第一章 立體幾何初步 學習目標 1 了解中心投影與平行投影 2 用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖 3 用斜二測畫法畫常見的柱 錐 臺以及簡單組合體的直觀圖 1 1 4投影與直觀圖 1 預習導學挑戰自我 點點落實 2 課堂講義重點難點 個個擊破 3 當堂檢測當堂訓練 體驗成功 知識鏈接 1 三角形的面積S 其中a為底邊長 h為底邊上的高 2 梯形的面積S 其中a b為兩底長 h為高 預習導引 1 平行投影已知圖形F 直線l與平面 相交 過F上任意一點M作直線MM 于l 交平面 于點M 則點M 叫做點M在平面 內關于直線l的 或象 如果圖形F上的所有點在平面 內關于直線l的平行投影構成圖形F 則F 叫做圖形F在 內關于直線l的 平行 平行投影 平行投影 2 平行投影的性質當圖形中的直線或線段不平行于投射線時 平行投影都具有下述性質 1 直線或線段的平行投影仍是或 2 平行直線的平行投影是或的直線 3 平行于投射面的線段 它的投影與這條線段且 直線 線段 平行 重合 平行 等長 4 與投射面平行的平面圖形 它的投影與這個圖形 5 在同一直線或平行直線上 兩條線段平行投影的比 這兩條線段的比 全等 等于 3 中心投影一個把一個圖形照射到一個平面上 這個圖形的影子就是它在這個平面上的中心投影 4 水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法 1 表示空間圖形的 叫做空間圖形的直觀圖 點光源 平面圖形 2 用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時 圖形中平行于x軸 y軸或z軸的線段在直觀圖中分別畫成于x 軸 y 軸或z 軸的線段 平行于x軸和z軸的線段 在直觀圖中長度 平行于y軸的線段 長度為原來的 平行 不變 一半 3 對于圖形中與x軸 y軸 z軸都不平行的線段 可通過確定端點的辦法來解決 即過端點作坐標軸的 再借助于所作的確定端點在直觀圖中的位置 平行線 平行線 要點一中心投影與平行投影例1下列說法 平行投影的投影線互相平行 中心投影的投影線相交于一點 空間圖形經過中心投影后 直線變成直線 但平行線可能變成了相交的直線 幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現形式 其中正確的個數為 A 0B 1C 2D 3解析平行投影的投影線互相平行 中心投影的投影線相交于一點 空間圖形經過中心投影后 直線變成直線 但平行線有可能變成相交線 如照片中由近到遠物體之間的距離越來越近 最后相交于一點 幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現形式 故3種說法都正確 答案D 規律方法1 考察一個幾何體的投影是什么圖形 先分清楚是平行投影還是中心投影 投影面的位置如何 再根據平行投影或中心投影的性質來判斷 2 平行投影需注意圖形 投射線 投射面之間的位置關系 位置發生改變 一般情況下投影也會改變 3 中心投影與人的視覺效果一致 解題時可結合生活實際作出判斷 跟蹤演練1如圖所示 這是圓桌正上方的燈泡 看做一個點 發出的光線照射桌面后 在地面上形成的陰影 圓形 的示意圖 已知桌面的直徑為1 2m 桌面距離地面1m 若燈泡距離地面3m 則地面上陰影部分的面積為 忽略桌腳 解析設地面陰影圓的半徑為x x 0 9 陰影圓的面積為S x2 0 81 m2 答案0 81 m2 要點二畫水平放置的平面圖形的直觀圖例2畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖 解畫法 1 如圖所示 取AB所在直線為x軸 AB中點O為原點 建立直角坐標系 畫對應的坐標系x O y 使 x O y 45 2 以O 為中點在x 軸上取A B AB 在y軸上取O E OE 以E 為中點畫C D x 軸 并使C D CD 3 連接B C D A 所得的四邊形A B C D 