分類號 密級 編號 中國科學院研究生院 碩士學位論文 李群方法 在 求解幾類偏微分方程 中的應用 指導教師 研究員 碩 士 中國科學院廣州能源研究所 申請學位級別 碩士 學科專業名稱 流 體機械及工程 論文提交日期 論文答辯日期 培養單位 中國科學院 廣州能源研究所 學位授予單位 中國科學院研究生院 答辯委員會主席 he ie to of 2007 摘 要 傳統能源供應日益緊張，開發可再生能源 已 成為當務之急 。海洋能是眾多可再生能源的一種，波浪能利用是現今 各國 海洋能開發研究的重點 ， 水動力學 數值計算和 非線性偏微分方程 求解則是 研究 波浪能 利用 的 工具 。在眾多求解偏微分方程方法 中， 李群給我們提供了一種如何構造 函數和自變量的變換方法， 實現原微分方程的約化 降維，求解此 降 維方程 便 獲得原方程的解， 它 使人們在運用變換求解偏微分方程時變得有章可循。 本文 的主要工作是 ，通過對求解偏微分方程 的 數值方法現狀 大致 介紹 和 分析其自身局限性和缺陷，以李群理論的基礎為始詳細介紹了幾類李群對稱方法，之后以 一科學計算軟件為平臺，通過對 熱傳導 方程的經典和非經典對稱方法的推導，演示其推導方法和結果。通過對其特征方程的常數賦予特值，獲得其群不變量，再帶回原方程實現降維約化，并求解 該降維方程 ，從而獲得 熱傳導 方程的解，然后對 程， 程， 程不同方法求解來獲得其更豐富的解。 本文的研究意義在于應用李群方法求解偏微分方程 的 精確解， 同時 利用科學計算軟件 進行符號計算 推導 ， 擴展了 李群方法 應用的 適用性， 為 水動力 學 方程 的 求解提供了 參考 ，同時對幾類偏微分方程的求解也增加了其解的豐富性 ，且為 波浪能的基礎研究提供了理論 鋪墊 ，并對進一步的工程實際應用具有一定的參考價值。 關鍵詞 ：李群 無窮小生成元 偏微分方程 科學計算軟件e a in of On is we to is of is in of is of of In of s is to us to of us a we In we of In , of we In , by of we so we by to of is is in at ie is in to of ie of in to in of in 錄 I 目 錄 第 1 章 緒 論 . 1 言 . 1 線性偏微分方程求解常用的幾種數值方法 . 2 限差分法 . 2 限元法 . 3 界元法 . 3 限體積法 . 4 值方法求解存在的困難 . 4 群簡介 . 6 群在偏微分方程中的應用 . 6 算機代數系統 . 7 論文的安排 . 8 第 2 章 李群理論基礎及李對稱群法介紹 . 13 言 . 13 群理論基礎 . 14 及子群 . 14 換群、單參數李群變換和無窮小變換 . 14 拓、微分方程不變性、微分方程對稱群 . 15 典李群方法 . 16 經典李群方法 . 17 對稱方法 . 18 義對稱方法 . 22 似對稱法 . 23 參數近似群 . 23 似對稱 . 24 論 . 25 第 3 章 應用本文方法求解幾類常見的偏微分方程 . 29 言 . 29 李群方法 在求解幾類偏微分方程中的應用 窮小生成元的求解及熱傳導方程的求解 . 29 典方法求解熱傳導方程 . 30 經典方法求解熱傳導方程 . 35 用李群方法求解 程 . 38 程的經典李群方法求解 . 38 程的非經典李群方法求解 . 40 用李群方法求解 程 . 41 典李群方法求解 . 42 經典方法求解一般形式的 程 . 45 用李群方法求解 程 . 47 典李群方法求解 程 . 47 論 . 49 第 4 章 總結與展望 . 53 文主要結論 . 53 一步研究工作展望 . 54 致 謝 . 55 攻讀碩士期間發表論文情況 . 56 作者 簡介 . 57 后 記 . 