.變速問題教學目標1、 能夠利用以前學習的知識理清變速變道問題的關鍵點2、 能夠利用線段圖、算術、方程方法解決變速變道等綜合行程題。3、 變速變道問題的關鍵是如何處理“變”知識精講變速變道問題屬于行程中的綜合題，用到了比例、分步、分段處理等多種處理問題等解題方法。對于這種分段變速問題，利用算術方法、折線圖法和方程方法解題各有特點。算術方法對于運動過程的把握非常細致，但必須一步一步來；折線圖則顯得非常直觀，每一次相遇點的位置也易于確定；方程的優點在于無需考慮得非常仔細，只需要知道變速點就可以列出等量關系式，把大量的推理過程轉化成了計算行程問題常用的解題方法有公式法即根據常用的行程問題的公式進行求解，這種方法看似簡單，其實也有很多技巧，使用公式不僅包括公式的原形，也包括公式的各種變形形式；有時條件不是直接給出的，這就需要對公式非常熟悉，可以推知需要的條件；圖示法在一些復雜的行程問題中，為了明確過程，常用示意圖作為輔助工具示意圖包括線段圖和折線圖圖示法即畫出行程的大概過程，重點在折返、相遇、追及的地點另外在多次相遇、追及問題中，畫圖分析往往也是最有效的解題方法；比例法行程問題中有很多比例關系，在只知道和差、比例時，用比例法可求得具體數值更重要的是，在一些較復雜的題目中，有些條件(如路程、速度、時間等)往往是不確定的，在沒有具體數值的情況下，只能用比例解題；分段法在非勻速即分段變速的行程問題中，公式不能直接適用這時通常把不勻速的運動分為勻速的幾段，在每一段中用勻速問題的方法去分析，然后再把結果結合起來；方程法在關系復雜、條件分散的題目中，直接用公式或比例都很難求解時，設條件關系最多的未知量為未知數，抓住重要的等量關系列方程常?？梢皂樌蠼饽K一、變速問題【例 1】 小紅和小強同時從家里出發相向而行。小紅每分走 52 米，小強每分走 70 米，二人在途中的 A 處相遇。若小紅提前 4 分出發，且速度不變，小強每分走 90 米，則兩人仍在 A 處相遇。小紅和小強兩人的家相距多少米？ 【解析】 因為小紅的速度不變，相遇的地點不變，所以小紅兩次從出發到相遇行走的時間不變，也就是說，小強第二次走的時間比第一次少 4 分鐘。（704）（90-70）=14 分鐘 可知小強第二次走了 14分鐘，他第一次走了 144=18 分鐘； 兩人家的距離：（52+70）18=2196（米） 【例 2】 甲、乙兩人沿 400 米環形跑道練習跑步，兩人同時從跑道的同一地點向相反方向跑去。相遇后甲比原來速度增加 2 米秒，乙比原來速度減少 2 米秒，結果都用 24 秒同時回到原地。求甲原來的速度?！窘馕觥?因為相遇前后甲，乙的速度和沒有改變，如果相遇后兩人和跑一圈用 24 秒，則相遇前兩人和跑一圈也用 24 秒。以甲為研究對象，甲以原速V 跑了 24 秒的路程與以（V +2 ）跑了 24 秒的路程之和等于 400米，24V +24（V +2 ）=400 易得V = 米/秒 【例 3】 (2008年日本小學算術奧林匹克大賽)上午點整，甲從地出發勻速去地，點分甲與從地出發勻速去地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到原來的倍，乙速度不變；點分,甲，乙兩人同時到達各自的目的地那么，乙從地出發時是點 分【解析】 點分相遇，此時甲距離地的距離是甲走了分鐘的路程，點分時乙到達目的地，說明乙走這段路程花了分鐘，所以乙的速度是甲速度的兩倍，當甲把速度提高到原速的倍時，此時甲的速度是乙速度的倍，甲從相遇點走到點花了分鐘，因此乙原先花了（分鐘），所以乙是點分出發的【例 4】 （難度等級 ）A、 B 兩地相距 7200 米，甲、乙分別從 A， B 兩地同時出發，結果在距 B 地 2400 米處相遇如果乙的速度提高到原來的 3倍，那么兩人可提前10分鐘相遇，則甲的速度是每分鐘行多少米？