3雙曲線 3 1雙曲線及其標準方程 1 雙曲線的定義 1 定義 在平面內到兩個定點f1 f2距離之差的絕對值等于常數 大于0且小于 f1f2 的點的集合叫作雙曲線 2 符號表示 mf1 mf2 2a 常數 0 2a f1f2 3 焦點 兩個定點f1 f2 4 焦距 兩焦點之間的距離 表示為 f1f2 名師點撥定義中為何強調 絕對值 和 0 f1f2 則動點的軌跡不存在 2 雙曲線定義中應注意關鍵詞 絕對值 若去掉定義中 絕對值 三個字 動點軌跡只能是雙曲線的一支 平面內到兩定點f1 f2的距離的差的絕對值為非零常數 即 mf1 mf2 2a 關鍵詞 平面內 當2a f1f2 時 軌跡不存在 做一做1 已知兩定點f1 3 0 f2 3 0 在滿足下列條件的平面內動點p的軌跡中 是雙曲線的是 a pf1 pf2 5b pf1 pf2 6c pf1 pf2 7d pf1 pf2 0解析 a中 f1f2 6 pf1 pf2 5 f1f2 動點p的軌跡不存在 d中 pf1 pf2 0 即 pf1 pf2 根據線段垂直平分線的性質 動點p的軌跡是線段f1f2的垂直平分線 故選a 答案 a 2 雙曲線的標準方程 特別提醒 1 標準方程的代數特征 方程右邊是1 左邊是關于x y的平方差 并且分母大小關系不確定 2 a b c三個量的關系 標準方程中的兩個參數a和b確定了雙曲線的形狀和大小 是雙曲線的定形條件 這里b2 c2 a2 與橢圓中b2 a2 c2相區別 且橢圓中a b 0 而雙曲線中 a b大小不確定 a 充分不必要條件b 必要不充分條件c 充要條件d 既不充分又不必要條件答案 a 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內打 錯誤的打 1 平面內到兩定點的距離的差等于常數 小于兩定點間距離 的點的軌跡是雙曲線 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思維辨析 分析可先設出雙曲線的標準方程 再構造關于a b的方程組 求得a b 從而求得雙曲線的標準方程 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟1 雙曲線標準方程的兩種求法 1 定義法 根據雙曲線的定義得到相應的a b c 再寫出雙曲線的標準方程 特別地 若已知雙曲線上兩點的坐標 則雙曲線的標準方程可能有兩個 把點的坐標代入 得到關于a b的兩個關系式 由此求解 也可設雙曲線方程為ax2 by2 1 ab 0 把點的坐標代入求出a b的值 此種方法計算過程簡單 也避免了分類討論 探究一 探究二 探究三 思維辨析 2 待定系數法求雙曲線標準方程的四個步驟 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例2 如圖 在 abc中 已知 ab 4 且三個內角a b c滿足2sina sinc 2sinb 建立適當的坐標系 求頂點c的軌跡方程 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟 1 求解與雙曲線有關的點的軌跡問題 常見的方法有兩種 列出等量關系 化簡得到方程 尋找幾何關系 由雙曲線的定義 得出對應的方程 2 求解雙曲線的軌跡問題時要特別注意 雙曲線的焦點所在的坐標軸 檢驗所求的軌跡對應的是雙曲線的一支還是兩支 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練2已知雙曲線的方程是 點p在雙曲線上 且到其中一個焦點f1的距離為10 點n是pf1的中點 求 on 的大小 o為坐標原點 探究一 探究二 探究三 思維辨析 1 若雙曲線上一點m到它的一個焦點的距離等于16 求點m到另一個焦點的距離 2 如圖 若p是雙曲線左支上的點 且 pf1 pf2 32 試求 f1pf2的面積 分析 1 雙曲線的定義中 mf1 mf2 2a 6 2 利用雙曲線的定義和 pf2 f1f2 32 可利用余弦定理求夾角 然后計算面積 探究一 探究二 探究三 思維辨析 由雙曲線的定義得 mf1 mf2 2a 6 又雙曲線上一點m到它的一個焦點的距離等于16 假設點m到另一個焦點的距離等于x 則 16 x 6 解得x 10或x 22 故點m到另一個焦點的距離為10或22 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟 1 求雙曲線上一點到某一焦點的距離時 若已知該點的橫 縱坐標 則根據兩點間距離公式可求結果 若已知該點到另一焦點的距離 則根據 pf1 pf2 2a求解 注意對所求結果進行必要的驗證 負數應該舍去 且所求距離應該不小于c a 2 在解決雙曲線中與焦點三角形有關的問題時 要注意兩點 定義中的條件 pf1 pf2 2a的應用 要利用余弦定理 勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算 在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的應用 如 pf1 2 pf2 2 pf1 pf2 2 2 pf1 pf2 探究一 探究二 探究三 思維辨析 1 若 f1pf2 90 求 f1pf2的面積 2 若 f1pf2 60 f1pf2的面積是多少 若 f1pf2 120 f1pf2的面積又是多少 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 因忽視隱含條件導致所求軌跡方程錯誤 典例 已知定點a 3 0 和定圓c x 3 2 y2 16 動圓和圓c相外切 并且過定點a 求動圓圓心m的軌跡方程 易錯分析求解中易把動點的軌跡看成雙曲線 忽視了雙曲線定義中 距離的差的絕對值是常數 這一條件 動點軌跡實際上是雙曲線的一支 解設m x y 設動圓與圓c的切點為b bc 4 則 mc mb bc ma mb 所以 mc ma bc 即 mc ma bc 4 ac 所以由雙曲線的定義知 m點軌跡是以a c為焦點的雙曲線的左支 且a 2 c 3 所以b2 5 探究一 探究二 探究三 思維辨析 糾錯心得在求解與雙曲線有關的軌跡問題時 準確理解雙曲線的定義 才能保證解題的正確性 當 pf1 pf2 2a0 即 pf1 pf2 2a 0 2a f1f2 時 p點的軌跡是雙曲線 其中取正號時為雙曲線的右支 取負號時為雙曲線的左支 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練如圖所示 已知定圓f1 x 5 2 y2 1 定圓f2 x 5 2 y2 42 動圓m與定圓f1 f2都外切 求動圓圓心m的軌跡方程 解圓f1 x 5 2 y2 1 圓心f1 5 0 半徑r1 1 圓f2 x 5 2 y2 42 圓心f2 5 0 半徑r2 4 設動圓m的半徑為r 則有 mf1 r 1 mf2 r 4 mf2 mf1 3 10 f1f2 12345 解析 由雙曲線的標準方程可知 a2 10 b2 2 于是有c2 a2 b2 12 則2c 4 答案 d 12345 2 已知雙曲線標準方程中 a 5 c 7 則該雙曲線的標準方程為 答案 c 12345 答案 1 2 12345