第 1 頁 中考數學常用公式定理中考數學常用公式定理 一 數與代數一 數與代數 1 整數 整數 包括 正整數 0 負整數 和分數分數 包括 有限小數和無限環循小數 都是有理數有理數 如 3 0 231 0 無限不環循小數叫做無理數無理數 如 如 0 兩個1之間依次多1個0 有理數和無理數統稱為實數 實數 2 絕對值絕對值 a 0丨a丨 a a 0丨a丨 a 如 如 丨 丨 丨3 14 丨 3 14 3 一個近似數近似數 從左邊笫一個不是0的數字起 到最末一個數字止 所有的數字 都叫做這個近似數的 有效數字有效數字 如 0 05972精確到0 001得0 060 結果有兩個有效數字6 0 特別提醒 特別提醒 3 24萬精確到百位 而不是百分位 有3個有效數字3 2 4 又 又 精確到千位 有3個 5 5 17 10 有效數字5 1 7 4 把一個數寫成 a 10n的形式 其中1 a 10 n是整數 這種記數法叫做科學記數法 科學記數法 如 如 40700 4 07 105 0 4 3 10 5 5 乘法公式 乘法公式 反過來就是因式分解的公式 a b a b a2 b2 a b 2 a2 2ab b2 a b a2 ab b2 a3 b3 a b a2 ab b2 a3 b3 a2 b2 a b 2 2ab a b 2 a b 2 4ab 6 冪的運算性質 冪的運算性質 am an am n am an am n am n amn ab n anbn n n a n 特別 特別 n n a0 1 a 0 1 n a 如 如 a3 a2 a5 a6 a2 a4 a3 2 a6 3a3 3 27a9 3 1 5 2 2 2 3 14 1 0 1 7 二次根式 二次根式 2 a a 0 丨a丨 a 0 b 0 如 3 2 45 6 a 0時 a 的平方根 4的平方 根 2 平方根 立方根 算術平方根的概念 第 2 頁 8 一元二次方程一元二次方程 對于一元二次的一般式方程 ax2 bx c 0 a 0 求根公式求根公式是x 2 4 2 bbac a 其中 b2 4ac叫做根的判別式 若方程有兩個實數根x1和x2 并且二次三項式ax2 bx c可分解為a x x1 x x2 以a和b為根的一元二次方程是x2 a b x ab 0 二 統計與概率二 統計與概率 9 統計初步 統計初步 1 概念 概念 所要考察的對象的全體叫做總體總體 其中每一個考察對象叫做個體 個體 從總體 中抽取的一部份個體叫做總體的一個樣本樣本 樣本中個體的數目叫做樣本容量 樣本容量 在一組數據中 出現次 數最多的數 有時不止一個 叫做這組數據的眾數眾數 將一組數據按大小順序排列 把處在最中間的一 個數 或兩個數的平均數 叫做這組數據的中位數 中位數 2 公式 公式 設有 n 個數x1 x2 xn 那么 平均數為 12 n xxx x n 極差 用一組數據的最大值減去最小值所得的差來反映這組數據的變化范圍 用這種方法得到的差稱 為極差 即 極差 最大值 最小值 方差 數據 的方差為 則 1 x 2 x n x 2 s 2 s 222 12 1 n xxxxxx n 標準差 方差的算術平方根 數據 的標準差 則 1 x 2 x n xss 222 12 1 n xxxxxx n 一組數據的方差越大 這組數據的波動越大 越不穩定 10 頻率與概率 頻率與概率 1 頻率 各小組的頻數之和等于總數 各小組的頻率之和等于 1 頻率分布直方圖中各個小長 總數 頻數 方形的面積為各組頻率 當 0時 方程有兩個不相等的實數 根當 0時 方程有兩個相等的實數 根 當 0 時 方程沒有實數根 注意 注意 當 0 時 方程有實數根 第 3 頁 2 概率 大數次實驗的頻率 概率 如果用 P 表示一個事件 A 發生的概率 則 0 P A 1 P 必然事件 1 P 不可能事件 0 在具體情境中了解概率的意義 運用列舉法 包括列表 畫樹狀圖 計算簡單事件發生的概率 大量的重復實驗時頻率可視為事件發生概率的估計值 三 函數三 函數 11 平面直角坐標系中的有關知識 平面直角坐標系中的有關知識 1 對稱性 對稱性 若直角坐標系內一點 P a b 則 P 關于 x 軸對稱的點為 P1 a b P 關于 y 軸對稱 的點為 P2 a b 關于原點對稱的點為 P3 a b 2 坐標平移 坐標平移 若直角坐標系內一點 P a b 向左平移 h 個單位 坐標變為 P a h b 向右平移 h 個單位 坐標變為 P a h b 向上平移 h 個單位 坐標變為 P a b h 向下平移 h 個單位 坐標變為 P a b h 如 點 A 2 1 向上平移 2 個單位 再向右平移 5 個單位 則坐標變為 A 7 1 12 一次函數一般式 一次函數一般式y kx b k 0 的圖象是一條直線 與x軸交于 與y軸交于 0 b k 0 b 1 一次函數性質 一次函數性質 特別 當b 0時 y kx k 0 又叫做正比例函數 y與x成正比例 圖象必過原點 K決定 決定 直線傾斜方向 1 0 0 kyx kyx 當 時 隨的增大而增大直線從左向右上升直線必過一 三象限 當 時 隨的增大而減小直線從左向右下降直線必過二 四象限 直線傾斜程度 2 x x k k 越大 直線越陡峭 直線與軸的夾角越大 