【解析】 第一種情況中相遇時乙走了 2400 米，根據時間一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比為 (7200 2400) : 2400 =2 :1，所以第一情況中相遇時甲走了全程的2/3乙的速度提高 3倍后，兩人速度比為 2 : 3，根據時間一定，路程比等于速度之比，所以第二種情況中相遇時甲走了全程的兩種情況相比，甲的速度沒有變化，只是第二種情況比第一種情況少走 10 分鐘，所以甲的速度為 (米/分)【例 5】 （難度等級 ）甲、乙兩車分別從 A， B 兩地同時出發相向而行，6 小時后相遇在 C 點如果甲車速度不變，乙車每小時多行 5 千米，且兩車還從 A， B 兩地同時出發相向而行，則相遇地點距 C 點 12 千米；如果乙車速度不變，甲車速度每小時多行 5 千米，則相遇地點距 C 點 16 千米甲車原來每小時行多少千米？【解析】 設乙增加速度后，兩車在 D 處相遇，所用時間為 T 小時。甲增加速度后，兩車在 E 處相遇。由于這兩種情況，兩車的速度和相同，所以所用時間也相同。于是，甲、乙不增加速度時，經 T 小時分別到達 D、E。DE121628（千米）。由于甲或乙增加速度每小時 5 千米，兩車在 D 或 E 相遇，所以用每小時 5 千米的速度，T 小時 走過 28 千米，從而 T285小時,甲用 6（小時），走過 12 千米，所以甲原來每小時行 1230（千米） 【鞏固】 （難度等級 ）甲、乙二人分別從 A、B 兩地同時出發相向而行，5 小時后相遇在 C 點。如果甲速度不變，乙每小時多行 4 千米，且甲、乙還從 A、B 兩地同時出發相向而行，則相遇點 D 距 C 點 lO 千米；如果乙速度不變，甲每小時多行 3 千米，且甲、乙還從 A、B 兩地同時出發相向而行，則相遇點 E距 C 點 5 千米。問：甲原來的速度是每小時多少千米？ 【解析】 當乙每小時多行 4 千米時，5 小時可以多行 20 千米，所以當兩人相遇后繼續向前走到 5 小時，甲可以走到 C 點，乙可以走到 C 點前面 20 千米。而相遇點 D 距 C 點 lO 千米，因此兩人各走了 10 千米，所以甲乙二人此時速度相等，即原來甲比乙每小時多行 4 千米。 同理可得，甲每小時多行 3 千米時，乙走 5 千米的時間甲可以走 10 千米，即甲的速度是乙的 2 倍。 (4+3)(2-1)+4=11(千米/小時)，所以甲原來的速度是每小時 11 千米。 【例 6】 A、 B 兩地間有一座橋(橋的長度忽略不計)，甲、乙二人分別從兩地同時出發，3 小時后在橋上相遇如果甲加快速度，每小時多走 2 千米，而乙提前 0.5 小時出發，則仍能恰在橋上相遇如果甲延遲 0.5 小時出發，乙每小時少走 2 千米，還會在橋上相遇則 A、 B 兩地相距多少千米？【解析】 因為每次相遇的地點都在橋上，所以在這三種情況中，甲每次走的路程都是一樣的，同樣乙每次走的路程也是一樣的在第二種情況中，乙速度不變，所以乙到橋上的時間還是 3 小時，他提前了 0.5 小時，那么甲到橋上的時間是 3 -0.5 =2.5小時甲每小時多走 2 千米，2.5小時就多走 2 2.5= 5千米，這 5 千米就是甲原來 3- 2.5 =0.5小時走的，所以甲的速度是 5 0.5= 10千米/時在第三種情況中，甲速度不變，所以甲到橋上的時間還是 3 小時，他延遲了 0.5 小時，那么乙到橋上的時間是 3 0.5 =3.5小時乙每小時少走 2 千米，3.5小時就少走 2 3.5 =7千米，這 7 千米就是甲原來 3.5 3= 0.5小時走的，所以乙的速度就是 7 0.5 =14千米/時所以 A、 B 兩地的距離為 （10 14） 3 =72千米【例 7】 一列火車出發 1 小時后因故停車 0.5 小時，然后以原速的3/4前進，最終到達目的地晚1.5 小時若出發 1 小時后又前進 90 公里再因故停車 0.5 小時，然后同樣以原速的3/4前進，則到達目的地僅晚1 小時，那么整個路程為多少公里？