58 第 1 章 緒 論 1 第 1章 緒 論 言 隨著常規能源的日漸耗竭，能源危機和環境污染問題日益凸現。針對此問題，各國都紛紛開展和高度重視替代能源和可再生能源的研究和開發，其研究范圍已擴展到太陽能、風能、 生物能 、海洋能（波浪能，海流能，潮汐能，溫差能，鹽差能）、 地熱能 、天然氣水合物 和核能等眾多方面。我國地域遼闊，具有豐 富的替代能源和可再生能源，加大替代能源和可再生能源資源的開發力度，將逐步改善我國以煤和石油為主的能源供應與消費結構，保障我國的能源安全，促進常規能源資源更加合理和有效的利用，實現能源、經濟與環境的協調和可持續發展 1。 同時 隨著陸地資源的枯竭，人們將目光 逐漸 轉向蘊藏著豐富資源的海洋。海洋能就是 一種 可以 利用海洋資源， 海洋能 是 指依附在海水中的可再生能源，海洋通過各種物理過程 或化學過程 接收、儲存和散發能量，這些能量以波浪、海流、潮汐、溫差、鹽 差 等形式存在于海洋之中。 鑒于能量轉換效率及環境影響，波浪能和海流能更具 有開發潛力 2。 波浪 能作為一種清潔的可再生能源，長期以來，世界各國投入了大量的人力和財力對其進行研究。在二十世紀七十年代以前，波浪能利用研究的活動主要是波能轉換裝置的發明，八十年代以后，研究進入了以實用化、商品化為目標的應用示范階段，較早提出的某些影響很大的裝置，如鴨式 3、筏式 4裝置研究進展緩慢，而振蕩水柱 (波能系統成為主攻方向。從 1984 年以來建成的大部分裝置都是振蕩水柱式波能裝置，如挪威 500式波能裝置 5，英國的 75式波能裝置 6，英國 500式波能裝置 7，葡萄牙 500式波能裝置 8，歐共體的 9，日本的 漂浮式波能裝置 10，印度 150箱式波能裝置 11，中國 320式振蕩水柱波力電站 12,13以及 100式振蕩水柱波力電站 14。 水動力學和 波浪理論的基礎研究 是 波浪 能利用的基礎 之一 ， 自上世紀 80年代以來此領域的研究非常活躍 15,16。但是 就現在的波浪理論而言，因為在控李群方法 在求解幾類偏微分方程中的應用 2 制方程中存在一個非線性的運動學邊界條件而使得問題 變得 復雜，一般采用數值模擬 方法 ， 對于數值計算的結果 一般都需要 進行物理實驗驗證，而問題的關鍵所在 就是 開邊界條件 ， 而數值求解又要求這個邊界是確定的，所以在 波浪理論 中 出現 了 許多問題 。 如果能在以上理論中尋找一種精確解，必將大大提高波浪理論的基礎研究水平，其結果應用到工程實際必將影響到波浪能的利用和開發 在理論研究方面的突破，針對偏微分方程的求解首當其沖。 線性偏微分方程求解常用的幾種數值方法 偏微分方程是一門兼具有理論性和應用性的學科，是當今世界上解決物理世界中出現的各種問題重要的一門學科 。 美國科學院院士 為 17： “微分方程是所有物理科學及其相應技術的 基礎。因此，毫不奇怪，微分方程對確保國家經濟地位的技術基礎十分重要 ”。 然而對于偏微分方程的求解，目前還沒有十分有效的通用求解方法。 對于 非線性科學中出現的各種非線性偏微分方程 的求解方法目前大多分兩類：一是解析方法 1822如分離變量法，積分變換法；二是數值方法 2326如有限差分法 (有限元法 (邊界元法 (有限體積法 (。 在 波浪理論 中 ， 描述流體運動的方程在一般情況下屬于非線性守恒方程組，不能用解析方法求解，目前數值方法已經成為流體力學中不可或缺的工具 27。 但對于不同問題，數值方法遇到各式各樣的困難和限制，它的局限性也日益暴露出來，如方法自身的限制，非線性邊界條件的處理，無窮遠處邊界條件的給定，還有動邊界，計算域，計算精度等問題。 下面我們分別介紹一下這幾種數值方法： 限差分法 28 有限差分法屬于求解偏微分方程最經典和最流行的方法，之后發展的一系列特殊方法，如有限元法、譜方法、準譜方法等，都只是對空間離散的一種不同于有限差分的特殊處理，還有基于將方程寫成特殊形式的特殊方法，其針對的是特殊用途，也沒有有限差分法那樣能普遍應用。