越小 直線越平緩 直線與軸的夾角越小 3 111222 yk xbyk xb 對于直線與直線 1212 1212 1 kkyy k kyy A當時 當時 b決定決定 0 0 0 by b by 當直線與軸交于正半軸 當 直線必過原點 當直線與軸交于負半軸 13 反比例函數 反比例函數y k 0 的圖象叫做雙曲線 1 反比例函數性質 反比例函數性質 第 4 頁 當k 0時 雙曲線在一 三象限 在每一象限內 從左向右降 當k 0時 雙曲線在二 四象限 在每一象限內 從左向右上升 因此 它的增減性與一次函數相反 2 雙曲線矩形 雙曲線矩形 Sk 3 雙曲線三角形 雙曲線三角形 2 k S 特別提醒特別提醒 1 直線 直線的交點坐標為二元一次方程組的交點坐標為二元一次方程組的解 的解 23y32yxx 與 23 32 yx yx 2 直線 直線與雙曲線與雙曲線的交點是方程組的交點是方程組的解 的解 21yx 4 y x 21 4 yx y x 14 二次函數的有關知識 二次函數的有關知識 1 定義定義 一般地 如果是常數 那么叫做的二次函數 cbacbxaxy 2 0 ayx 2 拋物線的三要素拋物線的三要素 開口方向 對稱軸 頂點 的符號決定拋物線的開口方向 當時 開口向上 當時 開口向下 a0 a0 a 相等 拋物線的開口大小 形狀相同 a 平行于軸 或重合 的直線記作 特別地 軸記作直線 yhx y0 x 3 幾種特殊的二次函數的圖像特征如下 幾種特殊的二次函數的圖像特征如下 0 a 函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標 2 axy 軸 0 xy 0 0 kaxy 2 軸 0 xy 0 k 2 hxay hx 0 h khxay 2 hx h k cbxaxy 2 當時0 a 開口向上 當時0 a 開口向下 a b x 2 a bac a b 4 4 2 2 4 求拋物線的頂點 對稱軸的方法求拋物線的頂點 對稱軸的方法 第 5 頁 1 公式法 公式法 頂點是 對稱軸是直 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 a bac a b 4 4 2 2 線 a b x 2 2 配方法 配方法 運用配方的方法 將拋物線的解析式化為 0 的形式 得到頂點 khxay 2 a 為 對稱軸是直線 h khx 3 運用拋物線的對稱性 由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形 對稱軸與拋物線的交點是頂點 若已知拋物線上兩點 及 y 值相同 則對稱軸方程可以表示為 12 x yxy 12 2 xx x 5 拋物線拋物線 0 中 中 的作用的作用cbxaxy 2 acba 決定決定開口方向及開口大小 這與中的完全一樣 1 1a 2 axy a 和和共同決定共同決定拋物線對稱軸的位置 由于拋物線 0 的對稱軸是直線 2 2b acbxaxy 2 a 故 時 對稱軸為軸 即 同號 時 對稱軸在軸左側 a b x 2 0 by0 a b aby 即 異號 時 對稱軸在軸右側 0 a b aby 的大小決定的大小決定拋物線 0 與軸交點的位置 3 3c cbxaxy 2 ay 當時 拋物線 0 與軸有且只有一個交點 0 0 xcy cbxaxy 2 ayc 拋物線經過原點 與軸交于正半軸 與軸交于負半軸 0 c0 cy0 cy 以上三點中 當結論和條件互換時 仍成立 如拋物線的對稱軸在軸右側 則 y0 a b 15 用待定系數法求二次函數的解析式用待定系數法求二次函數的解析式 1 一般式 一般式 0 已知圖像上三點或三對 的值 通常選擇一般式 cbxaxy 2 axy 2 頂點式 頂點式 0 已知圖像的頂點或對稱軸 通常選擇頂點式 khxay 2 a 3 交點式 交點式 已知圖像與軸的交點坐標 通常選用交點式 x 1 x 2 x 21 xxxxay 16 直線與拋物線的交點直線與拋物線的交點 1 軸與拋物線 0 得交點交點為 0 ycbxaxy 2 ac 2 拋物線與軸的交點軸的交點x 二次函數 0 的圖像與軸的兩個交點的橫坐標 是對應一元二次方程cbxaxy 2 ax 1 x 2 x 第 6 頁 0 的兩個實數根 0 2 cbxaxa 拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定 x 有兩個交點 拋物線與軸相交 0 x 有一個交點 頂點在軸上 拋物線與軸相切 x 0 x 沒有交點 拋物線與軸相離 0 x 3 平行于軸的直線與拋物線的交點x 同 2 一樣可能有 0 個交點 1 個交點 2 個交點 當有 2 個交點時 兩交點的縱坐標相等 設縱坐 標為 則橫坐標是的兩個實數根 kkcbxax 2 4 一次函數的圖像 與二次函數的圖像的交點 由方 0 knkxyl 0 2 acbxaxyG 程組 的解的數目來確定 方程組有兩組不同的解時與有兩個交點 cbxaxy nkxy 2 lG 方 程組只有一組解時與只有一個交點 方程組無解時與沒有交點 lG lG 5 拋物線與軸兩交點之間的距離 若拋物線與軸兩交點為 xcbxaxy 2 x 00 21 