【解析】 出發 1 小時后因故停車 0.5 小時，然后以原速的前進，最終到達目的地晚1.5 小時，所以后面以原速的前進的時間比原定時間多用小時，而速度為原來的，所用時間為原來的，所以后面的一段路程原定時間為小時，原定全程為 4 小時；出發 1 小時后又前進 90 公里再因故停車 0.5 小時，然后同樣以原速的前進，則到達目的地僅晚1 小時，類似分析可知又前進 90 公里后的那段路程原定時間為小時所以原速度行駛 90 公里需要1.5 小時，而原定全程為 4 小時，所以整個路程為 公里【例 8】 王叔叔開車從北京到上海，從開始出發，車速即比原計劃的速度提高了1/9，結果提前一個半小時到達；返回時，按原計劃的速度行駛 280 千米后，將車速提高1/6，于是提前1 小時 40 分到達北京北京、上海兩市間的路程是多少千米？【解析】 從開始出發，車速即比原計劃的速度提高了1/9，即車速為原計劃的10/9，則所用時間為原計劃的110/9=9/10，即比原計劃少用1/10的時間，所以一個半小時等于原計劃時間的1/10，原計劃時間為：1.51/10=15(小時)；按原計劃的速度行駛 280 千米后，將車速提高1/6，即此后車速為原來的7/6，則此后所用時間為原計劃的17/6=6/7，即此后比原計劃少用1/7的時間，所以1 小時 40 分等于按原計劃的速度行駛 280 千米后余下時間的1/7，則按原計劃的速度行駛 280 千米后余下的時間為：5/31/7=35/3(小時)，所以，原計劃的速度為：84(千米/時)，北京、上海兩市間的路程為：84 15= 1260(千米)【例 9】 上午 8 點整，甲從 A地出發勻速去 B 地，8 點 20 分甲與從 B 地出發勻速去 A地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到原來的 3 倍，乙速度不變；8 點 30 分，甲、乙兩人同時到達各自的目的地那么，乙從 B 地出發時是 8 點幾分【解析】 甲、乙相遇時甲走了 20 分鐘，之后甲的速度提高到原來的 3 倍，又走了 10 分鐘到達目的地，根據路程一定，時間比等于速度的反比，如果甲沒提速，那么后面的路甲需要走10 3= 30分鐘，所以前后兩段路程的比為 20 : 30 =2 : 3，由于甲走 20 分鐘的路程乙要走 10 分鐘，所以甲走 30 分鐘的路程乙要走 15 分鐘，也就是說與甲相遇時乙已出發了 15 分鐘，所以乙從 B 地出發時是 8 點5 分【例 10】 （難度等級 ）甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達山頂后就立即下山，他們兩人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。兩人出發后 1 小時，甲與乙在離山頂 600 米處相遇，當乙到達山頂時，甲恰好到半山腰。那么甲回到出發點共用多少小時？ 【解析】 甲如果用下山速度上山，乙到達山頂時，甲走過的路程應該是一個單程的 11.5+1/2=2 倍，就是說甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。 兩人相遇時走了 1 小時，這時甲還要走一段下山路，這段下山路乙上山用了 1 小時，所以甲下山要用1/2 小時。 甲一共走了 1+1/2=1.5（小時） 【例 11】 小華以每小時8/3千米的速度登山，走到途中 A點后，他將速度改為每小時 2千米，在接下來的1小時中，他走到山頂，又立即下山，并走到 A點上方 500米的地方如果他下山的速度是每小時 4千米，下山比上山少用了 52.5分鐘那么，他往返共走了多少千米？【解析】 11千米【例 12】 （難度等級 ）甲、乙兩車從 A、 B 兩地同時出發相向而行，5 小時相遇；如果乙車提前 1 小時出發，則差 13千米到中點時與甲車相遇，如果甲車提前 1 小時出發，則過中點 37 千米后與乙車相遇，那么甲車與乙車的速度差等于多少千米/小時？