典型應用題一、求平均數應用題基本數量關系：總數量總份數=平均數1、星火化肥廠在2000年后4個月生產數量如下：2800噸、2820噸、2840噸、2900噸。這4個月平均每月生產化肥多少噸？ 2、有水果糖5千克，每千克2.4元；奶糖4千克，每千克3.2元；軟糖11千克，每千克4.2元。將這些糖混合成什錦糖，這種什錦糖每千克多少元？ 3、前進小鋼廠有一座煉鋼爐，前3天每天煉鋼830千克，后5天每天煉鋼850千克。求平均每天煉鋼多少千克？ 4、小明在期末四門功課的考試中平均分90分，加上歷史成績后，他五門功課的平均分數下降了2分，小明歷史成績是多少分？ 5、甲、乙、丙三個學生各拿出同樣多的錢合買同樣單價的練習本。買來之后，甲與乙都比丙多要6本，因此，甲、乙分別給丙人民幣0.96元。求每本練習本的單價是多少元？ 二、歸一問題應用題【含義】 在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題。【數量關系】 總量份數1份數量 1份數量所占份數所求幾份的數量 另一總量（總量份數）所求份數【解題思路和方法】 先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數量。例1 買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？ 解（1）買1支鉛筆多少錢？ 0.650.12（元） （2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12161.92（元） 列成綜合算式 0.65160.12161.92（元） 答：需要1.92元。例2 3臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6 天耕地多少公頃？解（1）1臺拖拉機1天耕地多少公頃？ 903310（公頃） （2）5臺拖拉機6天耕地多少公頃？ 1056300（公頃） 列成綜合算式 9033561030300（公頃） 答：5臺拖拉機6 天耕地300公頃。例3 5輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？解 （1）1輛汽車1次能運多少噸鋼材？ 100545（噸） （2）7輛汽車1次能運多少噸鋼材？ 5735（噸） （3）105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？ 105353（次） 列成綜合算式 105（100547）3（次） 答：需要運3次。1、奔康化肥廠6天生產化肥510噸，照這樣計算28天半生產化肥多少噸？ 2、王師傅計劃加工552個零件。前5天加工零件345個，照這樣計算，這批零件還要多少天才能加工完？ 3、某機床廠第一車間的職工用18臺車床2小時生產機器零件720件，20臺這樣的車床3小時可以生產機器零件多少件？ 4、某車間接到任務，要在15天制造12000個機器零件。后來，任務增加了1倍，日產量也提高到1.2倍。這樣幾天可以完成？ 三、倍比問題應用題【含義】 有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數，再用倍比的方法算出要求的數，這類應用題叫做倍比問題。 【數量關系】 總量一個數量倍數 另一個數量倍數另一總量【解題思路和方法】 先求出倍數，再用倍比關系求出要求的數。例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，現在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？解 （1）3700千克是100千克的多少倍？ 370010037（倍）（2）可以榨油多少千克？ 40371480（千克）列成綜合算式 40（3700100）1480（千克） 答：可以榨油1480千克。例2 今年植樹節這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？解 （1）48000名是300名的多少倍？ 48000300160（倍）（2）共植樹多少棵？ 40016064000（棵）列成綜合算式 400（48000300）64000（棵） 答：全縣48000名師生共植樹64000棵。例3 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？解 （1）800畝是4畝的幾倍？ 8004200（倍）（2）800畝收入多少元？ 111112002222200（元）（3）16000畝是800畝的幾倍？1600080020（倍）（4）16000畝收入多少元？ 22222002044444000（元）答：全鄉800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。1、紅旗印刷廠裝訂車間7天裝訂13.5萬冊。照這樣計算，裝訂40.5萬冊需要幾天？ 2、某機器廠制造一種零件，制造每個零件所用的時間由原來的8分鐘減少到2.5分鐘，過去每天生產零件60個，現在每天生產多少個零件？ 3、一列火車，從甲站經過乙站開往丙站。從甲站到乙站有205千米，行了3個小時，用同樣的速度繼續開往丙站，又行了2小時，從乙站到丙站有多少千米？ 