為I= （2）電流不超過3A，即I=36R3612，所以R3（）R3636注意因為R0，所以由12，可得RR12例2某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓P（千帕）3是氣球體積V（m）的反比例函數，其圖象如圖所示（?千帕是一種壓強單位） （1）寫出這個函數的解析式；3 （2）當氣球體積為0.8m時，氣球內的氣壓是多少千帕？ （3）當氣球內的氣壓大于144千帕時，氣球將爆炸，為了完全起見，?氣球的體積應不小于多少？【分析】在此題中，求出函數解析式是關鍵k，把點A（1.5，64）的V96坐標代入，得k=96，?所以所求的解析式為P=；V963 （2）V=0.8m時，P=120（千帕）；0.8969623 （3）由題意P144（千帕），所以144，所以V=（m）即氣體的體積1443V23應不小于m3解設函數的解析式為P=備選例題1（xx年中考變式荊州）在某一電路中，電流I、電壓U、電阻R三者之間滿足關系I=UR （1）當哪個量一定時，另兩個量成反比例函數關系？ （2）若I和R之間的函數關系圖象如圖，試猜想這一電路的電壓是_伏2（xx年中考揚州）已知力F對一個物體作的功是15焦，則力F?與此物體在力-5-在方向上移動的距離S之間的函數關系式的圖象大致是（）【答案】1 （1）當電壓U一定時，電流I與電阻R成反比例函數關系， （2）10；2B（四）總結反思，拓展升華1把實際問題中的數量關系，通過分析、轉化為數學問題中的數量關系2利用構建好的數學模型、函數的思想解決這類問題3注意學科之間知識的滲透（五）課堂跟蹤反饋夯實基礎1在一定的范圍內，?某種物品的需求量與供應量成反比例?現已知當需求量為500噸時，市場供應量為10000噸，?試求當市場供應量為16?000?噸時的需求量是?312.5噸2某電廠有5000噸電煤 （1）這些電煤能夠使用的天數x（天）與該廠平均每天用煤噸數y（噸）?之間的函數關系是y=5000；x （2）若平均每天用煤200噸，這批電煤能用是25天； （3）若該電廠前10天每天用200噸，后因各地用電緊張，每天用煤300噸，這批電煤共可用是20天提升能力3一種電器的使用壽命n（月）與平均每天使用時間t（小時）成反比例，?其關系如圖所示 （1）求使用壽命n（月）與平均每天使用時間t（小時）之間的函數關系式是n=480?；t （2）當t=5小時時，電器的使用壽命是96（月）4某人用50N的恒定壓力用氣筒給車胎打氣 （1）打氣所產生的壓強P（帕）與受力面積S（米）之間的函數關系是P=-6-250S （2）若受力面積是100cm，則產生的壓強是5000P； （3）你能根據這一知識解釋為什么刀刃越鋒利，刀具就越好用嗎？為什么坦克的輪子上安裝又寬又長的履帶呢？【答案】接觸面積越小，壓強越大，故刀具越好用，?反之可解釋坦克裝履帶現象開放探究5一封閉電路中，當電壓是6V時，回答下列問題 （1）寫出電路中的電流I（A）與電阻R（）之間的函數關系式是I=26R （2）畫出該函數的圖象【答案】略 （3）如果一個用電器的電阻是5，其最大允許通過的電流為1A，那么只把這個用電器接在這個封閉電路中，會不會燒壞？試通過計算說明理由【答案】可能燒壞6如圖所示是某個函數圖象的一部分，根據