正多邊形和圓及弧長和扇形面積檢測一選擇題（共10小題）1（2015成都）如圖，正六邊形ABCDEF內接于O，半徑為4，則這個正六邊形的邊心距OM和的長分別為（）A2，B2，C，D2，2（2015廣州）已知圓的半徑是2，則該圓的內接正六邊形的面積是（）A3B9C18D363（2015包頭）已知圓內接正三角形的邊心距為1，則這個三角形的面積為（）A2B3C4D64（2013天津）正六邊形的邊心距與邊長之比為（）A：3B：2C1：2D：25（2013綿陽）如圖，要擰開一個邊長為a=6mm的正六邊形螺帽，扳手張開的開口b至少為（）AmmB12mmCmmDmm6（2015自貢）如圖，AB是O的直徑，弦CDAB，CDB=30，CD=，則陰影部分圖形的面積為（）A4B2CD7（2015甘孜州）如圖，已知扇形AOB的半徑為2，圓心角為90，連接AB，則圖中陰影部分的面積是（）A2B4C42D448（2015東莞）如圖，某數學興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形（忽略鐵絲的粗細），則所得扇形DAB的面積為（）A6B7C8D99（2015河池）如圖，用一張半徑為24cm的扇形紙板制作一頂圓錐形帽子（接縫忽略不計），如果圓錐形帽子的底面半徑為10cm，那么這張扇形紙板的面積是（）A240cm2B480cm2C1200cm2D2400cm210（2015烏魯木齊）圓錐的側面展開圖是一個弧長為12的扇形，則這個圓錐底面積的半徑是（）A24B12C6D3二選擇題（共10小題）11（2015營口）圓內接正六邊形的邊心距為2，則這個正六邊形的面積為cm212（2015達州）已知正六邊形ABCDEF的邊心距為cm，則正六邊形的半徑為cm13（2015鐵嶺）如圖，點O是正五邊形ABCDE的中心，則BAO的度數為14（2015貴陽）如圖，四邊形ABCD是O的內接正方形，若正方形的面積等于4，則O的面積等于15（2015天水）如圖，ABC是正三角形，曲線CDEF叫做正三角形的漸開線，其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲線CDEF的長是16（2015溫州）已知扇形的圓心角為120，弧長為2，則它的半徑為17（2015益陽）如圖，正六邊形ABCDEF內接于O，O的半徑為1，則的長為18（2015廣西）已知一條圓弧所在圓半徑為9，弧長為，則這條弧所對的圓心角是19（2015衡陽）圓心角為120的扇形的半徑為3，則這個扇形的面積為（結果保留）20（2015酒泉）如圖，半圓O的直徑AE=4，點B，C，D均在半圓上，若AB=BC，CD=DE，連接OB，OD，則圖中陰影部分的面積為三解答題（共3小題）21（2015沈陽）如圖，四邊形ABCD是O的內接四邊形，ABC=2D，連接OA、OB、OC、AC，OB與AC相交于點E（1）求OCA的度數；（2）若COB=3AOB，OC=2，求圖中陰影部分面積（結果保留和根號）22（2014濱州）如圖，點D在O的直徑AB的延長線上，點C在O上，AC=CD，ACD=120（1）求證：CD是O的切線；（2）若O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積23（2013佛山）如圖，圓錐的側面展開圖是一個半圓，求母線AB與高AO的夾角參考公式：圓錐的側面積S=rl，其中r為底面半徑，l為母線長正多邊形和圓及弧長和扇形面積檢測參考答案與試題解析一選擇題（共10小題）1（2015成都）如圖，正六邊形ABCDEF內接于O，半徑為4，則這個正六邊形的邊心距OM和的長分別為（）A2，B2，C，D2，【考點】正多邊形和圓；弧長的計算菁優網版權所有【專題】壓軸題【分析】正六邊形的邊長與外接圓的半徑相等，構建直角三角形，利用直角三角形的邊角關系即可求出OM，再利用弧長公式求解即可【解答】解：連接OB，OB=4，BM=2，OM=2，=，故選D【點評】本題考查了正多邊形和圓以及弧長的計算，將扇形的弧長公式與多邊形的性質相結合，構思巧妙，利用了正六邊形的性質，是一道好題2（2015廣州）已知圓的半徑是2，則該圓的內接正六邊