四、歸總問題應用題【含義】 解題時，常常先找出“總數量”，然后再根據其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產量、幾小時行的總路程等。【數量關系】 1份數量份數總量 總量1份數量份數 總量另一份數另一每份數量【解題思路和方法】 先求出總數量，再根據題意得出所求的數量。例1 服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現在可以做多少套？ 解 （1）這批布總共有多少米？ 3.27912531.2（米） （2）現在可以做多少套？ 2531.22.8904（套） 列成綜合算式 3.27912.8904（套） 答：現在可以做904套。例2 小華每天讀24頁書，12天讀完了紅巖一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完紅巖？ 解 （1）紅巖這本書總共多少頁？ 2412288（頁） （2）小明幾天可以讀完紅巖？ 288368（天） 列成綜合算式 2412368（天） 答：小明8天可以讀完紅巖。例3 食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？ 解 （1）這批蔬菜共有多少千克？ 50301500（千克） （2）這批蔬菜可以吃多少天？ 1500（5010）25（天） 列成綜合算式 5030（5010）15006025（天） 答：這批蔬菜可以吃25天。歸總應用題的特點是先求出總數，再根據應用題的要求，求出每份是多少，或有這樣的幾份。1、工人裝一批電桿，每天裝12根，30天可以完成。如果每天裝15根，要幾天能完成？ 2、工人裝一批電桿，每天裝12根，30天可以完成。如果要求24天完成，平均每天要裝多少根？ 3、一個工程隊修一條公路，原計劃每天修450米，80天完成。現在要求提前20天完成，平均每天修多少米？ 4、農具廠生產一批小農具，原計劃每天生產120件，28天可以完成任務，實際每天多生產了20件可以提前幾天完成任務？ 5、裝運一批糧食，原計劃用每輛裝24袋的汽車9輛15次可以運完，現在改用每輛可裝30袋的汽車6輛來運糧食，幾次可以運完糧食？ 6、修整一條水渠，原計劃由8人修，每天工作7.5小時，6天可以完成任務，由于急需灌水，增加了2人，要求4天完成，每天要工作幾小時？ 7、一項工程，預計30人15天可以完成任務。后來工作4天后，又增加3人。如果每人工作效率相同，這樣可以提前幾天完成任務？ 8、一個農場計劃28天完成收割任務，由于每天多收割7公頃，結果18天完成了任務。實際每天收割多少公頃？9、休養所準備了120人30天的糧食，5天后又新來30人，余下的糧食還夠吃多少天？ 10、一項工程原計劃8個人每天工作6小時，10天可以完成。現在為加快工程進度，增加22人，每天工作時間增加2小時，這樣可以提前幾天完成這項工程？ 五、和差問題應用題【含義】 已知兩個數量的和與差，求這兩個數量各是多少，這類應用題叫和差問題。【數量關系】 大數（和差） 2 小數（和差） 2【解題思路和方法】 簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。例1 甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？ 解 甲班人數（986）252（人） 乙班人數（986）246（人） 答：甲班有52人，乙班有46人。例2 長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。 解 長（182）210（厘米） 寬（182）28（厘米） 長方形的面積 10880（平方厘米） 答：長方形的面積為80平方厘米。例3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。 解 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（3230）2千克，且甲是大數，丙是小數。由此可知 甲袋化肥重量（222）212（千克） 丙袋化肥重量（222）210（千克） 乙袋化肥重量321220（千克） 答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。例4 甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？ 解 “從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數，乙車是小數，甲與乙的差是（1423），甲與乙的和是97，因此 甲車筐數（971423）264（筐） 乙車筐數976433（筐） 答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。基本方法是：（和+差）2=大數 （和差）2=小數1、甲、乙兩個倉庫共存大米42噸，如果從甲倉庫調3噸大米到乙倉庫，兩個倉庫的大米正好同樣多。求原來兩倉庫各有大米多少噸？2、甲、乙兩人合做零件2小時，共生產零件110個，如果分別工作5小時，甲比乙多生產25個零件。求甲、乙每小時各做多少個零件？ 