立體幾何中的向量方法 空間向量的引入為代數方法處理立體幾何問題提供了一種重要的工具和方法 解題時 可用定量的計算代替定性的分析 從而避免了一些繁瑣的推理論證 求空間角與距離是立體幾何的一類重要的問題 也是高考的熱點之一 空間的角常見的有 線線角 線面角 面面角 異面直線所成角的范圍 思考 結論 一 線線角 4 2011 陜西卷 如圖 在 ABC中 ABC 60 BAC 90 AD是BC上的高 沿AD把 ABD折起 使 BDC 90 設E為BC的中點 求AE與DB夾角的余弦值 易得D 0 0 0 B 1 0 0 C 0 3 0 A 0 0 E x y z 6 直線與平面所成角的范圍 思考 結論 二 線面角 7 1 若直線l的方向向量與平面 的法向量的夾角等于120 則直線l與平面 所成的角等于 A 120 B 60 C 30 D 60 或30 解析 由題意得直線l與平面 的法向量所在直線的夾角為60 直線l與平面 所成的角為90 60 30 答案 C 練習 8 如圖所示 在四棱錐P ABCD中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD PA AD 2 AB 1 AM PD于點M 求直線CD與平面ACM所成角的正弦值 x y z 9 利用向量法求線面角的方法 1 分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量 轉化為求兩個方向向量的夾角 或其補角 2 通過平面的法向量來求 即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角 取其余角就是斜線和平面所成的角 10 將二面角轉化為二面角的兩個面的方向向量 在二面角的面內且垂直于二面角的棱 的夾角 如圖 設二面角的大小為 其中 D C B A 三 面面角 方向向量法 二面角的范圍 11 練習 如圖3 甲站在水庫底面上的點A處 乙站在水壩斜面上的點B處 從A B到直線 庫底與水壩的交線 的距離AC和BD分別為和 CD的長為 AB的長為 求庫底與水壩所成二面角的余弦值 解 如圖 化為向量問題 根據向量的加法法則有 于是 得 設向量與的夾角為 就是庫底與水壩所成的二面角 因此 所以 所以庫底與水壩所成二面角的余弦值為 12 三 面面角 二面角的范圍 法向量法 注意 法向量的方向 一進一出 二面角等于法向量夾角 同進同出 二面角等于法向量夾角的補角 13 已知三棱柱ABC A1B1C1的側棱垂直于底面 BAC 90 AB AA1 2 AC 1 M N分別是A1B1 BC的中點 求二面角M AN B的余弦值 x y z 14 15 求二面角最常用的方法 1 分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量 然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小 但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角 2 分別在二面角的兩個平面內找到與棱垂直且以垂足出發的兩個向量 則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小 以上兩種方法各有利弊 要善于結合題目的特點選擇適當的方法解題 16 1 異面直線所成角 2 直線與平面所成角 歸納小結 D C B A 方向向量法 3