【解析】 第一次行程甲、乙兩車同時出發，所以兩車走的時間相同；第二次乙車提前 1 小時出發，所以這次乙車比甲車多走了 1 小時；第三次甲車提前 1 小時出發，所以這次甲車比乙車多走了 1 小時那么如果把第二次和第三次這兩次行程相加，那么甲車和乙車所走的時間就相同了，而所走的路程為 2 個全程由于兩人合走一個全程要 5 小時，所以合走兩個全程要 10 小時由于第二次在乙車在差 13 千米到中點與甲車相遇，所以此次甲車走了全程的一半加上 13 千米；第三次在過中點 37 千米后與乙車相遇，所以此次甲車走了全程的一半加上 37 千米；這兩次合起來甲車走了一個全程加上13 37 =50千米，所以乙車走了一個全程少 50 千米，甲車比乙車多走50 2 =100千米而這是在 10 小時內完成的，所以甲車與乙車的速度差為100 10 =10千米/時【例 13】 甲、乙兩名運動員在周長米的環形跑道上進行米長跑比賽，兩人從同一起跑線同時起跑，甲每分鐘跑米，乙每分鐘跑米，當甲比乙領先整整一圈時，兩人同時加速，乙的速度比原來快，甲每分鐘比原來多跑米，并且都以這樣的速度保持到終點問：甲、乙兩人誰先到達終點？【解析】 從起跑到甲比乙領先一圈，所經過的時間為(分鐘)甲到達終點還需要跑(分鐘)，乙還需要跑(分鐘)，由于，所以乙先到達終點【例 14】 環形場地的周長為米，甲、乙兩人同時從同一地點出發相背而行(甲速大于乙速)，分鐘后相遇如果每人每分鐘多走米，則相遇點與前次相差米，求原來二人的速度【解析】 甲、乙原來的速度和為：(米/分)，如果每人每分鐘多走米，現在的速度之和為：(米/分)，現在相遇需要的時間為：(分鐘)題目中說相遇點與前次相差米，但并不知道兩者的位置關系，所以需要先確定兩次相遇點的位置關系由于以原來的速度走一圈，甲比乙多走的路程為每分鐘甲比乙多走的路程；提速后走一圈，甲比乙多走的路程為每分鐘甲比乙多走的路程；故提速后走一圈與以原來速度走一圈相比，甲比乙多走的路程少了，而二人所走的路程的和相等，所以提速后甲走的路程比以原速度走的路程少，其差即為兩次相遇點的距離米所以現在問題轉化為：甲以原速度走12分鐘走到某一處，現在甲以比原速度提高25米/分的速度走9分鐘，走到距離前一處還有33米的地方，求甲的速度所以，甲原來的速度為：(米/分)，乙原來的速度為：(米/分)【例 15】 王剛騎自行車從家到學校去，平常只用20分鐘。因途中有2千米正在修路，只好推車步行，步行速度只有騎車速度的，結果這天用了36分鐘才到學校。從王剛家到學校有多少千米？【解析】 途中有2千米在修路，導致了王剛上學時間比平時多用分鐘，由于在別的路段上還是騎車，所以多用的時間都是耗費在修路的2千米上由于步行速度是汽車速度的，所以步行2千米所用的時間是騎車2千米所用時間的3倍，多用了2倍，這個多出來的時間就是16分鐘，所以騎車2千米需要分鐘由于8分鐘可以騎2千米，而王剛平時騎車20分鐘可以到學校，所以王剛家與學校的距離為千米【例 16】 甲、乙兩車分別從、兩地同時出發，相向而行出發時，甲，乙的速度之比是，相遇后甲的速度減少，乙的速度增加這樣當甲到達地時，乙離開地還有千米那么、兩地相距多少千米？【解析】 出發時，兩車的速度之比為，所以相遇以后兩輛車的速度之比為，而相遇前甲、乙兩車的行程路程之比為，所以相遇后兩輛車還需要行駛的路程之比為，所以甲還需要行駛全部路程的，當甲行駛這段路程的同時，乙行駛了全程的，距離地還有，所以、兩地相距千米【例 17】 甲、乙往返于相距米的，兩地甲先從地出發，分鐘后乙也從地出發，并在距 地米的地追上甲乙到地后立即原速向地返回，甲到地休息分鐘后加快速度向地返回，并在地追上乙問：甲比乙提前多少分鐘回到地？【解析】 由于甲比乙早出發6分鐘，乙在走了600米時追上甲，可見乙走600米比甲要少用6分鐘，那么對于剩下的米，乙比甲要少用(分鐘)，也就是說乙比甲早4分鐘到達地那么乙從地出發比甲早(分鐘)，走到地被甲追上，相當于甲走400米比乙少用5分鐘，那么對于剩下的600米，甲比乙要少用(分鐘)所以甲比乙提前分鐘回到地【例 18】 一輛大貨車與一輛小轎車同時從甲地開往乙地，小轎車到達乙地后立即返回，返回時速度提高。出發2小時后，小轎車與大貨車第一次相遇，當大貨車到達乙地時，小轎車剛好走到甲、乙兩地的中點。小轎車在甲、乙兩地往返一次需要多少時間？