2013年江門佛山兩市普通高中高三教學質量檢測 數 學（文科） 2013.4本試卷共4頁，21小題，滿分150分考試用時120分鐘注意事項：1答卷前，考生要務必填寫答題卷上密封線內的有關項目2選擇題每小題選出答案后，用鉛筆把答案代號填在答題卷對應的空格內3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區域內；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答的答案無效4請考生保持答題卷的整潔考試結束后，將答題卷交回參考公式：棱錐的體積公式：一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1設集合，集合，則等于A B C D 2已知復數的實部為，且，則復數的虛部是A B C D 3已知命題：，那么是A，B， C，D，4為了解一片速生林的生長情況，隨機測量了其中100株樹木的底部周長（單位：cm）根據所得數據畫出樣本的頻率分布直方圖（如右），那么在這100株樹木中，底部周長小于110cm的株數是 A30 B60 90110周長(cm) 頻率/組距1001201300.010.020.0480第4題圖C70 D805函數，,則A為偶函數，且在上單調遞減;B為偶函數，且在上單調遞增;C為奇函數，且在上單調遞增;D為奇函數，且在上單調遞減.6設等比數列的前項和為，則“”是“”的 A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件7已知冪函數，當時，恒有，則的取值范圍是A B C D8設、是不同的直線，、是不同的平面，有以下四個命題： 若 則 若，則 若，則 若，則其中真命題的序號是A B C D 9直線與不等式組表示平面區域的公共點有A0個 B1個 C2個 D無數個10已知平面上的線段及點，在上任取一點，線段長度的最小值稱為點到線段的距離，記作設是長為2的線段，點集所表示圖形的面積為A. B. C. D. 二、填空題：本大共5小題考生作答4小題，每小題5分，滿分20分（一）必做題(1113題)11已知向量滿足, ,則向量與的夾角為 .12已知圓經過點和,且圓心在直線上,則圓的方程為 . 第13題圖13將集合|且中的元素按上小下大，左小右大的原則排成如圖的三角形數表，將數表中位于第行第列的數記為（）,則= . (二)選做題(1415題，考生只能從中選做一題)第15題圖14（坐標系與參數方程）在極坐標系中，設曲線與的交點分別為，則線段的垂直平分線的極坐標方程為 15（幾何證明選講）如圖，圓的直徑，直線與圓O相切于點， 于D，若，設，則_三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟16（本題滿分12分）在平面直角坐標系中，以為始邊，角的終邊與單位圓的交點在第一象限，已知.（1）若,求的值. （2）若點橫坐標為,求.17（本題滿分12分）市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就讀的小學在丙地,三地之間的道路情況如圖所示.假設工作日不走其它道路,只在圖示的道路中往返,每次在路口選擇道路是隨機的.同一條道路去程與回程是否堵車互不影響.假設李生早上需要先開車送小孩去丙地小學，再返回經甲地趕去乙地上班，第17題圖乙甲丙（1）寫出李生可能走的所有路線；（比如DDA表示走D路從甲到丙，再走D路回到甲，然后走A路到達乙）;（2）假設從甲到乙方向的道路B和從丙到甲方向的道路D道路擁堵，其它方向均通暢，但李生不知道相關信息，那么從出發到回到上班地沒有遇到過擁堵的概率是多少？ 18（本題滿分14分）第18題圖如圖，在四棱柱中， 已知底面是邊長為的正方形， 側棱垂直于底面，且 （1）點在側棱上，若， 求證：平面； （2）求三棱錐的體積19（本題滿分14分）已知橢圓和拋物線有公共焦點, 的中心和的頂點都在坐標原點，直線過點. （1）寫出拋物線的標準方程；（2）若坐標原點關于直線的對稱點在拋物線上，直線與橢圓有公共點，求橢圓的長軸長的最小值.20（本題滿分14分）環保刻不容緩，或許人類最后一滴水將是自己的淚水.