構造有限差分法的基本思路第 1 章 緒 論 3 是將計算空 間劃分為線段、四邊形、六面體等網格單元，然后以 數展開等方法，對控制方程中的每項導數構造差分，并用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。求出代數方程組的解，就作為微分方程定解問題的數值近似解。它是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法，并且其概念、計算格式和程序簡單，收斂性也較好。 限元法 29,30 有限元法是對連續力學和物理問題的一種數值求解方法，是把無法用理論方法精確求解的復雜 問題，通過一定的方法轉換為可計算的有限單元結構體系，并依靠計算機對原問題進行近似求解的一種工程計算方法。它的基本思路是將求解域看成若干個有限元的小子域 (單元 )構成，對于每一個單元假設一個較簡單的近似解，然后推導求解該域應滿足的條件，進而得到問題的近似解。通過對單元劃分進行控制，可以在要求的精度范圍內逼近原問題的真解。有限元法的實質就是分段（分片、分塊）逼近，將整個求解域劃分為有限個求解子區域，構造分區的插值函數以逼近真解。其最大的優點是具有廣泛的適應性，特別適用于幾何、物理條件比較復雜的問題，而且便于程序的 標準化，能把復雜問題簡單化，把無限問題有限化，這對于解決許多難以求得精確解的實際問題的求解非常有效。有限元法的求解不僅計算精度高，而且能適應各種復雜問題，因而已成為工程領域的有效分析手段之一。 界元法 31,32 邊界元法是一種繼 有限元法 之后發展起來的一種新數值方法 ， 與有限元法在連續體域內劃分單元的基本 思想 不同 ， 邊界元法是在定義域的邊界上劃分單元 ，用滿足 控制方程 的函數去逼近邊界條件 。 所以邊界元法與有限元相比具有單元的未知數少 ， 數據準備簡單等優點 。邊界元法在工程問題的數值計算上，具有以下主要優點： 分離散僅在邊界上進行，從而大大簡化數值計算的前處理工作； 2. 作為一種半解析的數值計算法，場域內各點的數值解是通過解析式來計算的，從而減小了由于場域剖分離散所帶來李群方法 在求解幾類偏微分方程中的應用 4 的誤差； 格剖分越密、節點數越 多，計算精度越高。 邊界元法的不足之處是在靠近邊界處存在奇異解的問題和數值計算線性代數方程組的系數矩陣為非對稱滿陣。 限體積法 33 有限體積法（ 稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，并使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變量的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬于加權剩余法中的子區域法；從未知 解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬于有限體積 法 的基本方法。 就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律（既插值函數），并將其作為近似解。有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數只用于計算控制 體積的積分，得出離散方程之后，便 可忘掉插值函數；如果需要的話，可以對微分方程中不同 的 項采取不同的插值函數。 上述四種數值計算方法是流體力學中常用到的主要方法，除此之外，還有其他數值求解方法如譜方法 34,35，加權參數法 36,37，辛算法 38等。 值方法求解存在的困難 盡管數值計算方法是研究偏微分方程的一種有效手段。但對不同的問題，數值方法可能遇到各種各樣的困難或限制。