【解析】 此題的關鍵是分析清楚題目中所提到的小轎車返回時速度提高所帶來的變化，所以可以先假設小轎車返回時速度不發生變化會是什么樣，然后再進行對比分析如果小轎車返回時速度不提高，那么大貨車到達乙地時，小轎車又走了甲、乙兩地距離的，所以，從甲地到乙地小轎車與大貨車的速度比為：，小轎車到達乙地時，大貨車走了全程的，還差小轎車從乙地返回甲地時，與大貨車的速度比為，小轎車從乙地返回到與大貨車相遇時，大貨車又走了全程的，即相遇時大貨車共走了全程的，那么大貨車從甲地到乙地需要小時，小轎車從甲地到乙地需要小時，小轎車往返一次需要小時【例 19】 甲、乙兩地間平路占，由甲地去往乙地，上山路千米數是下山路千米數的，一輛汽車從甲地到乙地共行了小時，已知這輛車行上山路的速度比平路慢，行下山路的速度比平路快，照這樣計算，汽車從乙地回到甲地要行多長時間？【解析】 根據題意，可以把甲、乙兩地之間的距離看作25，這樣兩地間的平路為5，從甲地去往乙地，上山路為，下山路為；再假設這輛車在平路上的速度為5，則上山時的速度為4，下山時的速度為6，于是，由甲地去乙地所用的總時間為：；從乙地回到甲地時，汽車上山、下山的速度不變，但是原來的上山路變成了此時的下山路，原來的下山路變成了此時的上山路，所以回來時所用的總時間為：由于從甲地到乙地共行了10小時，所以從乙地回來時需要小時【例 20】 甲、乙二人在同一條圓形跑道上作特殊訓練：他們同時從同一地出發，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達出發點后立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時，乙的速度是甲的速度的甲跑第二圈的速度比第一圈提高了，乙跑第二圈的速度提高了，已知沿跑道看從甲、乙兩人第二次相遇點到第一次相遇點的最短路程是米，問這條跑道長多少米？【解析】 從起跑由于跑第一圈時，乙的速度是甲的速度的，所以第一次相遇的地方在距起點(或者)處由于甲的速度比乙快，所以甲先跑完第一圈，甲跑完第一圈時，乙跑了圈，此時乙距出發點還有圈，根據題意，此時甲要回頭加速跑，即此時甲與乙方向相同，速度為乙的倍所以乙跑完剩下的圈時甲又跑了圈，此時甲距出發點還有圈，而乙又要回頭跑，所以此時兩人相向而行，速度比為，所以兩人第二次相遇點距離出發點，兩次相遇點間隔，注意到，所以最短距離為圈，所以跑道長米【例 21】 甲、乙兩人沿米環形跑道練習跑步，兩人同時從跑道的同一地點向相反方向跑去相遇后甲比原來速度增加米秒，乙比原來速度減少米秒，結果都用秒同時回到原地求甲原來的速度【解析】 因為相遇前后甲、乙的速度和沒有改變，如果相遇后兩人合跑一圈用25秒，則相遇前兩人合跑一圈也用25秒(法1)甲以原速跑了25秒的路程與以的速度跑了25秒的路程之和等于400米，解得米/秒(法2)由跑同樣一段路程所用的時間一樣，得到，即二者速度差為4；而二者速度和為，這是個典型的和差問題可得為：米/秒【鞏固】從村到村必須經過村，其中村至村為上坡路，村至村為下坡路，村至村的總路程為千米某人騎自行車從村到村用了小時，再從村返回村又用了小時分已知自行車上、下坡時的速度分別保持不變，而且下坡時的速度是上坡時速度的倍求、之間的路程及自行車上坡時的速度【解析】 設、之間的路程為千米，自行車上坡速度為每小時千米，則、之間的路程為 千米，自行車下坡速度為每小時千米依題意得：，兩式相加，得：，解得；代入得故、之間的路程為千米，自行車上坡時的速度為每小時千米【例 22】 （年“奧數網杯”六年級）歡歡和貝貝是同班同學，并且住在同一棟樓里早晨，歡歡從家出發騎車去學校，追上了一直勻速步行的貝貝；看到身穿校服的貝貝才想起學校的通知，歡歡立即調頭，并將速度提高到原來的倍，回家換好校服，再趕往學校；歡歡趕到學校時，貝貝也恰好到學校如果歡歡在家換校服用去分鐘且調頭時間不計，那么貝貝從家里出發時是 點 分【解析】 歡歡從出發到追上貝貝用了分鐘，那么她調頭后速度提高到原來的倍，回到家所用的時間為3分鐘，換衣服用時6分鐘，所以她再從家里出發到到達學校用了分鐘，故她以原速度到達學校需要10分鐘，最開始她追上貝貝用了6分鐘，還剩下4分鐘的路程，而這4分鐘的路程貝貝走了14分鐘，所以歡歡的6分鐘路程貝貝要走分鐘，也就是說歡歡追上貝貝時貝貝已走了21分鐘，所以貝貝是7點25分出發的【例 23】 