3、有300根自行輻條，安裝4輛自行車后，還剩12根輻條，前圈后圈每個8根輻條，求每個前、后圈各有車條多少根輻條？ 4、兩個倉庫共存棉花4030包，后來從第一倉庫運出300包棉花，往第二倉庫運進270包棉花，結果第一倉庫的棉花比第二倉庫棉花多100包，兩倉庫原來有棉花多少包？ 六、和倍問題應用題【含義】 已知兩個數的和及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做和倍問題。【數量關系】 總和 （幾倍1）較小的數 總和 較小的數 較大的數 較小的數 幾倍 較大的數【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例1 果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？ 解 （1）杏樹有多少棵？ 248（31）62（棵） （2）桃樹有多少棵？ 623186（棵） 答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。例2 東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數是西庫存糧數的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？ 解 （1）西庫存糧數480（1.41）200（噸） （2）東庫存糧數480200280（噸） 答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。例3 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數是甲站的2倍？ 解 每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當于每天從甲站開往乙站（2824）輛。把幾天以后甲站的車輛數當作1倍量，這時乙站的車輛數就是2倍量，兩站的車輛總數（5232）就相當于（21）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數減少為 （5232）（21）28（輛） 所求天數為 （5228）（2824）6（天） 答：6天以后乙站車輛數是甲站的2倍。例4 甲乙丙三數之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數各是多少？ 解 乙丙兩數都與甲數有直接關系，因此把甲數作為1倍量。 因為乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數就變成甲數的2倍； 又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數減去6就變為甲數的3倍； 這時（17046）就相當于（123）倍。那么， 甲數（17046）（123）28 乙數282452 丙數283690 答：甲數是28，乙數是52，丙數是90。兩數和兩數的倍數和=一倍數的量（小數）一倍數量倍數=幾倍的數（大數）1、甲、乙兩個數的和是7106，甲數的百位和十位上的數是8，乙數百位和十位上的數字是2，如果用0代替這兩個數里的這些8和2，那么，所得甲數是乙數的5倍，原來甲、乙兩個數各是多少？ 2、某校四、五年級共有學生165人，四年級學生人數比五年級的2倍少6人，問四、五年級各有學生多少人？ 3、姐姐有小人書40本，妹妹有小人書50本，問姐姐要給妹妹多少本小人書，才能使妹妹的小人書是姐姐的2倍？ 七、差倍問題應用題【含義】 已知兩個數的差及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做差倍問題。【數量關系】 兩個數的差（幾倍1）較小的數 較小的數幾倍較大的數【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例1 果園里桃樹的棵數是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？ 解 （1）杏樹有多少棵？ 124（31）62（棵） （2）桃樹有多少棵？ 623186（棵） 答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。例2 爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？ 解 （1）兒子年齡27（41）9（歲） （2）爸爸年齡9436（歲） 答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。例3 商場改革經營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？ 解 如果把上月盈利作為1倍量，則（3012）萬元就相當于上月盈利的（21）倍，因此 上月盈利（3012）（21）18（萬元）本月盈利183048（萬元） 答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。例4 糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？ 