第四講 導數及其應用（文）高考在考什么【考題回放】1已知對任意實數，有，且時，則時（ B ）ABCD2曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為（ A ）3若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為A A B C D4函數，已知在時取得極值，則=（B）A.2B.3C.4D.55已知函數在區間上的最大值與最小值分別為，則326已知函數的圖象在點處的切線方程是，則37設a為實數,函數 ()求f(x)的極值.()當a在什么范圍內取值時,曲線y= f(x)軸僅有一個交點.解：(I)=321若=0，則=，=1當變化時，變化情況如下表：(，)(，1)1(1，+)+00+極大值極小值f(x)的極大值是，極小值是(II)函數由此可知，取足夠大的正數時，有f(x)0，取足夠小的負數時有f(x)0，所以曲線y= f(x)與軸至少有一個交點結合f(x)的單調性可知：當f(x)的極大值0即(1，+)時，它的極大值也大于0，因此曲線y= f(x)與軸僅有一個交點，它在(，)上。當(1，+)時，曲線y= f(x)與x軸僅有一個交點高考要考什么導數的幾何意義：函數在點處的導數，就是曲線在點處的切線的斜率；（2）函數在點處的導數，就是物體的運動方程在時刻時的瞬時速度；2求函數單調區間的步驟：1）、確定f(x)的定義域，2）、求導數y，3）、令y0(y0時，f(x)在相應區間上是增函數；當y0時，f(x)在相應區間上是減函數3求極值常按如下步驟： 確定函數的定義域； 求導數； 求方程=0的根及導數不存在的點，這些根或點也稱為可能極值點；通過列表法, 檢查在可能極值點的左右兩側的符號，確定極值點。4設函數f(x)在a,b上連續,在（a,b）內可導，求f(x)在a,b上的最大（小）值的步驟如下：(1)求f(x)在(a,b)內的極值，(2)將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。5最值（或極值）點必在下列各種點之中：導數等于零的點、導數不存在的點、端點。 突 破 重 難 點【范例1】已知函數在處取得極值. （1）討論和是函數f(x)的極大值還是極小值；（2）過點作曲線y= f(x)的切線，求此切線方程.（1）解：，依題意，即 解得. . 令，得.若，則，故f(x)在上是增函數，f(x)在上是增函數.若，則，故f(x)在上是減函數.所以，是極大值；是極小值.（2）解：曲線方程為，點不在曲線上.設切點為，則點M的坐標滿足.因，故切線的方程為注意到點A（0，16）在切線上，有 化簡得，解得.所以，切點為，切線方程為.【點晴】過已知點求切線，當點不在曲線上時，求切點的坐標成了解題的關鍵.【范例2】(安徽文)設函數f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,xR,其中1，將f(x)的最小值記為g(t).()求g(t)的表達式；()詩論g(t)在區間（-1,1）內的單調性并求極值.解：（I）我們有 由于，故當時，達到其最小值，即 （II）我們有列表如下：極大值極小值由此可見，在區間和單調增加，在區間單調減小，極小值為，極大值為【點晴】本小題主要考查同角三角函數的基本關系，倍角的正弦公式，正弦函數的值域，多項式函數的導數，函數的單調性，考查應用導數分析解決多項式函數的單調區間，極值與最值等問題的綜合能力【范例2】已知函數在區間，內各有一個極值點（I）求的最大值；（II）當時，設函數在點處的切線為，若在點處穿過函數的圖象（即動點在點附近沿曲線運動，經過點時，從的一側進入另一側），求函數的表達式解：（I）因為函數在區間，內分別有一個極值點，所以在，內分別有一個實根，設兩實根為（），則，且于是，且當，即，時等號成立故的最大值是16（II）解法一：由知在點處的切線的方程是，即，因為切線在點處空過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，則不是的極值點而，且若，則和都是的極值點所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因為切線在點處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數值異號，于是存在（）當時，當時，；或當時，當時，設，則當時，當時，；或當時，當時，由知是的一個極值點，則，所以，又由，得，故變式：設函數在及時取得極值（）求a、b的值；（）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍解