第2講直線與圓錐曲線的位置關系 熱點突破 高考導航 備選例題 閱卷評析 高考導航演真題 明備考 高考體驗 1 2015 全國 卷 文5 已知橢圓E的中心在坐標原點 離心率為 E的右焦點與拋物線C y2 8x的焦點重合 A B是C的準線與E的兩個交點 則 AB 等于 A 3 B 6 C 9 D 12 B C 2 當2 AM AN 時 證明 k 2 高考感悟1 考查角度一般以橢圓或拋物線為背景 考查直線與圓錐曲線的位置關系 弦長 面積問題以及圓錐曲線與向量的交匯問題 2 題型及難易度選擇題 解答題 難度為中檔偏上 熱點突破剖典例 促遷移 直線與圓錐曲線的位置關系 熱點一 考向1位置關系判斷 考向2由位置關系求參數范圍 例2 過點A 0 1 斜率為k的直線l與拋物線y2 4x有兩個不同的交點 則k的范圍為 答案 0 0 1 方法技巧 判斷直線與圓錐曲線的位置關系有兩種常用方法 1 代數法 即聯立直線與圓錐曲線方程可得到一個關于x y的方程組 消去y 或x 得一元方程 此方程根的個數即為交點個數 方程組的解即為交點坐標 2 幾何法 即畫出直線與圓錐曲線的圖象 根據圖象判斷公共點個數 熱點訓練1 1 過定點A的直線l與拋物線y2 2x有且只有一個公共點 這樣的l的條數是 A 0或1 B 1或2 C 0或1或2 D 1或2或3 解析 1 當A在拋物線的外部時 共有三條直線與拋物線只有一個公共點 有兩條是切線 一條與拋物線的對稱軸平行 當A在拋物線上時 有兩條直線與拋物線只有一個公共點 當A在拋物線的內部時 只有一條直線與拋物線只有一個公共點 故選D 答案 1 D 答案 2 1 5 5 弦長 面積問題 熱點二 2 設直線l y kx m與橢圓E相交于A B兩點 O為坐標原點 橢圓E的離心率為e 若kOA kOB e2 1 求證 AOB的面積為定值 方法技巧 1 利用弦長公式求弦長要注意斜率k不存在的情形 若k不存在時 可直接求交點坐標再求弦長 2 涉及焦點弦長時要注意圓錐曲線定義的應用 3 圓錐曲線中的面積問題要注意面積公式的選擇 熱點訓練2 2014 全國 卷 文20 已知點P 2 2 圓C x2 y2 8y 0 過點P的動直線l與圓C交于A B兩點 線段AB的中點為M O為坐標原點 1 求M的軌跡方程 2 當 OP OM 時 求l的方程及 POM的面積 求軌跡方程 熱點三 例4 2016 全國 卷 文20 已知拋物線C y2 2x的焦點為F 平行于x軸的兩條直線l1 l2分別交C于A B兩點 交C的準線于P Q兩點 1 若F在線段AB上 R是PQ的中點 證明AR FQ 2 若 PQF的面積是 ABF的面積的兩倍 求AB中點的軌跡方程 方法詮釋 定義法求軌跡方程 1 在利用圓錐曲線的定義求軌跡方程時 若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義 則根據曲線的方程 寫出所求的軌跡方程 2 利用定義法求軌跡方程時 還要看軌跡是否是完整的圓 橢圓 雙曲線 拋物線 如果不是完整的曲線 則應對其中的變量x或y進行限制 定義法求軌跡方程已知圓C1 x 3 2 y2 1和圓C2 x 3 2 y2 9 動圓M同時與圓C1及圓C2相外切 求動圓M圓心的軌跡方程 方法技巧 求軌跡方程的常用方法 1 直接法 直接利用條件建立x y之間的關系f x y 0 2 待定系數法 已知所求曲線的類型 先根據條件設出所求曲線的方程 再由條件確定其待定系數 3 定義法 4 相關點法 動點P x y 依賴于另一動點Q x0 y0 的變化而變化 并且Q x0 y0 又在某已知曲線上 則可先用x y的代數式表示x0 y0 再將x0 y0代入已知曲線得要求的軌跡方程 5 參數法 當動點P x y 的坐標之間的關系不易直接找到 也沒有相關點可用時 可考慮將x y均用一中間變量 參數 表示 得參數方程 再消去參數得普通方程 2 若與坐標軸不垂直的直線l交軌跡E于A B兩點且OA OB 求 OAB面積S的取值范圍 備選例題挖內涵 尋思路 2 設過F1的直線l與橢圓C交于A B兩點 問在橢圓C上是否存在一點M 使四邊形AMBF2為平行四邊形 若存在 求出直線l的方程 若不存在 請說明理由 2 當直線l的傾斜角為45 時 求線段CD的長 3 記 ABD與 ABC的面積分別為S1和S2 求 S1 S2 的最大值 閱卷評析抓關鍵 練規范 直線與圓錐曲線的位置關系 2016 全國 卷 文20 12分 在直角坐標系xOy中 直線l y t t 0 交y軸于點M 交拋物線C y2 2px p 0 于點P M關于點P的對稱點為N 連接ON并延長交C于點H 1 求 2 除H以外 直線MH與C是否有其他公共點 說明理由 答題啟示 1 作圖 利用數形