立體幾何中的向量方法 以單位正方體的頂點(diǎn)O為原點(diǎn) 分別以射線OA OC 的方向?yàn)檎较?以線段OA OC 的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度 建立三條數(shù)軸 x軸 y軸 z軸 這時(shí)我們建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系 一 空間直角坐標(biāo)系 點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn) x軸 y軸 z軸叫做坐標(biāo)軸 這三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè)坐標(biāo)平面 分別稱(chēng)為xoy平面 yoz平面 和zox平面 o 1 x軸與y軸 x軸與z軸均成1350 而z軸垂直于y軸 2 y軸和z軸的單位長(zhǎng)度相同 x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸 或z軸 的單位長(zhǎng)度的一半 空間直角坐標(biāo)系的畫(huà)法 練1請(qǐng)你作一個(gè)空間直角坐標(biāo)系 并在空間直角坐標(biāo)系中 作出點(diǎn) 5 4 6 O 5 4 6 變式在空間直角坐標(biāo)系中 作出點(diǎn) 5 4 6 練習(xí) 2 如下圖 在長(zhǎng)方體OABC D A B C 中 OA 3 OC 4 OD 3 A C 于B D 相交于點(diǎn)P 分別寫(xiě)出點(diǎn)C B P的坐標(biāo) O B A B C P P 3 4 3 練習(xí) Q Q 3 如圖 棱長(zhǎng)為a的正方體OABC D A B C 中 對(duì)角線OB 于BD 相交于點(diǎn)Q 頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn) OA OC分別在x軸 y軸的正半軸上 試寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo) 若A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 則 空間一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo) 二 空間向量的坐標(biāo)表示 練1 在空間直角坐標(biāo)系中 已知A 2 1 3 B 1 2 5 則 練2 在空間直角坐標(biāo)系中 已知A 2 x y 則B 三 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 練1 在空間直角坐標(biāo)系中 已知 練2 在空間直角坐標(biāo)系中 已知 五 距離與夾角的坐標(biāo)表示 1 距離公式 1 向量的長(zhǎng)度 模 公式 注意 此公式的幾何意義是表示長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度 練1 在空間直角坐標(biāo)系中 已知 在空間直角坐標(biāo)系中 已知 則 2 空間兩點(diǎn)間的距離公式 2 兩個(gè)向量夾角公式 注意 1 當(dāng)時(shí) 同向 2 當(dāng)時(shí) 反向 3 當(dāng)時(shí) 練1 在空間直角坐標(biāo)系中 已知 求與所成的角的余弦值 練2如圖 在正方體中 求與所成的角的余弦值 3 2 1立體幾何中的向量方法 方向向量與法向量 A P 直線的方向向量 直線 的向量式方程 換句話說(shuō) 直線上的非零向量叫做直線的方向向量 一 方向向量與法向量 2 平面的法向量 l 平面 的向量式方程 換句話說(shuō) 與平面垂直的非零向量叫做平面的法向量 例1 如圖所示 正方體的棱長(zhǎng)為1直線OA的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為 平面OABC的一個(gè)法向量坐標(biāo)為 平面AB1C的一個(gè)法向量坐標(biāo)為 1 1 1 0 0 1 1 0 0 令x y z中某個(gè)為定值 練習(xí)如圖 在四棱錐P ABCD中 底面ABCD是正方形 側(cè)棱PD 底面ABCD PD DC 1 E是PC的中點(diǎn) 求平面EDB的一個(gè)法向量 A B C D P E 解 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)平面EDB的法向量為 因?yàn)榉较蛳蛄颗c法向量可以確定直線和平面的