甲、乙兩人都要從地到地去，甲騎自行車，乙步行，速度為每分鐘60米乙比甲早出發20分鐘，甲在距地1920米的處追上乙，兩人繼續向前，甲發現自己忘帶東西，于是將速度提高到原來的倍，馬上返回地去取，并在距離處720米的處遇上乙甲到達地后在地停留了5分鐘，再以停留前的速度騎往地，結果甲、乙兩人同時到達地、兩地之間的距離是 米【解析】 乙從地到處所用時間為分鐘，甲用的時間為分鐘，甲的速度為米/分鐘，速度提高后為米/分鐘甲從處回到地并停留5分鐘，共用時間分鐘，此時乙又走了米，兩人的距離為米，此時相當于追及問題，追及時間為分鐘，所以、兩地之間的距離為米【例 24】 小芳從家到學校有兩條一樣長的路，一條是平路，另一條是一半上坡路，一半下坡路小芳上學走這兩條路所用的時間一樣多已知下坡的速度是平路的倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？【解析】 設小芳上學路上所用時間為，那么走一半平路所需時間是由于下坡路與一半平路的長度相同，根據路程一定，時間比等于速度的反比，走下坡路所需時間是，因此，走上坡路需要的時間是，那么，上坡速度與平路速度的比等于所用時間的反比，為，所以，上坡速度是平路速度的倍【例 25】 （2003年“祖沖之杯”小學數學邀請賽）某校在400米環形跑道上進行1萬米比賽，甲、乙兩名運動員同時起跑后，乙的速度始終保持不變，開始時甲比乙慢，在第15分鐘時甲加快速度，并保持這個速度不變，在第18分鐘時甲追上乙并且開始超過乙。在第23分鐘時甲再次追上乙，而在23分50秒時甲到達終點。那么，乙跑完全程所用的時間是多少分鐘？【解析】 本題中乙的速度始終保持不變，甲則有提速的情況，但是甲提速后速度就保持不變，所以可以從甲提速后的情況著手進行考慮根據題意可知，甲加速后，每過（分鐘）比乙多跑一圈，即每分鐘比乙多跑（米）由于第18分鐘時甲、乙處于同一位置，則在23分50秒時甲到達終點時，乙距終點的距離就是此時甲、乙之間的距離，即乙距離終點還有（米），即乙在23分50秒內跑了米，由于乙的速度始終保持不變，所以乙每分鐘跑（米）所以，乙跑完全程需要（分鐘）【例 26】 （2003年迎春杯）甲、乙兩人同時同地同向出發，沿環形跑道勻速跑步如果出發時乙的速度是甲的倍，當乙第一次追上甲時，甲的速度立即提高，而乙的速度立即減少，并且乙第一次追上甲的地點與第二次追上甲的地點相距100米，那么這條環形跑道的周長是 米【解析】 如圖，設跑道周長為1，出發時甲速為2，則乙速為5假設甲、乙從點同時出發，按逆時針方向跑由于出發時兩者的速度比為，乙追上甲要比甲多跑1圈，所以此時甲跑了，乙跑了；此時雙方速度發生變化，甲的速度變為，乙的速度變為，此時兩者的速度比為；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑1圈，則此次甲跑了，這個就是甲從第一次相遇點跑到第二次相遇點的路程從環形跑道上來看，第一次相遇點跑到第二次相遇點之間的距離，既可能是個周長，又可能是個周長那么，這條環形跑道的周長可能為米或米【例 27】 如圖所示，甲、乙兩人從長為米的圓形跑道的點背向出發跑步。跑道右半部分(粗線部分）道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒米，而在泥濘道路上兩人的速度均為每秒米。兩人一直跑下去，問：他們第99次迎面相遇的地方距點還有 米?！窘馕觥?本題中，由于甲、乙兩人在正常道路和泥濘道路上的速度都相同，可以發現，如果甲、乙各自繞著圓形跑道跑一圈，兩人在正常道路和泥濘道路上所用的時間分別相同，那么兩人所用的總時間也就相同，所以，兩人同時出發，跑一圈后同時回到點，即兩人在點迎面相遇，然后再從點出發背向而行，可以發現，兩人的行程是周期性的，且以一圈為周期在第一個周期內，兩人同時出發背行而行，所以在回到出發點前肯定有一次迎面相遇，這是兩人第一次迎面相遇，然后回到出發點是第二次迎面相遇；然后再出發，又在同一個相遇點第三次相遇，再回到出發點是第四次相遇可見奇數次相遇點都是途中相遇的地點，偶數次相遇點都是點本題要求的是第99次迎面相遇的地點與點的距離，實際上要求的是第一次相遇點與點的距離對于第一次相遇點的位置，需要分段進行考慮：由于在正常道路上的速度較快，所以甲從出發到跑完正常道路時，乙才跑了米，此時兩人相距100米，且之間全是泥濘道路，此時兩人速度相同，所以再各跑50米可以相遇所以第一次相遇時乙跑了米，這就是第一次相遇點與點的距離，也是第99次迎面相遇的地點與點的距離【例 