解 由于每天運出的小麥和玉米的數量相等，所以剩下的數量差等于原來的數量差（13894）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（13894）就相當于（31）倍，因此 剩下的小麥數量（13894）（31）22（噸） 運出的小麥數量942272（噸） 運糧的天數7298（天） 答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。差（倍數1）=標準數（一倍數）差（倍數1）倍數=比較數（幾倍數）差（倍數1）（1+倍數）=差倍求和1、李師傅生產的零件個數是徒弟的6倍，如果兩人各再生產20個，那么師傅生產的零件的個數是徒弟的4倍，兩人原來各生產零件多少個？ 2、向陽村收割小麥，第二天比第一天多收1.29公頃，第二天收割的公頃數是第一天的3倍，求兩天各收小麥多少公頃？ 3、學校閱覽室里有兩個書櫥，甲櫥放的書是乙櫥的3倍，甲櫥的書借出170本，乙櫥的書借出10本，這是兩櫥所剩下書正好相等，求兩櫥原來各有書多少本？ 4、父親比兒子年齡大24歲，已知6年后父親年齡為兒子的3倍，那么現在父親和兒子的年齡各為多少歲？ 八、年齡問題應用題【含義】 這類問題是根據題目的內容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數關系隨著年齡的增長在發生變化。【數量關系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。【解題思路和方法】 可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。例1 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？解 3557（倍） （35+1）（5+1）6（倍） 答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。例2 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？解 （1）母親比女兒的年齡大多少歲？ 37730（歲）（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30（41）73（年）列成綜合算式 （377）（41）73（年） 答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。例3 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？解 今年父子的年齡和應該比3年前增加（32）歲，今年二人的年齡和為 493255（歲）把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當于（41）倍，因此，今年兒子年齡為 55（41）11（歲）今年父親年齡為 11444（歲） 答：今年父親年齡是44歲，兒子年齡是11歲。例4 甲對乙說：“當我的歲數曾經是你現在的歲數時，你才4歲”。乙對甲說：“當我的歲數將來是你現在的歲數時，你將61歲”。求甲乙現在的歲數各是多少？解這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析： 過去某一年今 年將來某一年 甲 歲 歲 61歲 乙 4歲 歲 歲 表中兩個“”表示同一個數，兩個“”表示同一個數。 因為兩個人的年齡差總相等：461，也就是4，61成等差數列，所以，61應該比4大3個年齡差，因此二人年齡差為 （614）319（歲） 甲今年的歲數為 611942（歲） 乙今年的歲數為 421923（歲） 答：甲今年的歲數是42歲，乙今年的歲數是23歲。年齡問題的主要特點是大小年齡差是個不變量，隨時間的變化，倍數關系會發生變化。1、小紅今年11歲，她爸爸今年43歲，幾年以后，爸爸的年齡是小紅年齡的3倍？ 2、小剛說：“去年爸爸比媽媽大4歲，我比媽媽小26歲”，你算一算，今年小剛爸爸比小剛大多少歲？ 3、老張、阿明和小紅三人共91歲，已知阿明22歲，是小紅齡的2倍，問老張多少歲？ 4、張強兩歲時，他的父親是32歲，張強的年齡是父親的 的那一年，父親去世，問他父親活了多大歲數？ 九、還原問題應用題這種解答方法通常也做“逆推法”或叫“逆推運算問題”，采用正面列出數量關系式，再用逆算方法得出原數。1、自由市場上一農婦出售籃中雞蛋，第二次售出總數一半又8個，第二次售出上次所余的一半又4個，第三次售出第二次余下的一半又5個，這時籃還余下4個雞蛋。該農婦籃中原有雞蛋多少個？ 2、某教師的教齡增加4年以后再乘以5，比他教齡的3倍還多92年。這位教師的教齡有幾年？ 十、植樹問題應用題【含義】 按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。【數量關系】 線形植樹 棵數距離棵距1 環形植樹 棵數距離棵距 方形植樹 棵數距離棵距4 三角形植樹 棵數距離棵距3 面積植樹 棵數面積（棵距行距）【解題思路和方法】 先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。