以海洋中波浪變形和波浪與結構物相互作用問題為例，有如下幾個方面的問題制約著數值方法的有效實現： （ 1）非線性自由面邊界條件的處理 非線性自由面邊界條件的處理 是模擬非線性波浪問題的難點之一，目前在第 1 章 緒 論 5 數值方法中的做法是線性化處理，將非線性項化成線性項，并運用迭代法。實踐證明，這種處理方法是有效的，但會使計算效率大為下降。 2無窮遠處開邊界條件的給定 對于無窮域的波浪作用或波浪與結構物相互作用問題，利用數值方法需要給定無窮遠處開邊界條件。對于線性波浪問題，數學上已經導出了輻射開邊界條件，而對非線性波浪，迄今還沒有提出合適的開邊界條件。理論上數值方法不能求解該問題，目前的做法都是近似的，從數學上說，這樣求解的將不是原問題，而是原問題的近似，因此不可避免地帶來誤差。 （ 3）動邊界問題 在研究非線性波浪問題時，自由面邊界和物面邊界都是預先未知的動邊界，而采用數值方法求解時要求計算域的邊界是已知的。為了使數值計算能夠順利進行，目前的做法是將計算時段取得足夠小，利用前一時刻得到的邊界來近似作為本時刻的邊界，這樣做在每一時刻都不可避免地帶來誤差，如果誤差不被放大，則計算結果是可以接受的，否則得到的結果 將因為誤差越來越大而 失去意義 。 （ 4）計算域問題 大區域或無窮域波浪問題的求解，也是數值方法遇到的困難之一。由于區域大，將需要布置大量的計算單元和節點，從而使形成的代數方程組的系數 矩陣是一個龐大的稠密或稀疏矩陣，導致該類問題無法求解或是計算效率極其低下。 （ 5）計算精度問題 所有的數值方法都是近似的，因而得到的結果都是原問題的近似結果，這種近似結果在大多數情況下是可以接受的，但對某些特殊問題，如剛性方程，則可能得到的結果是錯誤的。 （ 6）各種數值方法的自身限制 除了上面的問題外，所有的數值方法都有其自身限制。如有限差分法和有限體積法，需要構造相容性和穩定性好的差分格式，否則可能導致計算無法進行或者計算精度很低，此外有限差分法對不規則的幾何區域問題也遇到困難，只能對不規則區域進行近似； 邊界元方法至少需要導出原控制方程的格林函數，在某些情況下還可能需要得到滿足控制方程和若干邊界條件的格林函數，但對某些問題可能很難導出格林函數，如 程。該方法最適合于求解橢圓型的李群方法 在求解幾類偏微分方程中的應用 6 邊值問題，對另外一些問題，可能不及有限差分或者有限元法優越；有限元方法需要導出與原問題等價的積分方程，是利用該方法的難點之一。 高效利用海洋能首先必須解決非線性水波力學的計算問題，但該問題目前因其具有非線性邊界，求解域無窮大，運動隨機等難點，而成為計算數學目前尚未解決的難題之一。 李群 39作為一種數學工具，不少國內 外學者紛紛用它來研究偏微分方程或常微分方程的求解。它對非線性偏微分方程非常有效，且具有解法與現有的數值解法不同，求解區域大小并不增加其難度等優點。 群簡介 4044 李群是數學中應用極其廣泛的一個重要分支，李群與微分方程的聯系由來已久。 19 世紀末，李群的奠基人挪威數學家 是在研究微分方程的對稱性（即在變換下的不變性）的過程中，建立了連續群理論，后人稱之為李群。如果一個連續群把一組微分方程的一個解變換為另一個解，這就是連續對稱群。李群誕生后，對數學、物理、力學、工程及其它以數學為 基礎的學科產生了深刻的影響，尤其在工程和應用科學的偏微分方程研究中有很重要的應用。隨后 5, 6, 7, 8, 9分別進一步發展了李群，使其成為一個完整的理論體系， 0, 1，2， Na 3擴展了李群理論，給出了用李群求解偏微分方程的相似變換理論。近年來， 論引起許多人的關注，人們 已經開始用它求解非線性方程以及加入部分邊界條件的問題。 20 世紀 80 年代以來，隨著非線性偏微分方程研究的需要，通過微分方程的不變性來研究非線性偏微分方程的性質，特別是求方程的精確解已吸引了越來越多的人的關注，在非線性微分方程的研究領域特別活躍。 