28】 （2009年第七屆“走進美妙的數學花園”初賽六年級）丁丁和樂樂各拿了一輛玩具甲蟲在400米跑道上進行比賽，丁丁的玩具甲蟲每分鐘跑30米，樂樂的玩具甲蟲每分鐘跑20米，但樂樂帶了一個神秘遙控器，按第一次會使丁丁的玩具甲蟲以原來速度的倒退1分鐘，按第二次會使丁丁的玩具甲蟲以原來速度的倒退1分鐘，以此類推，按第次，使丁丁的玩具甲蟲以原來的速度的倒退1分鐘，然后再按原來的速度繼續前進，如果樂樂在比賽中最后獲勝，他最少按 次遙控器?！窘馕觥?樂樂的玩具甲蟲跑完全程需要分鐘，丁丁的玩具甲蟲跑完全程需要分鐘，樂樂要想取勝，就必須使丁丁的玩具甲蟲因倒退所耽誤的總時間超過分鐘樂樂第一次按遙控器后，丁丁耽誤的時間為倒退的1分鐘及跑完這1分鐘倒退路程所花費的時間，為分鐘；樂樂第二次按遙控器后，丁丁耽誤的時間為分鐘；樂樂第次按遙控器后，丁丁耽誤的時間為分鐘所以相當于要使大于，由于，而，所以樂樂要想取勝，至少要按6次遙控器【例 29】 唐老鴨和米老鼠進行5000米賽跑米老鼠的速度是每分鐘125米，唐老鴨的速度是每分鐘100米唐老鴨有一種能使米老鼠停止或減速的遙控器，每次使用都能使米老鼠進入“麻痹”狀態1分鐘，1分鐘后米老鼠就會恢復正常，遙控器需要1分鐘恢復能量才能再使用米老鼠對“麻痹”狀態也在逐漸適應，第1次進入“麻痹”狀態時，米老鼠會完全停止，米老鼠第2次進入“麻痹”狀態時，就會有原速度的速度，而第3次就有原速度的速度，第20次進入“麻痹”狀態時已有原速度的速度了，這以后米老鼠就再也不會被唐老鴨的遙控器所控制了唐老鴨與米老鼠同時出發，如果唐老鴨要保證不敗，它最晚要在米老鼠跑了多少米的時候第一次使用遙控器?【解析】 (分鐘)，(分鐘)，所以米老鼠正常情況下要40分鐘跑完全程，唐老鴨要50分鐘跑完全程若唐老鴨使米老鼠麻痹20次，由于，則在這麻痹的20分鐘內，米老鼠實際跑的路程為正常狀態下分鐘跑的路程這樣，米老鼠一共需要分鐘才能到達終點由于唐老鴨只需要50分鐘，所以若使唐老鴨保持不敗，并不需要使米老鼠麻痹20次，即可以盡量晚的第一次使用遙控器根據題意，第20次使用可以使米老鼠多損失分鐘，第19次使用可以使米老鼠多損失分鐘，第18次使用可以使米老鼠多損失分鐘，第17次使用可以使米老鼠多損失分鐘，總計正好是分鐘所以只需要使米老鼠麻痹16次，唐老鴨就能保持不敗這樣米老鼠也要50分鐘由于還要留出15分鐘的遙控器恢復能量的時間，所以第一次使用遙控器的時候后面剩下的時間不能少于分鐘，此時米老鼠已經跑出了(米)，所以唐老鴨最晚要在米老鼠跑了2375米的時候第一次使用遙控器【例 30】 小周開車前往某會議中心，出發20分鐘后，因為交通堵塞，中途延誤了20分鐘，為了按時到達會議中心，小周將車速提高了，小周從出發時算起到達會議中心共用了多少分鐘？【解析】 將車速提高后，前、后兩種情況下車速的比為，那么所用的時間的比為，由此省出的時間就是堵車耽誤的20分鐘，所以這段路程原來需要開分鐘，再加上開始的20分鐘，可知小周從出發時算起到達會議中心共用了分鐘【例 31】 （2008年清華附中入學測試題）如圖，甲、乙分別從、兩地同時出發，勻速相向而行，他們的速度之比為，相遇于地后，甲繼續以原來的速度向地前進，而乙則立即調頭返回，并且乙的速度比相遇前降低，這樣當乙回到地時，甲恰好到達離地千米的處，那么、兩地之間的距離是_千米。【解析】 由于甲、乙的速度之比為，所以，乙調頭后的速度為原來速度的，所以乙調頭后兩人速度之比為，而乙回到地時甲恰好到達處，所以，即，則（千米），即、兩地之間的距離為千米【例 32】 甲、乙兩車分別從、兩地同時出發相向而行，甲車速度為32千米/時，乙車速度為48千米/時，它們到達地和地后，甲車速度提高，乙車速度減少，它們第一次相遇地點與第二次相遇地點相距74千米，那么、之間的距離是多少千米？