例1 一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解 1362168169（棵） 答：一共要栽69棵垂柳。例2 一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？解 4004100（棵） 答：一共能栽100棵白楊樹。例3 一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？解 2204841104106（個） 答：一共可以安裝106個照明燈。例4 給一個面積為96平方米的住宅鋪設地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？解 96（0.60.4）960.24400（塊） 答：至少需要400塊地板磚。例5 一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？解 （1）橋的一邊有多少個電桿？ 50050111（個）（2）橋的兩邊有多少個電桿？ 11222（個）（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22244（盞） 答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。總距離間隔長+1=棵數 間隔長（棵數1）=總距離總距離（棵數1）=間隔長 圓周植樹：總距離間隔長=棵數間隔長棵數=總距離 總距離棵數=間隔長1、在一條路的一側每隔40米豎一根電線桿，從路的起點到終點一共豎立了52根，問這條路全長多少米？ 2、在一個半徑是125米的圓形花園周圍，以等距離種白楊樹157棵，求相鄰兩樹間的距離是多少？ 3、綠化組原計劃在馬路的一側每隔9米種一棵樹，連兩頭在內共能種81棵樹。今改變計劃，結果用等距離種樹121棵。求現在兩樹間的棵距？ 十一、雞兔同籠問題應用題【含義】 這是古典的算術問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。【數量關系】第一雞兔同籠問題： 假設全都是雞，則有 兔數（實際腳數2雞兔總數）（42） 假設全都是兔，則有 雞數（4雞兔總數實際腳數）（42） 第二雞兔同籠問題： 假設全都是雞，則有 兔數（2雞兔總數雞與兔腳之差）（42） 假設全都是兔，則有 雞數（4雞兔總數雞與兔腳之差）（42） 【解題思路和方法】 解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞；如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。 例1 長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數數頭有三十五，腳數共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？ 解 假設35只全為兔，則 雞數（43594）（42）23（只） 兔數352312（只） 也可以先假設35只全為雞，則 兔數（94235）（42）12（只） 雞數351223（只） 答：有雞23只，有兔12只。 例2 2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？ 解 此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題。“每畝菠菜施肥（12）千克”與“每只雞有兩個腳”相對應，“每畝白菜施肥（35）千克”與“每只兔有4只腳”相對應，“16畝”與“雞兔總數”相對應，“9千克”與“雞兔總腳數”相對應。假設16畝全都是菠菜，則有 白菜畝數（91216）（3512）10（畝） 答：白菜地有10畝。 例3 李老師用69元給學校買作業本和日記本共45本，作業本每本 3 .20元，日記本每本0.70元。問作業本和日記本各買了多少本？ 解 此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設45本全都是日記本，則有 作業本數（690.7045）（3.200.70）15（本） 日記本數451530（本） 答：作業本有15本，日記本有30本。 例4 （第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？ 解 假設100只全都是雞，則有 兔數（210080）（42）20（只） 雞數1002080（只） 答：有雞80只，有兔20只。 例5 有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？ 解 假設全為大和尚，則共吃饃（3100）個，比實際多吃（3100100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（31/3）個。因此，共有小和尚 （3100100）（31/3）75（人） 共有大和尚 1007525（人） 答：共有大和尚25人，有小和尚75人。