形的面積是（）A3B9C18D36【考點】正多邊形和圓菁優網版權所有【分析】解題的關鍵要記住正六邊形的特點，它被半徑分成六個全等的等邊三角形【解答】解：連接正六邊形的中心與各個頂點，得到六個等邊三角形，等邊三角形的邊長是2，高為3，因而等邊三角形的面積是3，正六邊形的面積=18，故選C【點評】本題考查了正多邊形和圓，正六邊形被它的半徑分成六個全等的等邊三角形，這是需要熟記的內容3（2015包頭）已知圓內接正三角形的邊心距為1，則這個三角形的面積為（）A2B3C4D6【考點】正多邊形和圓菁優網版權所有【分析】作ADBC與D，連接OB，則AD經過圓心O，ODB=90，OD=1，由等邊三角形的性質得出BD=CD，OBD=ABC=30，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，ABC的面積=BCAD，即可得出結果【解答】解：如圖所示：作ADBC與D，連接OB，則AD經過圓心O，ODB=90，OD=1，ABC是等邊三角形，BD=CD，OBD=ABC=30，OA=OB=2OD=2，AD=3，BD=，BC=2，ABC的面積=BCAD=23=3；故選：B【點評】本題考查了圓內接正三角形的性質、解直角三角形、三角形面積的計算；熟練掌握圓內接正三角形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵4（2013天津）正六邊形的邊心距與邊長之比為（）A：3B：2C1：2D：2【考點】正多邊形和圓菁優網版權所有【分析】首先根據題意畫出圖形，然后設六邊形的邊長是a，由勾股定理即可求得OC的長，繼而求得答案【解答】解：如圖：設六邊形的邊長是a，則半徑長也是a；經過正六邊形的中心O作邊AB的垂線OC，則AC=AB=a，OC=a，正六邊形的邊心距與邊長之比為：a：a=：2故選B【點評】此題考查了正多邊形和圓的關系此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用5（2013綿陽）如圖，要擰開一個邊長為a=6mm的正六邊形螺帽，扳手張開的開口b至少為（）AmmB12mmCmmDmm【考點】正多邊形和圓菁優網版權所有【分析】根據題意，即是求該正六邊形的邊心距的2倍構造一個由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，且其半邊所對的角是30度，再根據銳角三角函數的知識求解【解答】解：設正多邊形的中心是O，其一邊是AB，AOB=BOC=60，OA=OB=AB=OC=BC，四邊形ABCO是菱形，AB=6mm，AOB=60，cosBAC=，AM=6=3（mm），OA=OC，且AOB=BOC，AM=MC=AC，AC=2AM=6（mm）故選：C【點評】本題考查了正多邊形和圓的知識，構造一個由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，熟練運用銳角三角函數進行求解6（2015自貢）如圖，AB是O的直徑，弦CDAB，CDB=30，CD=，則陰影部分圖形的面積為（）A4B2CD【考點】扇形面積的計算；垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形菁優網版權所有【專題】數形結合【分析】連接OD，則根據垂徑定理可得出CE=DE，繼而將陰影部分的面積轉化為扇形OBD的面積，代入扇形的面積公式求解即可【解答】解：連接ODCDAB，CE=DE=CD=（垂徑定理），故SOCE=SODE，即可得陰影部分的面積等于扇形OBD的面積，又CDB=30，COB=60（圓周角定理），OC=2，故S扇形OBD=，即陰影部分的面積為故選：D【點評】此題考查了扇形的面積計算、垂徑定理及圓周角定理，解答本題關鍵是根據圖形得出陰影部分的面積等于扇形OBD的面積，另外要熟記扇形的面積公式7（2015甘孜州）如圖，已知扇形AOB的半徑為2，圓心角為90，連接AB，則圖中陰影部分的面積是（）A2B4C42D44【考點】扇形面積的計算菁優網版權所有【專題】壓軸題【分析】由AOB為90，得到OAB為等腰直角三