xBxA 則 12 ABxx 17 銳角三角函數銳角三角函數 含義含義 A的正弦 sinA A的余弦 cosA A的正切 tanA 平方關系 平方關系 sin2A cos2A 1 倒數關系 倒數關系 1 tan tan 90 增減性 增減性 0 sinA 1 0 cosA 1 tanA 0 A越大 A的正弦和正切值越大 余弦值反而越小 余角公式余角公式 sin 90 A cosA cos 90 A sinA 特殊角的三角函數值 特殊角的三角函數值 三角函數三角函數 0 0 30 30 45 45 60 60 90 90 sin 0 0 2 1 2 2 2 3 1 1 cos 1 1 2 3 2 2 2 1 0 0 tan 0 0 3 3 1 13 不存在不存在 第 7 頁 cot 不存在不存在 31 1 3 3 0 0 斜坡的坡度 斜坡的坡度 i 設坡角為 則i tan 鉛垂高度 水平寬度 四 空間與圖形四 空間與圖形 線段 射線 直線 線段 射線 直線 1 過兩點有且只有一條直線 兩點確定一條直線 2 兩點之間線段最短 3 同角或 等角的補角相等 4 同角或等角的余角相等 5 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直 性質 性質 6 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中 垂線段最短 7 平行公理 經過直線外一點 有且只有一條直線與這條直線平行 8 如果兩條直線都和第三條直線平行 這兩條直線也互相平行 9 同位角相等 兩直線平行 10 內錯角相等 兩直線平行 11 同旁內角互補 兩直線平行 平行線判定 平行線判定 12 兩直線平行 同位角相等 13 兩直線平行 內錯角相等 14 兩直線平行 同旁內角互 補 三角形邊角關系 三角形邊角關系 15 定理 三角形兩邊的和大于第三邊 16 推論 三角形兩邊的差小于第三邊 三角形的內角與外角 三角形的內角與外角 17 三角形內角和定理 三角形三個內角的和等于 180 18 推論 1 直角三角形的兩個銳角互余 19 推論 2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和 20 推論 3 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角 全等三角形性質 全等三角形性質 21 全等三角形的對應邊 對應角 對應高線 對應中線 對應角平分線相等 面積 周長也相等 全等三角形判定 全等三角形判定 22 邊角邊公理 SAS 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等 23 角邊角公理 ASA 有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等 24 推論 AAS 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等 25 邊邊邊公理 SSS 有三邊對應相等的兩個三角形全等 26 斜邊 直角邊公理 HL 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等 角平分線定理 角平分線定理 27 定理 1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等 28 定理 2 到一個角的兩邊的距離相同的點 在這個角的平分線上 29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合 等腰三角形 等腰三角形 30 等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等 即等邊對等角 31 推論 1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊 32 等腰三角形的頂角平分線 底邊上的中線和底邊上的高互相重合 33 推論 3 等邊三角形的各角都相等 并且每一個角都等于 60 34 等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等 那么這兩個角所對的邊也相等 等角 對等邊 35 推論 1 三個角都相等的三角形是等邊三角形 36 推論 2 有一個角等于 60 的等腰三角形是等邊三角形 h l 第 8 頁 Rt 中兩個一半 中兩個一半 37 在直角三角形中 如果一個銳角等于 30 那么它所對的直角邊等于斜邊的一半 38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半 中垂線定理中垂線定理 39 定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等 40 逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點 在這條線段的垂直平分線上 41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合 