計算時的主要數量關系是：（實際的腳數一每只雞的腳數雞兔總數）（每一只雞兔腳數的差）=兔的只數（每只兔的腳數雞兔總數一實際的腳數）（每一只雞兔腳數的差）=雞的只數1、前進村的副業組共養雞兔400只，足數共1000只，副業組養雞、兔各多少只？ 2、東門的農機廠年終結算，生產拖拉機、電犁共350臺，盈余1000000元，扣除成本，每臺拖拉機盈余8000元，每臺電犁盈余2000元。東門農機廠生產拖拉機和電犁各多少臺？ 3、某百貨公司委托鐵路局運1000塊玻璃，議定每塊運費5角，如損失一塊，不但沒有運費，并且要賠償成本3元5角，貨運到目的地后，鐵路局得運費480元。求損壞的玻璃有多少塊？ 4、一個芭蕾舞劇團赴省外演出，休息一天就要付60元的劇場租金，演出一天，扣去場租、雜項開支，平均可收入240元。現租用劇場30元，演出共收入4200元，這個舞劇團共演出多少天？ 十二、最大公約數與最小公倍數應用題【含義】 需要用公約數、公倍數來解答的應用題叫做公約數、公倍數問題。 【數量關系】 絕大多數要用最大公約數、最小公倍數來解答。 【解題思路和方法】 先確定題目中要用最大公約數或者最小公倍數，再求出答案。最大公約數和最小公倍數的求法，最常用的是“短除法”。 例1 一張硬紙板長60厘米，寬56厘米，現在需要把它剪成若干個大小相同的最大的正方形，不許有剩余。問正方形的邊長是多少？ 解 硬紙板的長和寬的最大公約數就是所求的邊長。 60和56的最大公約數是4。 答：正方形的邊長是4厘米。 例2 甲、乙、丙三輛汽車在環形馬路上同向行駛，甲車行一周要36分鐘，乙車行一周要30分鐘，丙車行一周要48分鐘，三輛汽車同時從同一個起點出發，問至少要多少時間這三輛汽車才能同時又在起點相遇？ 解 要求多少時間才能在同一起點相遇，這個時間必定同時是36、30、48的倍數。因為問至少要多少時間，所以應是36、30、48的最小公倍數。 36、30、48的最小公倍數是720。 答：至少要720分鐘（即12小時）這三輛汽車才能同時又在起點相遇。 例3 一個四邊形廣場，邊長分別為60米，72米，96米，84米，現要在四角和四邊植樹，若四邊上每兩棵樹間距相等，至少要植多少棵樹？ 解 相鄰兩樹的間距應是60、72、96、84的公約數，要使植樹的棵數盡量少，須使相鄰兩樹的間距盡量大，那么這個相等的間距應是60、72、96、84這幾個數的最大公約數12。 所以，至少應植樹 （60729684）1226（棵） 答：至少要植26棵樹。 例4 一盒圍棋子，4個4個地數多1個，5個5個地數多1個，6個6個地數還多1個。又知棋子總數在150到200之間，求棋子總數。 解 如果從總數中取出1個，余下的總數便是4、5、6的公倍數。因為4、5、6的最小公倍數是60，又知棋子總數在150到200之間，所以這個總數為 6031181（個） 答：棋子的總數是181個。解題的關鍵是先求出幾個數的最大公約數或最小公倍數，然后按題意解答要求的問題。1、有三根鐵絲，一根長18米，一根長24米，一根長30米。現在要把它們截成同樣長的小段。每段最長可以有幾米？一共可以截成多少段？ 2、一張長方形紙，長60厘米，寬36厘米，要把它截成同樣大小的正方形，并使它們面積盡可能大。截完后又正好沒有剩余，正方形的邊長最長可以是多少厘米？能截多少個正方形？ 3、用96朵紅玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。如每個花束里的紅玫瑰花的朵數相同，白玫瑰花的朵數了相同，最多可以做多少個花束？每個花束里至少要有多少朵花？ 4、公共汽車站有三路汽車通往不同的地方。第一路車每隔5分鐘發車一次，第二路車每隔10分鐘發車一次，第三路車每隔6分鐘發車一次。三路汽車在同一時間發車以后，最少過多少分鐘再同時發車？ 5、某工廠加工一種零件要經過三道工序。第一道工序每個工人每小時可完成3個；第二道工序每個工人每小時可完成12個；第三道工序每個工人每小時可完成5個。要使流水線能正常生產，各道工序至少安排幾個工人最合理？ 6、一個數除193余4，除1089余9。這個數最大是多少？ 7、公路上有一排電線桿，共25根。每相鄰兩根電線桿間的距離原來都是45米，現在要改為60米，可以有幾根不需要移動？ 十三、差額平分問題應用題通常的解答方法是：先求出兩部分數量的差（差額），再將其差平均分成兩份，取其中一份，補給小數，使兩部分數量相等。1、有甲、乙兩個同學，甲同學有94本書，乙同學有128本書。要使兩同學的本數相等，應從乙同學處拿多少本書給甲同學？ 2、甲班有學生52人，調6人到乙班，兩個班的學生人數相等。乙班原來有學生多少人？ 3、甲倉庫有小麥1584袋，乙倉庫有小麥858袋，每天從甲倉庫運33袋小麥到乙倉庫，幾天后，兩倉庫的小麥袋數相等？ 4、甲、乙、丙三個組各拿出相等的錢去買同樣的數學書。分配時，甲組要22本，乙組要23本，丙組要30本。因此，丙組還給甲組13.5元，丙組還要給乙組多少元？ 5、甲、乙、丙三校合買一批筆記本。分配時，甲校比乙、丙兩校各多買60本，因此，甲校還給乙、丙兩校各160元。每本筆記本多少元？ 6、甲倉庫有糧食100噸，乙倉庫有糧食20噸。從甲倉庫調多少噸到乙倉庫，乙倉庫的糧食是甲倉庫的2倍？ 十四、連續數問題應用題最小數（首項）=和1+2+3+（項數1）項數最大數（末項）=和+1+2+3+（項數1）項數17個連續自然數的和是91，這7個數各是多少？ 26個連續偶數的和為150，這6個偶數各是多少？