數學物理方法習題數學物理方法習題 一 一 復變函數部分習題復變函數部分習題 第一章第一章習題習題 1 證明函數 Ref zz 在z平面上處處不可導 2 試證 2 f zz 僅在原點有導數 3 設 3333 22 z0 z 0 0 xyi xy f zxy 證明 zf在原點滿足 C R 條件 但不可微 4 若復變函數 zf在區域D上解析 并滿足下列條件之一 證明其 在區域D上必為常數 1 zf在區域D上為實函數 2 zf在區域D上解析 3 Rezf在區域D上是常數 5 證明 2 xy不能成為z的一個解析函數得實部 6 若zxiy 試證 1 sinsin coshcos sinhzxyixy 2 coscos coshsin sinhzxyixy 3 2 22 sinsinsinhzxy 4 2 22 coscossinhzxy 7 試證若函數 f z和 z 在 0 z解析 00 0f zz 0 0z 則 0 0 0 lim z zz f zfz z 復變函數的洛必達法則 8 求證 0 sin lim1 z z z 第二章第二章習題習題 1 9 利用積分估值 證明 a 22 i i xiydz 積分路徑是聯結i 到i的右半圓周 b 證明 2 2 1 2 i i dz z 積分路徑是直線段 10 不用計算 證明下列積分之值均為零 其中c均為圓心在原點 半徑為1的單位圓周 a cos c dz z b 2 56 z c e dz zz 11 計算 a 2 21 2 1 c zz dzcz z b 2 2 21 2 1 c zz dzcz z 12 求積分 1 z c e dzcz z 從而證明 cos 0 cos sined 13 由積分 2 c dz z 之值 證明 0 12cos 0 54cos d c為圓心在原點 半 徑為1的單位圓周 14 設 2 6 4 z F z z 證明積分 c F z dz a 當c是圓周 22 1xy 時 等于0 b 當c是圓周 2 2 21xy 時 等于4 i c 當c是圓周 2 2 21xy 時 等于2 i 第三章第三章習題習題 15 求下列級數的收斂半徑 并對 c 討論級數在收斂圓周上的斂散情 況 a 1 1 n n n z n b 1 nn n n z c 0 kn n n z 0k 為常數 16 試求下列級數的收斂半徑 2 a 0 n n z b 0 n n n n z n c 0 0 0 n nn n z ab aib 17 將下列函數按z的冪展開 并指明收斂范圍 a 0 z z e dz b 2 cos z 18 將下列函數按1z 的冪展開 并指出收斂范圍 a cosz b 2 z z c 2 25 z zz 19 將下列函數在指定的環域內展成羅朗級數 a 2 1 1 z zz 01 1zz b 2 2 25 12 21 zz z zz 20 將下列函數在指定點的無心鄰域內展成羅朗級數 并指出成立范 圍 a 2 2 1 1 zi z n n n azi b 1 2 1 1 1 z zez 1 n n n az 21 把 1 1 f z z 展成下列級數 1 在1z 上展成z的羅朗級數 3 在12z 上展成 1z 的羅朗級數 第四章第四章習題習題 22 確定下列各函數的孤立奇點 并指出它們是什么樣的類型 對于 極點 要指出它們的階 對于無窮遠點也要加以討論 1 2 2 1 1 z z z 2 1 cos zi 3 1 sincoszz 23 求 1 1 z z e f z e 在孤立奇點處的留數 3 24 求下列函數在指定點處的留數 1 2 11 z zz 在1 z 2 2 4 1 z e z 在0 z 25 求下列函數在其奇點 包括無窮遠點 處的留數 m是自然數 1 1 sin m z z m是自然數 2 2 1 z e z 3 3 1 sin z e z 26 求下列函數在其孤立奇點 包括無窮遠點 處的留數 1 1 2 z z e 2 1 m zz 27 計算下列積分 1 1 sin z dz zz 2 1 1 1 nn z dz abab n zazb 29 求下列各積分的值 1 2 22 0 14 x dx xx 2 22 cos 1 9 x dx xx 3 44 0 sin 0 0 xmx dxma xa 30 從 iz c e dz z 出發 其中c為如圖所示之圍線 4 方向沿逆時針方向 證明 00 cossin 2 xx dxdx xx 二 二 數學物理方程數學物理方程及特殊函數及特殊函數部分習題部分習題 第五章第五章習題習題 31 弦在阻尼介質中振動 單位長度的弦所受阻力 t FRu 比例常 數R叫做阻力系數 試推導弦在這阻尼介質中的振動方程 32 長為l柔軟均質輕繩 一端 0 x 固定在以勻速 轉動的豎直 軸上 由于慣性離心力的作用 這繩的平衡位置應是水平線 試 推導此繩相對于水平線的橫振動方程 33 長為l的均勻桿 兩端由恒定熱流進入 其強度為 0 q 試寫出這 個熱傳導問題的邊界條件 34 半徑為R而表面燻黑的金屬長圓柱 受到陽光照射 陽光方向垂 直于柱軸 熱流強度為M 設圓柱外界的溫度為 0 u 試寫出這個 圓柱的熱傳導問題的邊界條件 第六章第六章習題習題 35 長為l的弦 兩端固定 弦中張力為T 在距一端為 0 x的一點以 力 0 F把弦拉開 然后突然撤除這力 求解此弦的振動 36 研究長為l 一端固定 另一端自由 初始位移為hx而初始速度 為零的弦的自由振動情況 37 求解細桿的熱傳導問題 桿長為l 兩端溫度保持為零度 初始 溫度分布為 20t bx lx u l 5 38 求解細桿的熱傳導問題 桿長為l 初始溫度為均勻的 0 u 兩端 溫度分別保持為 1 u和 2 u 39 長為l的柱形管 一端封閉 另一端開放 管外空氣中含有某種 氣體 其濃度為 0 u 向管內擴散 求該氣體在管內的濃度 u x t 40 均勻的薄板占據區域0 xa 0y 42 半徑為a 表面燻黑了的均勻長圓柱 在溫度為零度的空氣中受 著陽光的照射 陽光垂直于柱軸 熱流強度為q 試求圓柱內的 穩定溫度分布 43 用傅立葉變換求解定解問題 22 22 0 0 0 0 y y uu xy xy uxx ux 第七章第七章習題習題 44 試用平面極坐標系把二維波動方程分離變數 45 試用平面極坐標系把二維輸運方程分離變數 46 求證 11 2 llll P xPxxP xPx 1l 47 利用上題和 11 1 21 0 lll lPxlxP xlPx 1l 求證 11 21 lll lP xPxPx 1l 6 48 在 1 1 區間上將 2 x用勒讓德多項式展開 49 驗證 3 31 23 55 xP xP x 50 證明 1 0 21 1 0 0 2 1 2 2 1 21 0 1 2 2 1 l k k l P x dxlkk k lkk kk 51 求解 2 2 0 0 0 cos 0 r ar ura uu 有限值 53 用一層不導電的物質把半徑為a的導體球殼分隔為兩個半球殼 使各半球分別充電到電勢為 1 v和 2 v 試計算球殼內外的電勢分布 54 半徑為a 表面燻黑的均勻球 在溫度為 0 0的空氣中 受著陽光 的照射 陽光的熱流強度為 0 q 求解小球里的穩定溫度分布 55 計算下列積分 1 3 0 x Jx dx 2 3 Jx dx 56 半徑為R而高為H的圓柱體下底面和側面保持零度 上底面溫度 分布為 2 f 求柱體內各點的穩恒溫度 穩定溫度分布 57