【解析】 開始時兩車速度比為，所以第一次相遇是在距地全程的處；當乙車到達地時，甲車離地還有全程的，此時乙車速度減少，變為原來的，兩車速度比為，那么當甲車走完剩下的時，乙車已經往回走了，此時兩車相距全程的這時甲車速度提高，兩車速度比變為，所以兩車再各走即相遇即第二次相遇點距離地全程的所以、之間的距離為千米【例 33】 (2008年日本第12屆小學算術奧林匹克初賽)上午8點整，甲從地出發勻速去地，8點20分甲與從地出發勻速去地的乙相遇；相遇后甲將速度提高到原來的3倍，乙速度不變；8點30分，甲、乙兩人同時到達各自的目的地那么，乙從地出發時是8點 分【解析】 甲、乙相遇時甲走了20分鐘，之后甲的速度提高到原來的3倍，又走了10分鐘到達目的地，根據路程一定，時間比等于速度的反比，如果甲沒提速，那么后面的路甲需要走分鐘，所以前后兩段路程的比為，由于甲走20分鐘的路程乙要走10分鐘，所以甲走30分鐘的路程乙要走15分鐘，也就是說與甲相遇時乙已出發了15分鐘，所以乙從地出發時是8點5分【例 34】 甲、乙往返于相距米的，兩地甲先從地出發，分鐘后乙也從地出發，并在距 地米的地追上甲乙到地后立即原速向地返回，甲到地休息分鐘后加快速度向地返回，并在地追上乙問：甲比乙提前多少分鐘回到地？【解析】 由于甲比乙早出發6分鐘，乙在走了600米時追上甲，可見乙走600米比甲要少用6分鐘，那么對于剩下的米，乙比甲要少用(分鐘)，也就是說乙比甲早4分鐘到達地那么乙從地出發比甲早(分鐘)，走到地被甲追上，相當于甲走400米比乙少用5分鐘，那么對于剩下的600米，甲比乙要少用(分鐘)所以甲比乙提前分鐘回到地【例 35】 （2005年“祖沖之杯”小學數學邀請賽）如圖所示，有、四個游樂景點，在連接它們的三段等長的公路、上，汽車行駛的最高時速限制分別是120千米、40千米和60千米。一輛大巴車從景點出發駛向景點，到達點后立刻返回；一輛中巴同時從點出發，駛向點。兩車相遇在景點，而當中巴到達點時，大巴又回到了點，已知大巴和中巴在各段公路上均以其所能達到且被允許的速度盡量快地行駛，大巴自身所具有的最高時速大于60千米，中巴在與大巴相遇后自身所具有的最高時速比相遇前提高了，求大巴客車的最高時速?！窘馕觥?由于、三段公路等長，不妨設千米，大巴從用（小時），此時中巴從，速度為（千米/小時），所以中巴從的速度為（千米/小時），用時為（小時），這也是大巴從用的時間大巴在上最少用（小時），所以大巴在上最多用（小時）大巴的最高時速為（千米）【鞏固】 從甲市到乙市有一條公路，它分成三段在第一段上，汽車速度是每小時40千米；在第二段上，汽車速度是每小時90千米；在第三段上，汽車速度是每小時50千米己知第一段公路的長恰好是第三段的2倍，現有兩汽車分別從甲、乙兩市同時出發，相向而行，1小時20分后，在第二段從甲到乙方向的處相遇那么，甲、乙兩市相距多少千米？【解析】 如圖所示，、分別為三段路的端點，為兩車相遇的地點由于為的兩倍，而汽車在上的速度為40千米/時，在上的速度為50千米/時，所以汽車在上與在上所用的時間之比為，即在上比在上多用了的時間；由于，所以，而汽車在整個段上速度都是相同的，所以汽車在上所用的時間是汽車在上所用的時間的2倍，即多用了1倍的時間由于兩輛汽車同時出發，在處相遇，兩車所用的時間相同，所以在上所用的時間的倍等于在上所用的時間，可以得到在上所用的時間與在上所用的時間之比為，那么可以得到在、四段上所用的時間之比為汽車在與段上所用的時間之比為，速度之比為，所以與段的長度之比為由于汽車從到用了1小時20分鐘，所以在段上所用的時間為小時，段的長度為千米，那么從到的距離為千米【例 36】 現在甲乙兩輛車往返于相距20千米的、兩地，甲車先從地出發，9分鐘后乙車也從地出發，并且在距離地5千米的地追上甲車。乙車到地之后立即向地原速駛回，甲車到地休息12分鐘之后加快速度向地返回，并在地又將乙車追上。那么最后甲車比乙車提前多少分鐘到地？【解析】 根據題意可知，按照出發時的速度，乙車走5千米比甲車少用9分鐘，那么乙車走15千米比甲車少用27分鐘，也就是說乙車比甲車早27分鐘到達地到達地后，乙車立即返回，而甲車則停留12分鐘，所以甲車