3有七個連續奇數，第七個數是第二個數的3倍。求各數。 4、有七張電影票，座號是連續的單號，其座號的和是是49，這些票各是多少號？ 十五、重疊問題應用題1、同學們去采集標本。采集昆蟲標本的有32人，采集花草標本的有28人，兩種標本的共有多少人？ 2、某校36個同學在一次數學競賽中，答對第一題的有25人，答對第二題的有20人。兩題都對的有15人。問有幾個同學兩題都不對？ 3、一個班有學生55人，參加體育隊的有32人，參加文藝隊的有27人，每人至少參加一個人。問這個班兩隊都參加的有多少人？4、某班數學、英語期中考試的成績統計如下：英語得100分的有12人，數學得100分的有10人，兩門功課都得100分的有3人，兩門功課都未得100分的有26人。這個班有學生多少人？ 十六、盈虧問題。方法：總數的差所分的差=人數【含義】 根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數或物品數，這類應用題叫做盈虧問題。【數量關系】 一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： 參加分配總人數（盈虧）分配差 如果兩次都盈或都虧，則有： 參加分配總人數（大盈小盈）分配差 參加分配總人數（大虧小虧）分配差【解題思路和方法】 大多數情況可以直接利用數量關系的公式。例1 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？解 按照“參加分配的總人數（盈虧）分配差”的數量關系：（1）有小朋友多少人？ （111）（43）12（人）（2）有多少個蘋果？ 3121147（個） 答：有小朋友12人，有47個蘋果。例2 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？解 題中原定完成任務的天數，就相當于“參加分配的總人數”，按照“參加分配的總人數（大虧小虧）分配差”的數量關系，可以得知原定完成任務的天數為 （26083004）（300260）22（天）這條路全長為 300（224）7800（米） 答：這條路全長7800米。例3 學校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？解 本題中的車輛數就相當于“參加分配的總人數”，于是就有（1）有多少車？ （300）（4540）6（輛）（2）有多少人？ 40630270（人） 答：有6 輛車，有270人。（一）一盈一盡類：盈數（初分的數一再分的數）=人數1、有一堆糖果，分給若干同學，如果每人分2塊，則余15塊，則剛好分完。這堆糖果有多少塊？有幾位同學？ 2、以繩沒井深，如果3折入井，則井外余4米，如果5折入井，則剛好到井口，繩子長多少米？井深幾米？ 3、給小麥施肥，其中2人各施4畝，其余的人各施5畝，則余12畝，如果每人施6畝，則剛好分完。求小麥有多少畝？有多少個人？ （二）一虧一盡類：虧數（初分的數一再分的數）=人數有一堆糖，分給若干位同學，如果每人分10塊，則缺18塊，則剛好分完，這堆糖有幾塊/有幾位同學？ （三）一盈一虧類：（盈+虧）（初分的數一再分的數）=人數1、某生產小組計劃生產一批零件，每小時如果生產240個，最后可多生產360個，每小時如果生產185個，則不足計劃135個，求計劃生產多少個零件/ 2、旅行者行一條路，如果每小時行5千米，則最后余下8千米；如果每小時行7.5千米，則路長不足12千米。求旅行者規定的時間和路長各多少？ （四）兩次皆盈類：（大盈小盈）（初分的數一再分的數）=人數1、鋪一條河堤，如果每天鋪260米，則最后超出規定的堤長600米，如果每天鋪300米，則最后比規定的堤長出1800米，求堤長。 2、以繩沒井深，把繩3折入井底，井口上余4.5米。如果4折入井底，則井口上余0.5米。求井深幾米？（五）兩次皆虧類：（大虧小虧）（初分數一再分的數）=人數1、挖一條水渠，如果每人挖24米，則渠長不足120米；如果每人挖30米，則渠長不足300米，求挖渠的人數和渠長。 2、小蘭讀一本小說，如果每天讀25頁，最后一天只能讀16天；如果每天讀30頁，則差6頁就能提前2天讀完，這本書有多少頁？ 十七、行程問題。（一）相遇問題。路程和速度和=相遇時間【含義】 兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。【數量關系】 相遇時間總路程（甲速乙速） 總路程（甲速乙速）相遇時間【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。 例1 南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經過幾小時兩船相遇？解 392（2821）8（小時） 答：經過8小時兩船相遇。例2 小李和小劉在周長為400米的環形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發，反向而跑，那么，二人從出發到第二次相遇需多長時間？解 “第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為4002 相遇時間（4002）（53）100（秒） 答：二人從出發到第二次相遇需100秒時間。例3 甲乙二人同時從兩