2000上海高考數學試卷考生注意：本試卷共有22道試題，滿分150分一、填空題（本大題滿分為48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分。1已知向量(1，2)、=(3，m)，若，則m= 。2函數，的定義域為 。3圓錐曲線的焦點坐標是 。4計算：= 。5已知的反函數為的圖象經過點，則= 。6根據上海市人大十一屆三次會議上的市政府工作報告，1999年上海市完成GDP(GDP是指國內生產總值)4035億元，2000年上海市GDP預期增長9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增長率將控制在0.08%，若GDP與人口均按這樣的速度增長，則要使本市年人均GDP達到或超過1999年的2倍，至少需 年。（按：1999年本市常住人口總數約1300）7命題A：底面為正三角形，且頂點在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐，命題A的等價題B可以是：底面為正三角形，且 的三棱錐是正三棱錐。8設函數是最小正周期為2的偶函數，它在區間0，1上的圖象為如圖所示的線段，則在區間1，2上= 。9在二項式的展開式中，系數最小的項的系數為 ，（結果用數值表示）10有紅、黃、藍三種顏色的旗幟各3面，在每種顏色的3面旗幟上分別標上號碼1、2和3，現任取出3面，它們的顏色與號碼均不相同的概率是 。11在極坐標系中，若過點(3，0)且與極軸垂直的直線交曲線兩點，則 。12在等差數列中，若，則有等式成立，類比上述性質，相就奪：在等此數列中，若，則有等式 成立。二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內，選對得4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括號內），一律得零分。13復數答（ ）14設有不同的直線、和不同的平面、，給出下列三個命題：（1）若，則。 （2）若，則。（3）若,，則。其中正確的個數是（A）0 （B）1 （C）2 （D）3答（ ）15若集合是：.答（ ）16下列命題中正確的命題是（A）若點為角終邊上一點，則。（B）同時滿足的角有且只有一個。（C）當時，的值恒正。（D）三角方程的解集為。答（ ）三、解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。17（本題滿分12分）已知橢圓的焦點分別為，長軸長為6，設直交橢圓于、兩點，求線段的中點坐標。解18（本題滿分12分）如圖所示四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中點，異面直線AD與BE所成的角的大小為，求四面體ABCD的體積。解19（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。已知函數。（1）當時，求函數的最小值：（2）若對任意恒成立，試求實數的取值范圍。解（1）解（2）20（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分10分。根據指令，機器人在平面上能完成下列動作：先原地旋轉角度（為正時，按逆時針方向旋轉，為負時，按順時針方向旋轉），再朝其面對的方向沿直線行走距離。（1）現機器人在直角坐標系的坐標原點，且面對軸正方向，試給機器人下一個指令，使其移動到點（4，4）。（2）機器人在完成該指令后，發現在點（17，0）處有一小球正向坐標原點作勻速直線滾動，已知小球滾動的速度為機器人直線行走速度的2倍，若忽略機器人原地旋轉所需的時間，問機器人最快可在何處截住小球？并給出機器人截住小球所需的指令（結果精確到小數點后兩位）。解（1）解（2）21（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分。在XOY平面上有一點列對每個自然數，點，位于函數的圖象上，且點，點構成一個以為頂點的等腰三角形。（1）求點的縱坐標的表達式。（2）若對每個自然數，以，為邊長能構成一個三角形，求取值范圍。（3）設，若取（2）中確定的范圍內的最小整數，求數列的最大項的項數。解（1）解（2）解（3）22（本小題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。已知復數均為實數，為虛數單位，且對于任意復數。（1）試求的值，并分別寫出和用、表示的關系式；（2）將(、)作為點的坐標，(、)作為點的坐標，上述關系可以看作是坐標平面上點的一個變換：它將平面上的點變到這一平面上的點，當點在直線上移動時，試求點經該變換后得到的點的軌跡方程；（3）是否存在這樣的直線：它上面的任一點經上述變換后得到的點仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由。解（1）解（2）解（3）2000上海高考數學試卷答案說明1本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評分標準的精神進行評分。2評閱試卷，應堅持每題評閱以底，不要因為考生的解稱中出現錯誤而中斷對該題的評閱，當考生的解答在某一步出現錯誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一題的內容和難度時，可視影響程度決定后面部分的給分，這時原則上不應超過后面部分應給分數之半，如果有較嚴重的概念性錯誤，就不給分。3第17至第22題中右端所注的分數，表示考生正確做到這一步應得的該題的累加分數，給分或扣分均以1分為單位。解答一、（第1題至第12題）每一題正確的給4分，否則一律得零分。14 2 3(4，0)，(6，0)。 4。 51 69 7側棱相等/側棱與底面所成角相等/ 8X 9462。 10 11 12二、（第13題至第16題）第一題正確的給4分。題號13141516代號CAAD三、（第17題至第22題）17解設橢圓C的方程為由題意因為該二次方程的判別式0，所以直線與橢圓有兩個不同交點， （8分）設18解法一如圖建立空間直角坐標系 （2分）由題意，有A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(1，1，0)。設D點的坐標為(0，0，z)，則又解法二過A引BE的平行線，交與CB的延長線于F，DAF是異面直線BE與AD所成的角，DAF= （4分）E是AC的中點，B是CF的中點，AF=2BE=。 （6分）又BF，BA分別是DF，DA的射影，且BF=BC=BA。DF=DA。 （8分）三角形ADF是等腰三角形，故， （10分）又，因此四面體ABCD的體積是， （12分）19解（1）當，在區間上為增函數， （3分）地區間上最小值為， （6分）（2）解法一在區讓上，恒成立， （8分）設，遞增，當時， （12分）于是當且僅當時，函數恒成立，故。 （14分）（2）解法二，當時，函數的值恒為正， （8分）當時，函數遞增，故當， （12分）于是當且僅當時，函數恒成立，故。 （14分）20解（1），得指令為， （4分）（2）設機器人最快在點處截住小球 （6分）則因為小球速度是機器人速度的2倍，所以在相同時間內有，（8分）。即，得或，要求機器人最快地去截住小球，即小球滾動距離最短，故機器人最快可在點處截住小球， （10分）所給的指令為， （14分）21解（1）由題意， （4分）解（2）函數遞減，對每個自然數n，有，則以為邊長能構成一個三角形的充要條件是，即 （7分）解得或 ， （10分）解（3） （12分）數列是一個遞減的正數數列，對每個自然數，于是當時，當時，因此，數列的最大項的項數滿足不等式且。22解（1）由題設，于是由， （3分）因此由，得關系式 （5分）解（2）設點在直線上，則其經變換后的點滿足， （7分）消去，得，故點的軌跡方程為 （10分）解（3）假設存在這樣的直線，平行坐標軸的直線顯然不滿足條件，所求直線可設為， （12分）解法一該直線上的任一點，其經變