某地水資源極為緊張，且受工業污染嚴重，預計年后該地將無潔凈的水可用.當地決定重新選址建設新城區，同時對舊城區進行拆除.已知舊城區的住房總面積為，每年拆除的數量相同；新城區計劃第一年建設住房面積，前四年每年以的增長率建設新住房，從第五年開始，每年都比上一年增加.設第)年新城區的住房總面積為，該地的住房總面積為. （1）求的通項公式；（2）若每年拆除，比較與的大小.21（本題滿分14分）已知函數，是常數.（1）求的單調區間；（2）若有極大值，求的取值范圍.2013年江門佛山兩市普通高中高三教學質量檢測 數 學（文科） 評分參考一、填空題 BDBCACBDBD二、填空題11 12 1314（或） 15三、解答題16解法1、由題可知：， 1分， 2分，得 3分， 4分解法2、由題可知：， 1分， 2分， 3分， 得 4分解法3、設，（列關于x、y的方程組2分，解方程組求得x、y的值1分，求正切1分）解法1、由， 記， ，（每式1分） 6分 ，得（列式計算各1分） 8分（列式計算各1分） 10分（列式計算各1分） 12分解法2、由題意得：的直線方程為 6分則 即（列式計算各1分） 8分則點到直線的距離為（列式計算各1分） 10分又，（每式1分）12分解法3、 即 （每式1分） 6分即：， ， 7分，9分（模長、角的余弦各1分） 10分則（列式計算各1分） 12分解法4、根據坐標的幾何意義求面積（求B點的坐標2分，求三角形邊長2分，求某個內角的余弦與正弦各1分，面積表達式1分，結果1分）17李生可能走的所有路線分別是：DDA，DDB，DDC，DEA，DEB，DEC，EEA，EEB，EEC，EDA，EDB，EDC（1-2個1分，3-5個2分，5-7個3分，7-11個4分，） 5分共12種情況 6分從出發到回到上班地沒有遇到過擁堵的走法有：DEA，DEC，EEA，EEC 7分共4種情況， 8分所以從出發到回到上班地沒有遇到過擁堵的概率（文字說明1分）12分18解法1、依題意，在中， 1分同理可知， （每式1分） 3分所以， 4分則， 5分同理可證， 6分由于，平面，平面， 7分所以，平面 8分解法2、由（或）和證明平面（證明任何一個線線垂直關系給5分，第二個線線垂直關系給1分）解法1、（第8題圖1）（第18題圖2）如圖1，易知三棱錐的體積等于四棱柱的體積減去四個體積相等的三棱錐的體積，即（文字說明1分）11分 13分 14分解法2、依題意知，三棱錐的各棱長分別是，（每式1分）10分如圖2，設的中點為，連接，則，且，于是平面， 12分設的中點為，連接，則，且，則三角形的面積為， 13分所以，三棱錐的體積 14分19由題意，拋物線的焦點，則 2分所以方程為： 3分解法1、設，則中點為， 4分因為兩點關于直線對稱，所以（每方程1分）6分即，解之得， 7分將其代入拋物線方程，得：，所以（列式計算各1分）9分聯立 ，消去，得： 11分由，得， 12分注意到，即，所以，即， 13分因此，橢圓長軸長的最小值為. 14分解法2、設 ，因為兩點關于直線對稱，則， 5分即，解之得 6分即,根據對稱性,不妨設點在第四象限，且直線與拋物線交于 如圖.則,于是直線方程為（討論、斜率與方程各1分） 9分聯立 ，消去，得： 11分由，得， 12分注意到，即，所以，即， 13分因此，橢圓長軸長的最小值為. 14分20設第年新城區的住房建設面積為，則當時，；1分當時，. 2分所以, 當時， 3分當時，（列式1分）5分故 6分時，顯然有 7分 時，此時. 8分 時，（每式1分）10分. 11分所以,時，；時，.時，顯然13分（對1-2種情況給1分，全對給2分）故當時，；當 時，. 14分21 1分設，其判別式 2分當時，,在定義域上是增函數； 3分當時，由解得： （每個根1分）5分當時，；又，故，即在定義域上有兩個零點在區間上， 為上的增函數在區間上，為上的增函數在區間上，,為上的增函數. 6分當時，在區間上，；在區間上， 7分當時，函數的定義域是，在上有零點，在上有零點；在區間和上，在和上為增函數；在區間和上，在和上位減函數. 8分綜上: 當時,函數的遞增區間是；當時, 的遞增區間是和,遞減區間是；當時，的遞減區間是；遞增區間是；當時，的遞減區間和,