群在偏微分方程中 的 應用 5456 李群方法的早期應用是在求解常微分方程中，對于一個常微分方程系統，如果知道了它的足夠大的對稱群，則可通過積分來求出它的通解，具體的說，第 1 章 緒 論 7 如果知道了一個微分方程的一個單參數對稱群，一階的方程就可以通過積分求解，高階的方程則可以降階 用李群求解偏微分方程的基本思想是：通過群變換，找到不變量（其實質是群變換導致的自變量之間，或自變量與因變量之間的一種約束），再將不變量作為新變量，將原偏微分方程轉換成新變量下的降維方程（原偏微分方程在單參數群或 s 參數群的作用下會降 1 維或 s 維）。對降維方程求解后將結果還原成原來的變量而得到原偏微分方程的解。但是有時求解降維方程比求解原方程還要困難，所以在實際求解中，往往只能得到某些特殊的解。 偏微分方程求 解的常用的一種方法是在求方程的某些類型的解時，可將問題轉化為求解常微分方程，即當求方程的一個對稱群的不變解時，方程可約化為常微分方程，具體約化時，不需要找到坐標變換，只需要找到群的不變量，而尋找群的不變量不一定要知道群本身，只需要找到群的生成元就行了，當方程的自變量的個數多于兩個時，方程雖不能化為常微分方程，但方程的自變量個數將減少一個。 利用群的不變性來尋求常微分方程和偏微分方程的解的關鍵在于利用延拓理論將微分方程的問題轉化為代數方程的問題。如何 求 微分方程的 對稱 群與生成元以及求群不變 量，并由此得到降維系統 ，使 求解 變得簡明且易于應用就顯得特別重要了，這就是微分方程的對稱研究課題。 用于水動力學的計算，近年來， 論引起許多人的關注，在非線性微分方程的研究領域尤為活躍。相信隨著計算機計算能力的快速發展與提高、計算機算法的改進、計算機符號語言的使用， 論的應用將越來越廣泛。 算機代數系統 57 計算機從單純計算到文字處理、圖形變換與知識表示，正在改變著我們的工作方式和生活方式。科學計算分數值計算和符號計算，數值計算處理的數據和處理后的結果都是數值，它是近似計算；符號計算所處理的數據和處理后的結果都 是具有含義的抽象符號，它是精確計算。實際上，符號計算就是借助計算機來完成數學演算、數學推理和數學證明。計算機代數系統是根據計算機代數原理編寫的程序系統。今天，計算機代數系統已經得到了廣泛的應用。目前，李群方法 在求解幾類偏微分方程中的應用 8 世界上著名的計算機代數系統有： ，這些計算機代數系統提供了一些基本運算功能，如化簡、微分、積分、因式分解等。 目前最優秀的科學計算軟件包之一，它的數值計算、符號計算、圖形處理以及各種程序包為科研、教學和解決各個領域的實際問題提供了新的思路 和強有力的分析計算手段。本文第三章的工作都是基于 論文的安排 本文 以 李群理論的基礎 為始 詳細介紹了幾類李群對稱方法，之后以一科學計算軟件為平臺，通過對 熱傳導 方程的經典對稱和非經典對稱方法的推導，演示其推導方法和結果。通過對其特征方程的常數賦予特殊值， 求解 獲得群不變量，再帶回原方程實現降維約化并求解，從而獲得 熱傳導 方程的解，然后對 程， 程， 程不同方法求解來獲得其更豐富的解。 本文的大致安排是： 本章主要介紹 了波浪能利用的基礎水動力學 數值 計算中遇到的偏微分方程求解方面的問題，及目前常用的求解方法， 并指出目前數值求解方法在求解過程中碰到的難題，及自身的缺陷和局限性，之后 簡單介紹了李群的 起源 和 應用李群求解 偏微分方程 思路 及其應用現狀 ； 第 2 章詳細介紹了基于李群求解偏微分方程的理論基礎， 介紹了群理論，子群概念，及延拓理論，經典李群方法，非經典李群方法，勢對稱方法，廣義對稱方法， 為本文 第三章的求解提供理論基礎 。 第 3 章 以科學計算軟件 平臺，通過對 熱傳導 方程的經典 李群 方法和非經典李群方法的演示推導 求解 ，然后對 程， 程四類 偏微分方程 ，運用不同對稱方法求解，來獲得其更豐富的解。 第 4 章對本文工作進行總結，并提出了進一步存在的問題，為下一步工作提供設想和展望。 第 1 章 緒 論 9 參考文獻 ： 1 李登偉等，中國 21世紀可替代能源和可再生能源，天然氣工業， 200