軸對稱性質 軸對稱性質 42 定理 1 關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形 43 定理 2 如果兩個圖形關于某直線對稱 那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線 44 定理 3 兩個圖形關于某直線對稱 如果它們的對應線段或延長線相交 那么交點在對稱軸上 45 逆定理 如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分 那么這兩個圖形關于這條直線對 稱 勾股定理勾股定理 46 勾股定理 直角三角形兩直角邊 a b 的平方和 等于斜邊 c 的平方 即 222 abc 47 逆定理 如果三角形的三邊長 a b c 有關系 那么這個三角形是直角三角形 222 abc 多邊形內角和外角多邊形內角和外角 48 定理 四邊形的內角和等于 360 49 四邊形的外角和等于 360 50 多邊形內角和定理 n 邊形的內角的和等于 n 2 180 51 推論 任意多邊的外角和等于 360 平行四邊形性質定理平行四邊形性質定理 52 平行四邊形性質定理 1 平行四邊形的對角相等 53 平行四邊形性質定理 2 平行四邊形的對邊平行且相等 54 推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等 55 平行四邊形性質定理 3 平行四邊形的對角線互相平分 平行四邊形判定定理 平行四邊形判定定理 56 平行四邊形判定定理 1 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 57 平行四邊形判定定理 2 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 58 平行四邊形判定定理 3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 59 平行四邊形判定定理 4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形 矩形性質定理 矩形性質定理 60 性質定理 1 矩形的四個角都是直角 61 性質定理 2 矩形的對角線相等 矩形判定定理矩形判定定理 62 判定定理 1 有三個角是直角的四邊形是矩形 63 判定定理 2 對角線相等的平行四邊形是矩形 菱形性質定理菱形性質定理 64 菱形性質定理 1 菱形的四條邊都相等 65 菱形性質定理 2 菱形的對角線互相垂直 并且每一條對角線平分一組對角 66 菱形面積 對角線乘積的一半 即 S a b 2 菱形判定定理菱形判定定理 67 菱形判定定理 1 四邊都相等的四邊形是菱形 68 菱形判定定理 2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 正方形性質定理 正方形性質定理 69 正方形性質定理 1 正方形的四個角都是直角 四條邊都相等 第 9 頁 70 正方形性質定理 2 正方形的兩條對角線相等 并且互相垂直平分 每條對角線平分一組對角 中心對稱 中心對稱 兩個圖形繞某一點旋轉 180 后能與互相重合 這兩個圖形關于這一點成中心對稱 71 定理 1 關于中心對稱的兩個圖形是全等的 72 定理 2 關于中心對稱的兩個圖形 對稱點連線都經過對稱中心 并且被對稱中心平分 73 逆定理 如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點 并且被這一點平分 那么這兩個圖形關于 這 一點成中心對稱 等腰梯形性質定理 等腰梯形性質定理 74 等腰梯形性質定理 等腰梯形在同一底上的兩個角相等 75 等腰梯形的兩條對角線相等 等腰梯形判定定理 等腰梯形判定定理 76 等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形 77 對角線相等的梯形是等腰梯形 梯形常用輔助線 梯形常用輔助線 平行線等分線段定理平行線等分線段定理 78 平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等 那么在其他直線上截得的線段也相等 左上右上左上右上 左下右下左全右全 79 推論 1 經過梯形一腰的中點與底平行的直線 必平分另一腰 80 推論 2 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線 必平分第三邊 中位線定理 中位線定理 81 三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊 并且等于它的一半 82 梯形中位線定理 梯形的中位線平行于兩底 并且等于兩底和的一半 L L 2 中位線 上底下底 S L 梯形中位線 高 比例性質 比例性質 83 1 比例的基本性質 如果 那么 如果 那么 交叉相乘 ac bd adbc adbc ac bd 84 2 合比性質 如果 那么 ac bd abcd bd 85 3 等比性質 如果 那么 acem bdfn acema