就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖 規律方法1 本題巧借等腰梯形的對稱性建系使 定點 畫圖 簡便易行 2 在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時 選取適當的直角坐標系是關鍵 一般要使平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上 以便于畫點 原圖中不平行于坐標軸的線段可以通過作平行于坐標軸的線段來完成 跟蹤演練2用斜二測畫法畫如圖所示邊長為4cm的水平放置的正三角形的直觀圖 解如圖 所示 以BC邊所在的直線為x軸 以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸 2 畫對應的x 軸 y 軸 使 x O y 45 在x 軸上截取O B O C OB OC 2cm 連接A B A C 則三角形A B C 即為正三角形ABC的直觀圖 如圖 所示 要點三由直觀圖還原平面圖形例3如圖 一個平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形 則原平面圖形的面積為 解析由直觀圖還原出原圖 如圖 答案B 規律方法由直觀圖還原平面圖形關鍵有兩點 1 平行x 軸的線段長度不變 平行y 軸線段擴大為原來的2倍 2 對于相鄰兩邊不與x y 軸平行的頂點可通過作x 軸 y 軸平行線變換確定其在xOy中的位置 跟蹤演練3一梯形的直觀圖是一個如圖所示的等腰梯形 且梯形O A B C 的面積為 則原梯形的面積為 解析如圖 由斜二測畫法原理知 原梯形與直觀圖中的梯形上下底邊的長度是一樣的 不一樣的是兩個梯形的高 所以原梯形的面積是4 答案D 要點四空間幾何體的直觀圖例4畫一個正五棱柱的直觀圖 尺寸自定 解 1 畫軸 畫x 軸 y 軸和z 軸 使 x O y 45 或135 x O z 90 如圖 所示 2 畫底面 按x 軸 y 軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE 3 畫側棱 過點A B C D E分別作z 軸的平行線 并在這些平行線上分別截取AA BB CC DD EE 都等于正五棱柱的高 4 成圖 順次連接A B C D E 去掉輔助線 改被擋部分為虛線 如圖 所示 跟蹤演練4畫出底面是正方形 側棱均相等的四棱錐的直觀圖 解畫法 1 畫軸 畫x軸 y軸 z軸 xOy 45 或135 xOz 90 如圖 1 2 畫底面 以O為中心在xOy平面內 畫出正方形水平放置的直觀圖ABCD 3 畫頂點 在z軸上截取OP 使OP的長度是原四棱錐的高 4 成圖 順次連接PA PB PC PD 并擦去輔助線 得四棱錐的直觀圖如圖 2 1 一條直線在平面上的正投影是 A 直線B 點C 線段D 直線或點 1 2 3 4 5 解析當直線與平面垂直時 其正投影為點 其他位置關系時的正投影均為直線 D 2 關于用斜二測畫法得直觀圖 下列說法正確的是 A 等腰三角形的直觀圖仍為等腰三角形B 正方形的直觀圖為平行四邊形C 梯形的直觀圖可能不是梯形D 正三角形的直觀圖一定為等腰三角形 1 2 3 4 5 B 3 如圖所示為一個平面圖形的直觀圖 則它的實際形狀四邊形ABCD為 A 平行四邊形B 梯形C 菱形D 矩形 1 2 3 4 5 解析因為 D A B 45 由斜二測畫法規則知 DAB 90 又因四邊形A B C D 為平行四邊形 所以原四邊形ABCD為矩形 答案D 1 2 3 4 5 4 如圖 平行四邊形O P Q R 是四邊形OPQR的直觀圖 若O P 3 O R 1 則原四邊形OPQR的周長為 1 2 3 4 5 解析由四邊形OPQR的直觀圖可知原四邊形是矩形 且OP 3 OR 2 所以原四邊形OPQR的周長為2 3 2 10 10 5 如圖所示的直觀圖 A O B 其平面圖形的面積為 1 2 3 4 5 解析由直觀圖可知其對應的平面圖形AOB中 AOB 90 OB 3 OA 4 6 課堂小結 1 斜二測畫法是聯