拋物線的幾何性質 前面我們已學過橢圓與雙曲線的幾何性質 它們都是通過標準方程的形式研究的 現在請大家想想拋物線的標準方程 圖形 焦點及準線是什么 一 復習回顧 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 二 練習 填空 頂點在原點 焦點在坐標軸上 開口向右 開口向左 開口向上 開口向下 一 拋物線的幾何性質 拋物線在y軸的右側 當x的值增大時 y 也增大 這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸 1 范圍 由拋物線y2 2px p 0 所以拋物線的范圍為 2 對稱性 定義 拋物線和它的軸的交點稱為拋物線的頂點 由y2 2px p 0 當y 0時 x 0 因此拋物線的頂點就是坐標原點 0 0 注 這與橢圓有四個頂點 雙曲線有兩個頂點不同 頂點 4 開口方向 拋物線y2 2px p 0 的開口方向向右 X x軸正半軸 向右 X x軸負半軸 向左 y y軸正半軸 向上 y y軸負半軸 向下 5 離心率 拋物線上的點與焦點的距離和它到準線的距離之比 叫做拋物線的離心率 由拋物線的定義 可知e 1 下面請大家得出其余三種標準方程拋物線的幾何性質 二 歸納 拋物線的幾何性質 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0y R x 0y R y 0 x R y 0 x R 0 0 x軸 y軸 1 特點 1 拋物線只位于半個坐標平面內 雖然它可以無限延伸 但它沒有漸近線 2 拋物線只有一條對稱軸 沒有對稱中心 3 拋物線只有一個頂點 一個焦點 一條準線 4 拋物線的離心率是確定的 為1 思考 拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響 補充 1 通徑 通過焦點且垂直對稱軸的直線 與拋物線相交于兩點 連接這兩點的線段叫做拋物線的通徑 PF x0 p 2 F P 通徑的長度 2P P越大 開口越開闊 2 焦半徑 連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的焦半徑 焦半徑公式 標準方程中2p的幾何意義 利用拋物線的頂點 通徑的兩個端點可較準確畫出反映拋物線基本特征的草圖 例 已知拋物線關于x軸對稱 它的頂點在坐標原點 并且經過點M 求它的標準方程 并用描點法畫出圖形 所以設方程為 因此所求拋物線標準方程為 三 例題講解 作圖 1 列表 在第一象限內列表 2 描點 3 連線 課堂練習 求適合下列條件的拋物線的方程 1 頂點在原點 焦點F為 0 5 2 頂點在原點 關于x軸對稱 并且經過點M 5 4 例1 探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分 光源位于拋物線的焦點處 已知燈口圓的直徑為60cm 燈深40cm 求拋物線的標準方程及焦點的位置 F y x O 解 如圖所示 在探照燈的軸截面所在平面建立直角坐標系 使反光鏡的頂點與原點重合 x軸垂直于燈口直徑 A B 設拋物線的標準方程是 由已知條件可得點A的坐標是 40 30 代入方程可得 所求的標準方程為焦點坐標為 三 課堂練習 1 已知拋物線的頂點在原點 對稱軸為x軸 焦點在直線3x 4y 12 0上 那么拋物線通徑長是 2 一個正三角形的三個頂點 都在拋物線上 其中一個頂點為坐標原點