bdfnb 黃金分割 黃金分割 線段 AB 被點 C 黃金分割 AC BC 點 C 叫做線段 AB 的黃金分割點 AC 與 AB 的比叫做黃金比 相似三角形判定定理 相似三角形判定定理 90 定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 或兩邊的延長線 相交 所構成的三角形與原 三角形相似 A 型圖或 X 型圖 a c A B C D E F l1 b l2 第 10 頁 91 相似三角形判定定理 1 兩角對應相等 兩三角形相似 AA 92 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似 射影定理 93 判定定理 2 兩邊對應成比例且夾角相等 兩三角形相似 SAS 94 判定定理 3 三邊對應成比例 兩三角形相似 SSS 95 定理 如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例 那么這兩個直角三角形相似 HL 相似三角形性質定理 相似三角形性質定理 96 性質定理 1 相似三角形對應高的比 對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比 97 性質定理 2 相似三角形周長的比等于相似比 98 性質定理 3 相似三角形面積的比等于相似比的平方 點與圓的位置關系 點與圓的位置關系 圓的半徑為 R 某一點到圓心的距離為 d 101 如果 d R 點在圓上 102 如果 d R點在圓內 103 如果 d R點在圓外 三點共圓 三點共圓 104 定理 不在同一直線上的三點確定一個圓 109 三角形的外接圓圓心 外心 是三邊垂直平分線的交點 垂徑定理 垂徑定理 110 垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧 111 推論 1 平分弦 不是直徑 的直徑垂直于弦 并且平分弦所對的兩條弧 弦的垂直平分線經過圓心 并且平分弦所對的兩條弧 平分弦所對的一條弧的直徑 垂直平分弦 并且平分弦所對的另一條弧 112 推論 2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等 113 圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形 垂徑定理及其推論可概括為 過圓心 垂直于弦 直徑 平分弦 知二推三 平分弦所對的優弧 平分弦所對的劣弧 四量定理 四量定理 弦 弧 弦心距 圓心角 114 定理 在同圓或等圓中 相等的圓心角所對的弧相等 所對的弦相等 所對的弦的弦心距相等 115 推論 在同圓或等圓中 如果兩個圓心角 兩條弧 兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等 那么它們所對應的其余各組量都相等 有一必有三 圓周角定理圓周角定理 116 定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半 117 推論 1 同弧或等弧所對的圓周角相等 同圓或等圓中 相等的圓周角所對的弧也相等 118 推論 2 半圓 或直徑 所對的圓周角是直角 90 的圓周角所對的弦是直徑 119 推論 3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半 那么這個三角形是直角三角形 C ABD 第 11 頁 直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系 設 R 為圓的半徑 d 為圓心到直線的距離 1 直線與圓相離d R 直線與圓沒有交點 2 直線與圓相切d R 直線與圓沒有唯一交點 3 直線與圓相交d R 直線與圓沒有有兩個交點 圓的內接四邊形 圓的內接四邊形 120 定理 圓的內接四邊形的對角互補 并且任何一個外角都等于它的內對角 相交弦定理相交弦定理 O 中 弦 AB 與弦 CD 相交與點 E 則 AEBE CEDE 切線的判定與性質 切線的判定與性質 122 切線的判定定理 經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 123 切線的性質定理 圓的切線垂直于經過切點的半徑 124 推論 1 經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點 125 推論 2 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心 切線長定理 切線長定理 126 切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線 它們的切線長相等 圓心和這一點的連線平分兩條 切線的夾角 弦切角定理 弦切角定理 127 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等 128 弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角 129 推論