角形，于是OA=OB，而S陰影部分=S扇形OABSOAB然后根據扇形和直角三角形的面積公式計算即可【解答】解：S陰影部分=S扇形OABSOAB=2故選：A【點評】本題考查了扇形面積的計算，是屬于基礎性的題目的一個組合，只要記住公式即可正確解出關鍵是從圖中可以看出陰影部分的面積是扇形的面積減去直角三角形的面積8（2015東莞）如圖，某數學興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形（忽略鐵絲的粗細），則所得扇形DAB的面積為（）A6B7C8D9【考點】扇形面積的計算菁優網版權所有【分析】由正方形的邊長為3，可得弧BD的弧長為6，然后利用扇形的面積公式：S扇形DAB=，計算即可【解答】解：正方形的邊長為3，弧BD的弧長=6，S扇形DAB=63=9故選D【點評】此題考查了扇形的面積公式，解題的關鍵是：熟記扇形的面積公式S扇形DAB=9（2015河池）如圖，用一張半徑為24cm的扇形紙板制作一頂圓錐形帽子（接縫忽略不計），如果圓錐形帽子的底面半徑為10cm，那么這張扇形紙板的面積是（）A240cm2B480cm2C1200cm2D2400cm2【考點】圓錐的計算菁優網版權所有【專題】計算題【分析】根據圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形面積公式計算即可【解答】解：這張扇形紙板的面積=21024=240（cm2）故選A【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長10（2015烏魯木齊）圓錐的側面展開圖是一個弧長為12的扇形，則這個圓錐底面積的半徑是（）A24B12C6D3【考點】圓錐的計算菁優網版權所有【分析】利用圓錐側面展開扇形的弧長等于底面圓的周長計算【解答】解：設底面圓半徑為r，則2r=12，化簡得r=6故選C【點評】本題綜合考查有關扇形和圓錐的相關計算解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應關系：（1）圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長正確對這兩個關系的記憶是解題的關鍵二選擇題（共10小題）11（2015營口）圓內接正六邊形的邊心距為2，則這個正六邊形的面積為24cm2【考點】正多邊形和圓菁優網版權所有【分析】根據正六邊形的特點，通過中心作邊的垂線，連接半徑，結合解直角三角形的有關知識解決【解答】解：如圖，連接OA、OB；過點O作OGAB于點G在RtAOG中，OG=2，AOG=30，OG=OAcos 30，OA=4，這個正六邊形的面積為642=24cm2故答案為：24【點評】此題主要考查正多邊形的計算問題，根據題意畫出圖形，再根據正多邊形的性質即銳角三角函數的定義解答即可12（2015達州）已知正六邊形ABCDEF的邊心距為cm，則正六邊形的半徑為2cm【考點】正多邊形和圓菁優網版權所有【分析】根據題意畫出圖形，連接OA、OB，過O作ODAB，再根據正六邊形的性質及銳角三角函數的定義求解即可【解答】解：如圖所示，連接OA、OB，過O作ODAB，多邊形ABCDEF是正六邊形，OAD=60，OD=OAsinOAB=AO=，解得：AO=2故答案為：2【點評】本題考查的是正六邊形的性質，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵13（2015鐵嶺）如圖，點O是正五邊形ABCDE的中心，則BAO的度數為54【考點】正多邊形和圓菁優網版權所有【分析】連接OB，則OB=OA，得出BAO=ABO，再求出正五邊形ABCDE的中心角AOB的度數，由等腰三角形的性質和內角和定理即可得出結果【解答】解：連接OB，則OB=OA，BAO=ABO，點O是正五邊形ABCDE的中心，AOB=72，BAO=（18072）=54；故答案為：54【點評】本題考查了正五邊形的性質、等腰三角形的性質、正五邊形中心角的求法；熟練掌握正五邊形的性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵14（2015貴陽）如圖，四邊形ABCD是O的內接正方形，若正方形的面積等于4，則O的面積等于2【考點】正多邊形和圓菁優網版權所有【分析】根據正方形的面積公式求得半徑，然后根據圓的面積公式求解【解答】解：正方形的邊長AB=2，則半徑是2=，則面積是（）2=2故答案是：2【點評】本題考查了正多邊形的計算，根據正方形的面積求得半徑是關鍵15（2015天水）如圖，ABC是正三角形，曲線CDEF叫做正三角形的漸開線，其中弧CD、弧DE、弧EF的圓心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲線CDEF的長是4【考點】弧長的計算；等邊三角形的性質菁優網版權所有【分析】弧CD，弧DE，弧EF的圓心角都是120度，半徑分別是1，2，3，利用弧長的計算公式可以求得三條弧長，三條弧的和就是所求曲線的長【解答】解：弧CD的長是=，弧DE的長是：=，弧EF的長是：=2，則曲線CDEF的長是：+2=4故答案為：4【點評】本題考查了弧長的計算公式，理解弧CD，弧DE，弧EF的圓心角都是120度，半徑分別是1，2，3是解題的關鍵16（2015溫州）已知扇形的圓心角為120，弧長為2，則它的半徑為3【考點】弧長的計算菁優網版權所有【分析】根據弧長公式代入求解即可【解答】解：L=，R=3故答案為：3【點評】本題考查了弧長的計算，解答本題的關鍵是掌握弧長公式：L=17（2015益陽）如圖，正六邊形ABCDEF內接于O，O的半徑為1，則的長為【考點】弧長的計算；正多邊形和圓菁優網版權所有【分析】求出圓心角AOB的度數，再利用弧長公式解答即可【解答】解：ABCDEF為正六邊形，AOB=360=60，的長為=故答案為：【點評】此題將扇形的弧長公式與多邊形的性質相結合，構思巧妙，利用了正六邊形的性質18（2015廣西）已知一條圓弧所在圓半徑為9，弧長為，則這條弧所對的圓心角是50【考點】弧長的計算菁優網版權所有【分析】把弧長公式l=進行變形，把已知數據代入計算即可得到答案【解答】解：l=，n=50，故答案為：50【點評】本題考查的是弧長的計算，正確掌握弧長的計算公式及其變形是解題的關鍵19（2015衡陽）圓心角為120的扇形的半徑為3，則這個扇形的面積為3（結果保留）【考點】扇形面積的計算菁優網版權所有【分析】根據扇形的面積公式即可求解【解答】解：扇形的面積=3cm2故答案是：3【點評】本題主要考查了扇形的面積公式，正確理解公式是解題關鍵20（2015酒泉）如圖，半圓O的直徑AE=4，點B，C，D均在半圓上，若AB=BC，CD=DE，連接OB，OD，則圖中陰影部分的面積為【考點】扇形面積的計算菁優網版權所有【分析】根據題意可知，圖中陰影部分的面積等于扇形BOD的面積，根據扇形面積公式即可求解【解答】解：AB=BC，CD=DE，=，=，+=+，BOD=90，S陰影=S扇形OBD=故答案是：【點評】本題考查了扇形的面積計算及圓心角、弧之間的關系解答本題的關鍵是得出陰影部分的面積等于扇形BOD的面積三解答題（共3小題）21（2015沈陽）如圖，四邊形ABCD是O的內接四邊形，ABC=2D，連接OA、OB、OC、AC，OB與AC相交于點E（1）求OCA的度數；（2）若COB=3AOB，OC=2，求圖中陰影部分面積（結果保留和根號）【考點】扇形面積的計算；圓內接四邊形的性質；解直角三角形菁優網版權所有【分析】（1）根據四邊形ABCD是O的內接四邊形得到ABC+D=180，根據ABC=2D得到D+2D=180，從而求得D=60，最后根據OA=OC得到OAC=OCA=30；（2）首先根據COB=3AOB得到AOB=30，從而得到COB為直角，然后利用S陰影=S扇形OBCSOEC求解【解答】解：（1）四邊形ABCD是O的內接四邊形，ABC+D=180，ABC=2D，D+2D=180，D=60，AOC=2D=120，OA=OC，OAC=OCA=30；（2）COB=3AOB，AOC=AOB+3AOB=120，AOB=30，COB=AOCAOB=90，在RtOCE中，OC=2，OE=OCtanOCE=2tan30=2=2，SOEC=OEOC=22=2